初二(下冊)數(shù)學題八年級數(shù)學拔高訓練

初二（下冊）數(shù)學題精選

分式:

111

一：如果abc=l,求證箕+Q+I+」+/?+I+QC+C+I=1

119ba

二：已知公+廠而后，則，+了等于多少?

三：一個圓柱形容器的容積為v立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達到容器高

度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時間t分。

求兩根水管各自注水的速度。

四：聯(lián)系實際編擬一道關(guān)于分式方程號=&+2的應(yīng)用題。要求表述完整，條件充分并寫出解答

x2x

過程。

五：已知M=-^=、，用“+”或"一"連結(jié)M、N,有三種不同的形式，M+N、M-N、

x--y~x-y

N-M,請你任取其中一種進行計算,化簡求值，其中x：y=5：2O

班例球

一：~^張為16s正朧橫用剪掘tWL定&一樣剛負形懈i“E”回1所示.<1獻的

長x(an)與寬y(an)之間的儂妙繇如圖2所示：(1)求y與x

加的微粽式

⑵“E”

⑶颼〃姬阱帳M6qW12cm,求〃蛔綴的踽

二：是一個反比例函數(shù)圖象的一部分，點A(l,10),B(10,l)是它的兩個端

點.

71)求此函數(shù)的解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)請你舉出一個能用本題的函數(shù)關(guān)系描述的生活實例.

三：如圖，。/和。6都與x軸和y軸相切，圓心4和圓心8都在反比例函數(shù)y=，的圖象上，則

圖中陰影部分的面積等于.*

四：如圖11,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點〃(-2,-1),且P(-1,-2)為

雙曲線上的一點，0為坐標平面上一動點，用垂直于x軸，/垂直于y軸，垂足分別是4、B.

(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；

(2)當點0在直線加上運動時，直線加上是否存在這樣的點。,使得△磔與△如產(chǎn)面積相等？

如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；

(3)如圖12,當點0在第一象限中的雙曲線上運動時，作以8、8為鄰邊的平行四邊形。七0,

求平行四邊形如。周長的最小值.

五：如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與Y軸和X軸分別交于點A、點8,與反比例函數(shù)y一

罟在第一象限的圖象交于點c(l,6)、點D(3,x).

軸于F.

(1)求m,n的值；

（2）求直線AB的函數(shù)解析式;

一：清朝康熙皇帝是我國歷史上對數(shù)學很有興趣的帝王.近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學專著，其

中有一文《積求勾股法》，它對“三邊長為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長”

這一問題提出了解法：“若所設(shè)者為積數(shù)（面積），以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各

率乘之，即得勾股弦之數(shù)”.用現(xiàn)在的數(shù)詈語言表述是：“若直角三角形的三邊長分別為3、4、5

的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S,則第一步：-=m；第二步：J/=k；第三步：分別用3、4、5乘以

k,得三邊長6

（1）當面積S等于150時，請用康熙的“積求勾股法"十0A士-三角形的三邊長；

（2）你能證明“積求勾股法”的正確性嗎？請寫出證明:。

（二題圖）

（三題圖）

二：一張等腰三角形紙片，底邊長15cm,底邊上的高長22.5cm.現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬

度均為3cm的矩形紙條，如圖所示.已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是

（）A第4張B第5張C第6張D第7張

三：如圖，申、乙兩樓相距.20米，甲樓高20米,5處的站在距甲樓10米的A處目測得點A與甲、

乙樓頂氏C剛好在同一直線上，且A與B相距蘭米，若小明的身高忽略不計，則乙樓的高度是

米.3

四：恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和

世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km,A、8到直線X的

距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運送游客.小

民設(shè)計了兩種方案，圖（D是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P）,P到A、8的

距離之和*=PA+PB,圖（2）是方案二的示意圖（點A關(guān)于直線X的對稱點是4,連接交

直線X于點P）,P至IJA、6的距離之和S2=PA+PB.

（1）求5、S,,并比較它們的大??；

（2）請你說明"S,+的值為最??；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路丫與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，

8到直線丫的距離為30km,請你在X旁和丫旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q,使尸、A、B、。組成

的四邊形的周長最小.并求出這個最小值.

五：已知：如圖，在直角梯形儂刀中，AD//BC,ZABC=9Q°,DE工AC于點居交充于點G,交

相的延長線于點反且A￡=AC.

(1)求證：BG=FG；

(2)若AT>=OC=2,求相的長.

四邊形：

一：如圖，MACD、4ABE、△比F均為直線充同側(cè)的等邊三角形.

(1)當?shù)臅r，證明四邊形幺以石為平行四邊形；

(2)當麴=4。時，順次連結(jié)4D、F、￡四點所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的

類型和相應(yīng)的條件.

二：如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE,連結(jié)DE并延長至點

F,使EF=AE,連結(jié)AF、BE和CF。

(1)請在圖中找出一對全等三角形，用符號“絲”表示，并加以證明。

(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。

(3)若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積。

四：在矩形ABCD中，點E是AD邊上一點，連接BE,且NABE=30°,BE=DE,連接BD.點P從

點E出發(fā)沿射線ED運動，過點P作PQ〃BD交直線BE瑞Q.

(1)當點P在線段ED上時(如圖1),求證：BE=PD+空PQ；

(2)若BC=6,設(shè)PQ長為x,以P、Q、D三點為頂點筑構(gòu)成的三角形面積為y,求y與x的函

數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；

(3)在②的條件下，當點P運動到線段ED的中點時，連接QC,過點P作PLLQC,垂足為F,PF

交對角線BD于點G(如圖2),求線段PG的長。

五：如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長為2,下底長為4,腰長為2,這樣的紙片共有5張.

打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形，那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形?分別畫出

它們的示意圖,并寫出它們的周長.

七：如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8,將紙片折疊,使頂點8落在邊AD的￡點上,除10.

(1)當折痕的另一端尸在四邊上時,如圖(1).求△以石的面積.

(2)當折痕的另一端尸在血邊上時,如圖(2).證明四邊形BGEF為蓑形,并求出折痕跖的長.

BGC圖（1）"圖g）

八：(1)請用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個矩形中各作一個

不為正方形的菱形，且菱形的四個頂點都在矩形的邊上.(保留作圖痕跡)

(2)寫出你的作法.

4,04D2

B,c,B2G

九：如圖，尸是邊長為1的正方形眼切對角線47上一動點（尸與4、。不重合），點￡在射線優(yōu)

上，且陪陽

（1）求證：①PE=PD；②PELPD-,

（2）設(shè)仍x,△座'的面積為y.

①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍;

②當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.

十：如圖1,四邊形陽力是正方形，G是切邊上的一個動點（點G與。、，不重合），以CG為一

邊在正方形血力外作正方形施FG,連結(jié)及；，DE.我們探究下列圖中線段8G、線段比'的長度關(guān)

系及所在直線的位置關(guān)系：

（1）①猜想如圖1中線段及7、線段龐的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；

②將圖1中的正方形CEFG繞著息。按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度a,得到如圖2、如圖

3情形.請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷.

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6）,且杷=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a手b,k>0),

第（D題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由.

(3)在第⑵題圖5中，連結(jié)。G、BE,且a=3,b=2,k=-,求BE'DG?的值.

2

數(shù)據(jù)的分析：

-：為了幫助貧困失學兒童，某團市委發(fā)起“愛心儲蓄”活動，鼓勵學生將自己的壓歲錢和零花

錢存入銀行，定期一年，到期后可取回本金，而把利導捐給貧困失學兒童.某中學共有學生1200

人，圖1是該校各年級學生人黎中例分布的扇形統(tǒng)計圖，圖2是該校學生人即存款情況的條形統(tǒng)

計圖.

(1)九年級學生人均存款元；

(2)該校學生人均存款多少元？

(3)已知銀行一年期定期存款的年利率是2.25%

(“愛心儲蓄”免收利息稅)，且每351元能提供給一位失學兒

童一學年的基本費用，那么該校一學年能幫助多少為貧困失學

兒童。

二：如圖是連續(xù)十周測試甲、乙兩名運動員體能訓練情況的

折線統(tǒng)計圖。教練組規(guī)定：體能測試成績70分以上(包括

70分)為合格。

⑴請根據(jù)圖11中所提供的信息填寫下表：

平均數(shù)中位數(shù)體能測試成績合格次數(shù)

甲65

乙60

⑵請從下面兩個不同的角度對運動員體能測試結(jié)果進行判斷：

①依據(jù)平均數(shù)與成績合格的次數(shù)比較甲和乙，的體能測試成績較好；

②依據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)比較甲和乙，—的體能測試成績較好。

⑶依據(jù)折線統(tǒng)計圖和成績合格的次數(shù)，分析哪位運動員體能訓練的效果較好。

三：如圖所示，A、B兩個旅游點從2002年至2006年“五、一”的旅游人數(shù)變化情況分別用實線

和虛線表示.根據(jù)圖中所示解答以下問題：

(1)B旅游點的旅游人數(shù)相對上一年，增長最快的是哪一年？

(2)求A、B兩個旅游點從2002到2006年旅游人數(shù)的平均數(shù)和方差，并從平均數(shù)和方差的角度,

用一句話對這兩個旅游點的情況進行評價；

(3)A旅游點現(xiàn)在的門票價格為每人80元，為保護旅游點環(huán)境和游客的安全，A旅游點的最佳

接待人數(shù)為4萬人，為控制游客數(shù)量，A旅游點決定提高門票價格.已知門票價格元)與游

客人數(shù)八萬人)滿足函數(shù)關(guān)系)，=5-擊.若要使A旅游點

的游客人數(shù)不超過4萬人，則門票價格至少應(yīng)提高多少？

初二奧數(shù)輔導代數(shù)式的求值

代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切.許多代數(shù)式是先化簡再求值，特別是有附

加條件的代數(shù)式求值問題，往往需要利用乘法公式、絕對值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、

通分、約分、根式的性質(zhì)等等，經(jīng)過恒等變形，把代數(shù)式中隱含的條件顯現(xiàn)出來，化簡，進而求

值.因此，求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法.下面結(jié)合例題逐一介

紹.

1.利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡求值中，經(jīng)常被采用.

分析X的值是通過一個一元二次方程給出的，若解出X后，再求值，將會很麻煩.我

們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件.

解已知條件可變形為3X2+3X-1=0,所以

6X4+15X3+10X2

=(6X4+6X3-2X2)+(9X3+9X2-3X)+(3xJ+3x-l)+1

=(3x2+3x—1)(2Z2+3X+1)+1

=0+1=1.

說明在求代數(shù)式的值時，若已知的是一個或幾個代數(shù)式的值，這時要盡可能避免解方程(或

方程組)，而要將所要求值的代數(shù)式適當變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，會使問題得到簡

捷的解答.

例2已知a,b,c為實數(shù)，且滿足下式：

a2+b2+c2=l,①

求a+b+c的值.

解將②式因式分解變形如下

(iiinfi111)(111n

al—+-+-------1+b|—+-^---------1+c]-+----------1=-3,

caaj(cabtjbccj

即

所以

be+ac+ab

(a+b+c)-------；--------=0.

abc

所以

a+b+c=0或bc+ac+ab=0.

若bc+ac+ab=0,則

(a+b+c)2=a2+bJ+cJ+2(bc+ac+ab)

=a2+b2+c2=l,

所以a+b+c=±1.所以a+b+c的值為0,1,-1.

說明本題也可以用如下方法對②式變形：

aabbcc-八

一+—+—+—+—+—+3=0.

beeaab

(bc)(ac)(ab)

k+;+1J+k+b+rk+7+r0-

即

a+b+ca+b+ca+b+c-

-----------+--—+------------=0,

abc

也可得(a+b+c)(—+—+-1=0.

(abcf

前一解法是加一項，再減去一項；這個解法是將3拆成1+1+1,最終都是將②式變形為兩個

式子之積等于零的形式.

2.利用乘法公式求值

例3已知x+y=m,x3+y3=n,m#0,求x'y?的值.

解因為x+y=m,所以

m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m?xy,

所以xy=，-；.

33m

所以

m22n

x2+y2=(x+y)2-2xy=m2-2=----+-----

33mJ33m'

例4已知x=:(有+J5),y=:(有-加，

22求x?+6xy+y"的值.

分析將x,y的值直接代入計算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知中x,y的值正好是一對共較無理數(shù),

所以很容易計算出x+y與xy的值，由此得到以下解法.

解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy

=(x+y)2+4xy

Lo1

=(有y+4X-=54-2=7.

3.設(shè)參數(shù)法與換元法求值

如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設(shè)一些參數(shù)(也叫輔助未知數(shù)),

以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法.有時也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個字母來

替換，這叫換元法.

例5已知上=4=三，求x+y+z的值.

a-bb-cc-a

分析本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)k,用它表示連比的比值，以便把它

們分割成幾個等式.

解設(shè)/^=4=三=憶于是有

a-bb-cc-a

x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.

所以

x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.

例6已知%]+三=1,-+-+-=0,求W的值.

abcxyzab

分析若從求W+W+W的值入手，可考慮到應(yīng)把條件至+

abca

1+三=1兩邊平方，在平方之后，雖會出現(xiàn)一些交叉項，但能從

bc

另一個已知條件給予解決下面我們采用換元法求解.

解令￡=u,1=V,-=W,于是條件變?yōu)?/p>

abc

u+v+w=l,①

—=0.②

uvw

由②有

UV+VW+wu-

------------------=0,

uvw

所以uv+vw+wu=0.

把①兩邊平方得

UJ+V2+W2+2(UV+VW+WU)=1,

所以u2+v2+w2=l,

即

222

xyz

亞+郎+”

1

例7已知x=K,求

x6-2<j2x5-x4+x3-2V+2x-血的值.

分析若直接代入X的值計算，計算量較大，為此可先將x=

73一J2

分母有理化，整理變形后再求解.

解因為X=巨=73+72,即

無一也=V2.

兩邊平方有

x2-2-73x4-1=0.

同理，由x-應(yīng)=存可得

x2-2V2x-1=0.

所以

原式=x'(x2-A/2X-1)+x(x2-20x+l)+x-、也

=x4,O+x,O+x-^/2=E.

4.利用非負數(shù)的性質(zhì)求值

若幾個非負數(shù)的和為零，則每個非負數(shù)都為零，這個性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用.

例8若x?-4x+|3x-y|=-4,求8的值.

分析與解X,y的值均未知，而題目卻只給了一個方程，似乎無法求值，但仔細挖掘題中的

隱含條件可知，可以利用非負數(shù)的性質(zhì)求解.

因為x2-4x+|3x-y|=-4,所以

x"4x+4+13x-y|=0,

即(x-2)13x-y|=0.

__.x-2=0,

所以Vc

3x-y=0.

解之得

y=6.

所以yx=62=36.

例9未知數(shù)x,y滿足

(x2+y2)m~-2y(x+n)m+y2+n'=0,其中m,n表示非零已知數(shù)，求x,y的值.

分析與解兩個未知數(shù)，一個方程，對方程左邊的代數(shù)式進行恒等變形，經(jīng)過配方之后，看

是否能化成非負數(shù)和為零的形式.

將已知等式變形為

m2x2+m2yL，-2mxy-2mny+y;!+n2=0,

(m2x2-2mxy+y2)+(m2y'-2mny+n")=0,即(mx-y)"+(my-n)=0.

mx-y=0,

所以

my-n=0.

因為mA。，所以y+*=%

5.利用分式、根式的性質(zhì)求值

分式與根式的化簡求值問題，內(nèi)容相當豐富，因此設(shè)有專門講座介紹，這里只分別舉一個例

子略做說明.

例10已知xyzt=l,求下面代數(shù)式的值:

1+x+xy+xyz1+y+yz+yzt1+z+zt+ztx1+t+tx+txy

分析直接通分是笨拙的解法，可以利用條件將某些項的形式變一變.

解根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母可以同時乘以一個不為零的式子，分式的值不變.利

用已知條件，可將前三個分式的分母變?yōu)榕c第四個相同.

1+x+xy+xyzt+xt+xyt+xyzt

t+xt+xyt+1*

1+z+zt+ztxtxy+1+1+tx

分析計算時應(yīng)注意觀察式子的特點，若先分母有理化，計算反而復雜.因為這樣一來，原

9ah

例11已知a>0,b>0,當x=不二時，求

b'+1

Ya+x+Ya-x..旺

式的對稱性就被破壞了.這里所言的對稱性是

利用這種對稱性，或稱之為整齊性，來簡化我們的計算.

+x=+

(b+1)Va

Jb，+1

同樣(但請注意算術(shù)根！)

標②

Vb2+1

將①，②代入原式有

(b+1)m|b-l函

百才_J_2+]Jb"+]

際另一(b+1)小小

Jb，+1Vb2+1

_(b+l)+|b-1|

=(b+l)-|b-l|

rb,當b》l時；

=<1

7",當b〈l時.

力

練習六

_..2+2-,小旺

1.已知x=^―后，y=f-,求2--3xy+2y2的值.

2.已知x+y=a,x2+y2=b2,求x'+y'的值.

3.已矢口a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值.

4由y+zz+xx+y,+.e.一

4.如果^--=----=-----=k,求k的值.

zyz

5.設(shè)a+b+c=3m,求(m-a)、'+(m-b)(m-c)’-3(m-a)(m-b)(m-c)的值.

2求;x，-x?-x+2的值.

6.己知x=

、/5-1

7.已知X=3也（石+1）-3收道-1）,試求x?+12x的值.

8.已知13x2-6xy+y2-4x+l=0,求(x+y)13?xl0的值

初二奧數(shù)輔導因式分解(二)

1.雙十字相乘法

分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也

可以用十字相乘法分解因式.

例如,分解因式2x?-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降幕排列，并把y當作常數(shù)，于是上式可

變形為

2x2-(5+7y)x-(22yJ-35y+3),

可以看作是關(guān)于x的二次三項式.

對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解

2x(-lly+1)

所以

原式=[x+(2y-3)][2x+(-lly+1)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的過程，實施了。次十字相乘法.如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得

到下圖：

它表示的是下面三個關(guān)系式：

(x+2y)(2x-lly)=2x-7xy-22y2；

(x-3)(2x+l)=2x-5x-3；

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：

(1)用十字相乘法分解ax，bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式

中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(l)x~-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6xL-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.

解⑴

原式=(x-5y+2)(x+2yT).

⑵

原式=(x+y+l)(x-y+4).

(3)原式中缺x?項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解.

0

X

原式=(y+D(x+y-2).

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).

說明(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似.

2.求根法

1

我們把形如anx"+anHx--+-+a1x+afl(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式,并f(x),g(x)，…

等記號表示，如

f(x)=x-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,

當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)

f(l)=l-3X1+2=0；

f(-2)=(-2)-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的一個根.

定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a.

根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項式f(x)的根.對于任意多項式f(x),

要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下

面的定理來判定它是否有有理根.

定理2

若既約分數(shù)9是整系數(shù)多項式

P

n11

f(x)=aox+a/-1+aaX”-?！?a*iX+an

的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是a”的約數(shù).特別地，當a0=l時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為

a。的約數(shù).

我們根據(jù)上述定理f們蟆嘲鈕降母慈范心喇社降囊淮我蜘劍傭遠喇鈕澆幸拗椒紙狹?/DIV>

例2分解因式：X'-4X2+6X-4.

分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：±1,±

2,±4,只有

f(2)=2-4X22+6X2-4=0,

即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2.

解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).

原式=(x3_2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)

=X2(X-2)-2X(X-2)+2(X-2)

=(x-2)(x2—2x+2).

解法2用多項式除法，將原式除以(x-2),

所以

x2-2x+2

X-2/X3-4X2+6X-4

/x3-2x2

-2X2+6X

-2X2+4X

2x-4

2x-4

o'

原式=(x-2)(x、2x+2).

說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)

不一定是多項式的根.因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證.

例3分解因式：9X-3X3+7X-3X-2.

分析因為9的約數(shù)有±1,±3,±9；-2的約數(shù)有±1,

2,所以原式的有理根只可能是±1,±2,10±4，±(1,0±|,

+經(jīng)檢驗，只有、1和,o是原式的根，所以源式有因式x+g1和X-2,.又因

為：

(X+1)(X=1(3x+l)(3x-2)

=1(9x2-3x-2),

所以，原式有因式9x『3x-2.

?

解9x3x+7X2~3X~2

=9X4-3X!-2X2+9XJ-3X-2

為=x?(9xJ-3x-2)+9x'-3x-2

=(9x-3x-2)(x2+l)

=(3x+l)(3x-2)(x2+l)

說明若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式

/1、/2、212

(X+-)(x--)=X--X--

可以化為9X2-3X-2,這樣可以簡化分解過程.

總之，對一元高次多項式f(x),如果能找到一個一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x),

而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進行分解了.

3.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.

在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)

尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒

等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或

方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.

例4分解因式：x'+3xy+2y2+4x+5y+3.

分析由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),

若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可

求出m和n,使問題得到解決.

解設(shè)

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比較兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，則有

m+n=4,

?m+2n=5,

mn=3.

解之得m=3,n=l.所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1).

說明本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下.

例5分解因式：xl_2x,i_27X2_44X+7.

分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1,

±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式.如果原式能

分解，只能分解為(x'+ax+b)H+cx+d)的形式.

解設(shè)

原式=(x'+ax+b)(x^+cx+d)

=x'+(a+c)xJ+(b+d+ac)x'+(ad+bc)x+bd,

所以有

a+c=-2,

b+d+ac=-27,

ad+be=-44,

Ibd=7.

由bd=7,先考慮b=l,d=7有

a4-c=-2,

<ac=-35,

7a+c=-44,

所以

a=-7

解之得<

c=5.

原式=(x?-7x+l)(x'+5x+7).

說明由于因式分解的唯一性，所以對b=T,d=-7等可以不加以考慮.本題如果b=l,d=7代入方程

組后，無法確定a,c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止.

本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式.但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式.由

此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.

練習二

1.用雙十字相乘法分解因式：

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；

(2)x2-xy+2x+y-3；

(3)3x2-llxy+6y2-xz-4yz-2z2.

2.用求根法分解因式：

(l)x3+x2-10x-6；

43

(2)X+3X-3X-12X-4;

(3)4X'+4X!-9X'-X+2.

3.用待定系數(shù)法分解因式:

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；

(2)X4+5X3+15X-9.

初二奧數(shù)題

1、如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,DE=EC,EF〃AB交BC于點F,EF=EC,連結(jié)DF。

⑴試說明梯形ABCD是等腰梯形；

⑵若AD=1,BC=3,DC=V2,試判斷4DCF的形狀；

(3)在條件(2)下，射線BC上是否存在一點P,使4PCD是等腰三角形，若存在，請直接寫出PB

的長；若