初中數(shù)學(xué)-第17課時(shí)　三角形與多邊形

第17課時(shí)三角形與多邊形第四單元三角形考點(diǎn)一三角形的概念及其基本元素考點(diǎn)聚焦由①

直線上的三條線段首尾依次連接組成的圖形叫做三角形,一個(gè)三角形有三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)內(nèi)角.

不在同一條考點(diǎn)二三角形的分類鈍角等邊考點(diǎn)三三角形邊和角的性質(zhì)大于小于1.三邊關(guān)系:三角形兩邊之和④

第三邊,兩邊之差⑤

第三邊.

【溫馨提示】判斷給定的三條線段能否組成三角形,只要判斷兩條較短線段的和是否大于最長(zhǎng)線段即可.2.三角形內(nèi)角、外角(1)內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于⑥

.

(2)內(nèi)外角關(guān)系:a.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的⑦

;

b.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.3.邊角關(guān)系:在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角,等角對(duì)等邊,大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角.(解答題中須證明)180°和名稱圖形性質(zhì)重要結(jié)論中線BD=⑧______

=⑨

BC

AO=2OD

三角形的三條中線的交點(diǎn)(重心)在三角形的⑩

部.中線將三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形,頂點(diǎn)到重心的距離等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍

高線AD⊥?

,即∠ADB=?

=90°

?

三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部;?

三角形的三條高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn);?

三角形的三條高所在直線的交點(diǎn)在三角形的外部,這個(gè)點(diǎn)稱為垂心

考點(diǎn)四與三角形有關(guān)的重要線段或直線DC內(nèi)BC∠ADC

銳角直角鈍角名稱圖形性質(zhì)重要結(jié)論角平分線∠1=?______=∠BAC

三角形的三條角平分線的交點(diǎn)在三角形的?

部,這個(gè)點(diǎn)稱為內(nèi)心

中位線?

∥BC且DE=?

BC

中位線所截得的三角形與原三角形相似,其相似比為1∶2,面積比為1∶4垂直平分線DE⊥BC,且BE=?

,BD=?

銳角三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的?

部,這個(gè)點(diǎn)稱為外心

（續(xù)表）∠2內(nèi)DEECDC內(nèi)多邊形的定義

在同一平面內(nèi),不在同一條直線上的一些線段?

順次相接組成的圖形叫做多邊形

多邊形的性質(zhì)內(nèi)角和n邊形內(nèi)角和為?

外角和任意多邊形的外角和為360°對(duì)角線n邊形共有

條對(duì)角線正多邊形定義

各個(gè)角?

,各條邊?

的多邊形叫做正多邊形

對(duì)稱性

正多邊形都是?

對(duì)稱圖形,邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形

考點(diǎn)五多邊形首尾(n-2)·180°

相等

相等軸題組一必會(huì)題對(duì)點(diǎn)演練1.[七下P31練一練第3題改編]一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°,則這個(gè)多邊形是(

)

A.五邊形 B.六邊形C.七邊形 D.八邊形2.[七下P35習(xí)題第10題改編]一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍,則這個(gè)多邊形是 (

)A.七邊形

B.八邊形C.九邊形 D.十邊形DB圖17-13.[2019·棗莊]將一副直角三角板按如圖17-1所示的位置擺放,若含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上,則∠α的度數(shù)是 (

)A.45° B.60°C.75° D.85°C4.[八下P87練習(xí)第2題改編]如圖17-2,A,B兩地被建筑物阻隔,為測(cè)量A,B兩地的距離,在地面上選一點(diǎn)C,連接CA,CB,分別取CA,CB的中點(diǎn)D,E,若DE的長(zhǎng)為36m,則AB=

m.

圖17-272[答案]3[解析](1)三根小木棒的長(zhǎng)分別是2cm,3cm,4cm時(shí),因?yàn)?+3>4,所以能構(gòu)成三角形;(2)三根小木棒的長(zhǎng)分別是2cm,3cm,5cm時(shí),因?yàn)?+3=5,所以不能構(gòu)成三角形;(3)三根小木棒的長(zhǎng)分別是2cm,4cm,5cm時(shí),因?yàn)?+4>5,所以能構(gòu)成三角形;(4)三根小木棒的長(zhǎng)分別是3cm,4cm,5cm時(shí),因?yàn)?+4>5,所以能構(gòu)成三角形.5.[七下P24練一練第2題改編]4根小木棒的長(zhǎng)度分別為2cm,3cm,4cm和5cm.用其中3根搭三角形,可以搭出

個(gè)不同的三角形.

題組二易錯(cuò)題【失分點(diǎn)】三角形的三邊關(guān)系使用不當(dāng);三角形中的三線性質(zhì)混淆;多邊形的內(nèi)角和、外角和計(jì)算公式混淆;涉及三角形的高線,常常需要分類討論高線在三角形內(nèi)還是三角形外.6.[2019·金華]若長(zhǎng)度分別為a,3,5的三條線段能組成一個(gè)三角形,則a的值可以是(

)A.1 B.2 C.3 D.8C7.[2018·杭州]若線段AM,AN分別是△ABC的BC邊上的高線和中線,則 (

)A.AM>AN B.AM≥ANC.AM<AN D.AM≤AND[答案]360[解析]延長(zhǎng)CD,DE,則∠1=∠7,∠2=∠6,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠7+∠6+∠3+∠4+∠5=360°.8.[2018·山西]圖17-3①是我國(guó)古代建筑中的一種窗格,其中冰裂紋圖案象征著堅(jiān)冰出現(xiàn)裂紋并開始消溶,形狀無(wú)一定規(guī)則,代表一種自然和諧美,圖②是從圖①冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=

度.

圖17-39.從△ABC頂點(diǎn)A作高線AD和角平分線AE,若AD與AE的夾角為15°,∠B=50°,則∠C=

.

[答案]20°或80°[解析]分兩種情況考慮:①當(dāng)∠B>∠C時(shí),如圖.∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=50°,∴∠BAD=40°,∵∠DAE=15°,∴∠BAE=∠CAE=55°,∴∠BAC=110°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-110°=20°.②當(dāng)∠B<∠C時(shí),如圖.∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=50°,∴∠BAD=40°,∵∠DAE=15°,∴∠BAE=∠EAC=25°,∴∠DAC=10°,∴∠C=90°-∠DAC=80°.綜上所述,∠C=20°或80°.10.[2018·聊城]如果一個(gè)正方形被截掉一個(gè)角后,得到一個(gè)多邊形,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是

.

180°或360°或540°考向一三角形的三邊關(guān)系例1

[2019·淮安]下列長(zhǎng)度的3根小木棒不能搭成三角形的是 (

)A.2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,3cmC.3cm,4cm,5cm D.4cm,5cm,6cmB1.[2019·南京]在△ABC中,AB=4,∠C=60°,∠A>∠B,則BC的長(zhǎng)的取值范圍是

.

|考向精練|2.[2018·白銀]已知a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),a,b滿足|a-7|+(b-1)2=0,c為奇數(shù),則c=

.

7【方法點(diǎn)析】三條線段能夠組成三角形,必須滿足下列兩個(gè)條件之一:(1)如果選最長(zhǎng)邊作第三邊,則需滿足其余兩邊之和大于第三邊;(2)如果選最短邊作第三邊,則需滿足其余兩邊之差小于第三邊.考向二三角形中的三線及其應(yīng)用例2[2019·眉山]如圖17-4,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,∠B=30°,∠ADC=70°,則∠C的度數(shù)是(

)A.50° B.60° C.70° D.80°圖17-4[答案]C[解析]∵∠ADC=70°,∠B=30°,∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°-30°=40°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD=80°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°,故選C.例3如圖17-5,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD,AE分別為△ABC的中線和角平分線,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE于點(diǎn)H,并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F,連接DH,則線段DH的長(zhǎng)為

.

圖17-5[答案]1【方法點(diǎn)析】(1)三角形的中位線常用來(lái)證明線段的倍分問(wèn)題;(2)題目中涉及中點(diǎn),就要想到三角形的中位線定理或中線.|考向精練|1.[2017·河池]三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等兩部分的是(

)A.中線

B.角平分線

C.高

D.中位線A[答案]B2.如圖17-6,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,DE是△ABC的中位線,若DE交△ABC的外角平分線于點(diǎn)F,則線段DF的長(zhǎng)為(

)A.7 B.8 C.9 D.10圖17-63.[2018·黃石]如圖17-7,△ABC中,AD是BC邊上的高,AE,BF分別是∠BAC,∠ABC的平分線,∠BAC=50°,∠ABC=60°,則∠EAD+∠ACD=

.

圖17-775°[答案]24.[2017·淮安]如圖17-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).若AB=8,則EF=

.

圖17-8考向三三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)的應(yīng)用例4

[2019·大慶]如圖17-9,在△ABC中,BE是∠ABC的平分線,CE是外角∠ACM的平分線,BE與CE相交于點(diǎn)E,若∠A=60°,則∠BEC為 (

)A.15° B.30° C.45° D.60°[答案]B[解析]由∠ACM=∠A+∠ABC,易得∠ECM=∠EBC+30°,又因?yàn)椤螮CM=∠EBC+∠E,所以∠E=30°,故選B.圖17-9|考向精練|1.[2019·杭州]在△ABC中,若一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角的差,則

(

)A.必有一個(gè)內(nèi)角等于30°B.必有一個(gè)內(nèi)角等于45°C.必有一個(gè)內(nèi)角等于60°D.必有一個(gè)內(nèi)角等于90°[答案]D[解析]∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠C-∠B,∴2∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,故選D.2.[2017·株洲]如圖17-10,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,則∠BAD=(

)A.145° B.150° C.155° D.160°圖17-10B3.如圖17-11,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E,則∠AEC=

.

圖17-1166.5°考向四多邊形的內(nèi)角和與外角和例5[2019·棗莊]用一條寬度相等的足夠長(zhǎng)的紙條打一個(gè)結(jié)(如圖17-12①所示),然后輕輕拉緊,壓平就可以得到如圖②所示的正五邊形ABCDE.圖中,∠BAC=

.圖17-12[答案]36°[解析]正五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,∴∠ABC=540°÷5=108°.∵BA=B