問題型探究案例：圓錐曲線練習課

問題型探究案例：圓錐曲線練習課課題背景：圓錐曲線的綜合題既是解析幾何教學的重點，又是高考考查的熱點。然而傳統(tǒng)的“粉筆加黑板”在處理點在圓錐曲線上運動時，由于難以進行“動態(tài)”處理，“動點”只能用黑板上的一個靜態(tài)的“定點”來表示，導致學生難以形成良好的運動觀，整個學習過程抽象乏味。《幾何畫板》中的動畫、追蹤、軌跡等功能恰好填補了傳統(tǒng)教學的空白，為圓錐曲線中的動點教學提供了廣闊的前景。教學目的：解決圓錐曲線中與圓有關的一些問題。畫板特色：動態(tài)展示圖象，引導學生在實驗中不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣。教學過程：教師：求曲線的方程、通過方程研究曲線的性質是解析幾何的兩大主要問題。今天與同學們一起探討：怎樣探求點的軌跡。問題是數(shù)學的心臟，思維從問題開始。我們先看一個具體的例子：過橢圓的左焦點作弦過原點作弦的垂線，垂足為，求點的軌跡方程。通過學生思考與討論，5分鐘后，大部分都得出以下解法(思路)：圖1假設弦所在直線的斜率為，則的垂線的斜率為，列出這兩條直線的方程，聯(lián)立這兩個方程解出交點(即垂足)的坐標，圖1最后消去參數(shù)就得到點的軌跡方程：教師用幾何畫板演示：拖動主動點在橢圓上轉動，追蹤點，得到點的軌跡是一個小圓(如圖1)。(利用圖形驗證結論，加深學生的印象)忽然，有一個學生站起來說：“這樣的解題思路雖然容易想出來，但運算非常復雜，稍有不慎就會出錯。而這個軌跡既然是一個圓，而且是以為直徑的圓，是不是有什么簡單的方法?比如說利用圓的定義或性質。”新課程的要求就是以學生為主體，教師為主導，引導學生提出問題，解決問題。這正是一個很好的機會。教師讓同學們進行思考，共同幫忙解決這個問題。大概2分鐘后有一個學生說：“我有一個很簡單的方法：因為，所以，若設點的坐標為，點的坐標為，則，即。這就是所求的軌跡方程?！薄鞍?這么簡單!”同學們都驚訝起來。(教師鼓掌表示祝賀)馬上又有一個學生說：“大家都被橢圓這個外表給迷惑住了。其實這個問題只與原點和點的坐標有關，而與橢圓的弦無任何聯(lián)系。就是‘給定兩點與過這兩點作兩條互相垂直的直線，求交點的軌跡方程?！@當然很容易解得?！苯處煟骸昂芎谩偛磐瑢W們討論得很不錯。在探求點的軌跡時，一定要注意設法找出動點所滿足的幾何條件，尋找動點與不動點之間的幾何關系。平面幾何的有關結論對求點的軌跡很有用處?！比?、問題的再探究問題1：為拋物線的焦點，為拋物線上的任一點，請判斷以線段為直徑的圓與軸的位置關系?！窘處熁顒印繄D圖2圖31.在《幾何畫板》平臺作出本題的圖象(如圖2)，拖動主動點P，讓學生觀察圓的變化情況。讓學生從直觀上感覺圓與軸是相切的(圖3)，啟發(fā)學生利用圓與直線相切的條件，進而解決本題。2.板演解題步驟(規(guī)范書寫，給學生示范)解：作(如圖3)，則。又，，即線段為直徑的圓與軸相切。3.教師小結：解題時要充分利用直線與圓位置關系的判斷條件，以及拋物線的幾何性質。變題1：為拋物線的焦點，為拋物線上的點，且在同一直線上，則以線段為直徑的圓與拋物線準線的位置關系為_____________。【教師活動】1.在《幾何畫板》平臺作出本題的圖象(如圖4)，拖動，讓學生觀察圓的變化情況。讓學生從直觀上感覺圓與準線是相切的，通過和第一題的類比，進而解決本題。圖42.教師小結解題思路并要求學生完成本小題解答。(由于有了第一小題的方法以及幾何畫板的直觀作圖，學生不難解決此題圖43.解決了拋物線中的有關問題，能否在其他圓錐曲線上解決類似問題呢?(設疑)變題2：為橢圓的右焦點，為橢圓上的點，且在同一直線上，則以線段為直徑的圓與橢圓右線準線的位置關系為__________?！窘處熁顒印繄D51.通過幾何畫板分別作出圖形(圖5)圖52.解決了橢圓的問題，大家不挑戰(zhàn)一下雙曲線嗎?(繼續(xù)設疑提高學生的興趣)變題3：為雙曲線的右焦點，為雙曲線上的點，且在同一直線上，則以線段為直徑的圓與雙曲線右線準線的位置關系為__________?！驹O計意圖】在前面已經(jīng)討論了以橢圓，拋物線焦直徑為直徑的圓與此曲線相應準線的位置關系，學生一定會想知同樣作為圓錐曲線的雙曲線是什么情況。教師通過讓學生猜測結論，然后利用幾何畫板作出圖，要求一名學生口答求證的思路。變題4：為雙曲線的右焦點，為雙曲線上的任一點，試判斷圓與以線段為直徑的圓的位置關系?！驹O計意圖】本題隨著點在雙曲線的不同支上時，結論不一樣。如果采用傳統(tǒng)的教學方法就達不到效果，因此利用幾何畫板動態(tài)演示，引導學生運用分類討論思想【教師活動】1.通過電腦演示作圖過程，得圖6，學生猜測兩圓是外切關系。此時教師要求學生證明自己的猜測。圖圖6圖72.學生一般能得出以下證明方法：設為雙曲線的左焦點，為線段的中點；連結，圓心距，半徑之和為，又因為，所以，即圓心距等于半徑之和，所以兩圓外切。教師繼續(xù)提問學生這個性質跟點P的位置是否有關系(一般來說學生會認為沒有關系)。3.教師繼續(xù)演示幾何畫板讓點在雙曲線上運動，發(fā)現(xiàn)當點運動到雙曲線的左支時，兩圓不再外切了，看上去更像內切(如圖7)。學生此時會恍然大悟，得出結論：圓心距，半徑之差為，又因為，所以，即圓心距等于半徑之差，所以兩圓內切。4.教師總結：看問題要全面，做到“去偽存真”。【點評】借助幾何畫板的演示功能，學生在實驗中不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題