初中數(shù)學(xué)-1.2 直角三角形（備課件）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課系列（北師大版）

北師大版

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第一章

三角形的證明

1.2

直角三角形直角三角形的兩個(gè)銳角互余.問(wèn)題1

直角三角形的定義是什么？問(wèn)題2三角形內(nèi)角和的性質(zhì)是什么？有一個(gè)是直角的三角形叫直角三角形.三角形內(nèi)角和等于180°.這節(jié)課我們一起來(lái)證明直角三角形的判定與性質(zhì).問(wèn)題3

前面我們探究過(guò)直角三角形的哪些性質(zhì)？在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.復(fù)習(xí)引入問(wèn)題：直角三角形的兩銳角互余，為什么？問(wèn)題引入根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得到“直角三角形的兩銳角互余”.如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？一、直角三角形的性質(zhì)與判定如圖，在△ABC中，∠A

+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？在△ABC中，因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.知識(shí)回顧勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理.acb勾弦股二、勾股定理及其逆定理證明欣賞bacbac1．美國(guó)第二十任總統(tǒng)的證法：cabcabcabcab∵(a+b)2=

c2+，a2+2ab+b2=

c2+2ab，∴a2+b2=c2.大正方形的面積可以表示為

；也可以表示為

；(a+b)2c2+2．利用正方形面積拼圖證明：c∵c2=+(b-a)2，c2=2ab+b2-2ab+a2，c2=a2+b2，∴a2+b2=c2.大正方形的面積可以表示為

；也可以表示為

．c2+(b-a)23．趙爽弦圖ca

ca

cb

aabbb如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形．勾股定理反過(guò)來(lái)，怎么敘述呢？這個(gè)命題是真命題嗎？為什么？ABC已知：如圖,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求證:△ABC是直角三角形．分析：構(gòu)造一個(gè)直角三角形與△ABC全等，你能自己寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？

證明此命題：證明：作Rt△DEF,使∠E=90°,DE=AC,FE=BC，則DE2+EF2=DF2(勾股定理)．∵AC2+BC2=AB2(已知),DE=AC,FE=BC(作圖),∴AB2=DF2，∴AB=DF，∴△ABC≌△DFE（SSS）．∴∠C=∠E=90°,∴△ABC是直角三角形．DFE

┏ABC歸納總結(jié)定理:如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形．勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．觀(guān)察上面第一個(gè)定理和第二個(gè)定理，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系？第三個(gè)定理和第四個(gè)定理呢？與同伴交流.再觀(guān)察下面三組命題：（1）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等；如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定會(huì)發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.三、逆命題與互逆定理（3）一個(gè)三角形中相等的邊所對(duì)的角相等；一個(gè)三角形中相等的角所對(duì)的邊相等.上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論也有類(lèi)似的關(guān)系嗎？與同伴交流.1．在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱(chēng)

為互逆命題，其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆

命題．2．如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么

它也是一個(gè)定理，其中一個(gè)定理稱(chēng)為另一個(gè)定理

的逆定理，這兩個(gè)定理稱(chēng)為互逆定理．例判斷下列命題的真假，寫(xiě)出逆命題，并判斷逆命題的真假：(1)如果兩條直線(xiàn)相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.導(dǎo)引：根據(jù)題目要求，先判斷原命題的真假，再將原命題的題設(shè)和結(jié)論部分互換，寫(xiě)出原命題的逆命題，最后判斷逆命題的真假．解：(1)原命題是真命題．逆命題為：如果兩條直線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，那么它們相交．逆命題是真命題．(2)原命題是假命題．逆命題為：如果a2＞b2，那么a＞b.逆命題是假命題．(3)原命題是真命題．逆命題為：如果兩個(gè)數(shù)的和為

零，那么它們互為相反數(shù)．逆命題是真命題．(4)原命題是假命題．逆命題為：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命題是真命題．寫(xiě)出逆命題的關(guān)鍵是分清楚原命題的題設(shè)和結(jié)論，然后將它的題設(shè)和結(jié)論交換位置就得到這個(gè)命題的逆命題．判斷一個(gè)命題是真命題需要進(jìn)行邏輯推理，判斷一個(gè)命題是假命題只需要舉出反例就可以了．歸納總結(jié)問(wèn)題：如果這兩個(gè)三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF嗎？ABCDEF四、直角三角形全等的判定（“斜邊、直角邊”定理）任意畫(huà)出一個(gè)Rt△ABC,使∠C=90°.再畫(huà)一個(gè)Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把畫(huà)好的Rt△A′B′C′剪下來(lái)，放到Rt△ABC上，它們能重合嗎？ABC作圖探究畫(huà)圖方法視頻（點(diǎn)擊文字播放）畫(huà)圖思路（1）先畫(huà)∠MC′

N=90°ABCM

C′N(xiāo)畫(huà)圖思路（2）在射線(xiàn)C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′畫(huà)圖思路（3）以點(diǎn)B′為圓心，AB為半徑畫(huà)弧，交射線(xiàn)C′N(xiāo)于A(yíng)′MC′ABCNB′A′畫(huà)圖思路（4）連接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通過(guò)上面的探究，你能得出什么結(jié)論？知識(shí)要點(diǎn)“斜邊、直角邊”判定方法文字語(yǔ)言：

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）.幾何語(yǔ)言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定兩個(gè)直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,證明：斜邊和直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.已知：如圖在△ABC和△A

′B′C′中，∠C=∠C′=90o,AB=A′B′,AC=A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：在△ABC中，∵∠C=90o,∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）,同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2,∵AB=A′B′,AC=A′C′,∴BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′ABCA′B′C′判定兩個(gè)直角三角形全等的方法：”邊、邊、邊”或“SSS””邊、角、邊”或“SAS””角、邊、角”或“ASA””角、角、邊”或“AAS””斜邊、直角邊”或“HL”知識(shí)要點(diǎn)例1已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分別是AC、A′C′邊上的中線(xiàn)且BD=B′D′(如圖)．求證：Rt△ABC≌CORt△A′B′C′．證明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中，∵BD=B′D′,BC=B′C′,∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′(HL定理)．CD=C'D'．又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵BC=B′C′，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)例2.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾斜∠B和∠F的大小有什么關(guān)系.

解：∠BAC=∠EDF=90°在Rt△ABC與Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠B=∠DEF（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），又∵∠DEF+∠F=90o∴∠B+∠F=90°1．如圖，一張長(zhǎng)方形紙片，剪去部分后得到一個(gè)三角形，則圖中∠1＋∠2的度數(shù)是()A．30°B．60°C．90°D．120°2．由下列條件不能判定△ABC是直角三角形的是()A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A＝34°，∠B＝56°C．∠B＝42°，∠C＝38°D．∠A＝72°，∠B＝18°3．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，將△ABC沿BD翻折后，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)C重合．若BC＝5，CD＝3，則BD的長(zhǎng)為()A．1B．2C．3D．4CCD課堂練習(xí)4．如圖，點(diǎn)P是∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，PE＝PF，則直接得到△PEA≌△PFA的理由是()A．HLB．ASAC．AASD．SAS5．不能判斷兩個(gè)直角三角形全等的條件是(

)A．兩銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形

B．一銳角和銳角所對(duì)的直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形

C．兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形

D．一條直角邊和斜邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形AA6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD和CE交于點(diǎn)O，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)F，則圖中全等的直角三角形有()A．3對(duì)B．4對(duì)C．5對(duì)D．6對(duì)7．如圖，點(diǎn)D，A，E在直線(xiàn)l上，AB＝AC，BD⊥l于點(diǎn)D，CE⊥l于點(diǎn)E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，則DE＝．

8D8．如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF.(1)求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度數(shù)．解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB