大學(xué)物理學(xué)答案解析第3版-修訂版(上冊)北京郵電大學(xué)完全版

./zz大學(xué)物理習(xí)題及解答習(xí)題一1．6｜｜與有無不同?和有無不同?和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明．解：〔1是位移的模,是位矢的模的增量,即,；〔2是速度的模,即.只是速度在徑向上的分量.∵有〔式中叫做單位矢,則式中就是速度徑向上的分量,∴不同如題1-1圖所示.題1-1圖<3>表示加速度的模,即,是加速度在切向上的分量.∵有表軌道節(jié)線方向單位矢,所以式中就是加速度的切向分量.<的運(yùn)算較復(fù)雜,超出教材規(guī)定,故不予討論>1．7設(shè)質(zhì)點的運(yùn)動方程為=<>,=<>,在計算質(zhì)點的速度和加速度時,有人先求出r＝,然后根據(jù)=,及＝而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量,再合成求得結(jié)果,即=及=你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量,在平面直角坐標(biāo)系中,有,故它們的模即為而前一種方法的錯誤可能有兩點,其一是概念上的錯誤,即誤把速度、加速度定義作其二,可能是將誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明不是速度的模,而只是速度在徑向上的分量,同樣,也不是加速度的模,它只是加速度在徑向分量中的一部分。或者概括性地說,前一種方法只考慮了位矢在徑向〔即量值方面隨時間的變化率,而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻(xiàn)。1．8一質(zhì)點在平面上運(yùn)動,運(yùn)動方程為=3+5,=2+3-4.式中以s計,,以m計．<1>以時間為變量,寫出質(zhì)點位置矢量的表示式；<2>求出=1s時刻和＝2s時刻的位置矢量,計算這1秒內(nèi)質(zhì)點的位移；<3>計算＝0s時刻到＝4s時刻內(nèi)的平均速度；<4>求出質(zhì)點速度矢量表示式,計算＝4s時質(zhì)點的速度；<5>計算＝0s到＝4s內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；<6>求出質(zhì)點加速度矢量的表示式,計算＝4s時質(zhì)點的加速度<請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量式>．解：〔1<2>將,代入上式即有<3>∵∴<4>則<5>∵<6>這說明該點只有方向的加速度,且為恒量。1．9質(zhì)點沿軸運(yùn)動,其加速度和位置的關(guān)系為＝2+6,的單位為,的單位為m.質(zhì)點在＝0處,速度為10,試求質(zhì)點在任何坐標(biāo)處的速度值．解：∵分離變量：兩邊積分得由題知,時,,∴∴1．10已知一質(zhì)點作直線運(yùn)動,其加速度為＝4+3,開始運(yùn)動時,＝5m,=0,求該質(zhì)點在＝10s時的速度和位置．解：∵分離變量,得積分,得由題知,,,∴故又因為分離變量,積分得由題知,,∴故所以時1.11一質(zhì)點沿半徑為1m的圓周運(yùn)動,運(yùn)動方程為=2+3,式中以弧度計,以秒計,求：<1>＝2s時,質(zhì)點的切向和法向加速度；<2>當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時,其角位移是多少?解：<1>時,<2>當(dāng)加速度方向與半徑成角時,有即亦即則解得于是角位移為1.12質(zhì)點沿半徑為的圓周按＝的規(guī)律運(yùn)動,式中為質(zhì)點離圓周上某點的弧長,,都是常量,求：<1>時刻質(zhì)點的加速度；<2>為何值時,加速度在數(shù)值上等于．解：〔1則加速度與半徑的夾角為<2>由題意應(yīng)有即∴當(dāng)時,1.14一船以速率＝30km·h-1沿直線向東行駛,另一小艇在其前方以速率＝40km·h-1沿直線向北行駛,問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何?解：<1>大船看小艇,則有,依題意作速度矢量圖如題1-13圖<a>題1-13圖由圖可知方向北偏西<2>小船看大船,則有,依題意作出速度矢量圖如題1-13圖<b>,同上法,得方向南偏東習(xí)題二2.7一細(xì)繩跨過一定滑輪,繩的一邊懸有一質(zhì)量為的物體,另一邊穿在質(zhì)量為的圓柱體的豎直細(xì)孔中,圓柱可沿繩子滑動．今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升,柱體相對于繩子以勻加速度下滑,求,相對于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力<繩輕且不可伸長,滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計>．解：因繩不可伸長,故滑輪兩邊繩子的加速度均為,其對于則為牽連加速度,又知對繩子的相對加速度為,故對地加速度,由圖<b>可知,為①又因繩的質(zhì)量不計,所以圓柱體受到的摩擦力在數(shù)值上等于繩的張力,由牛頓定律,有②③聯(lián)立①、②、③式,得討論<1>若,則表示柱體與繩之間無相對滑動．<2>若,則,表示柱體與繩之間無任何作用力,此時,均作自由落體運(yùn)動．題2-1圖2.8一個質(zhì)量為的質(zhì)點,在光滑的固定斜面〔傾角為上以初速度運(yùn)動,的方向與斜面底邊的水平線平行,如圖所示,求這質(zhì)點的運(yùn)動軌道．解:物體置于斜面上受到重力,斜面支持力.建立坐標(biāo)：取方向為軸,平行斜面與軸垂直方向為軸.如圖2-2.題2-2圖方向：①方向：②時由①、②式消去,得2.9質(zhì)量為16kg的質(zhì)點在平面內(nèi)運(yùn)動,受一恒力作用,力的分量為＝6N,＝-7N,當(dāng)＝0時,0,＝-2m·s-1,＝0．求當(dāng)＝2s時質(zhì)點的<1>位矢；<2>速度．解：<1>于是質(zhì)點在時的速度<2>2．10質(zhì)點在流體中作直線運(yùn)動,受與速度成正比的阻力<為常數(shù)>作用,=0時質(zhì)點的速度為,證明<1>時刻的速度為＝；<2>由0到的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為＝<>［1-］；<3>停止運(yùn)動前經(jīng)過的距離為；<4>證明當(dāng)時速度減至的,式中m為質(zhì)點的質(zhì)量．答:<1>∵分離變量,得即∴<2><3>質(zhì)點停止運(yùn)動時速度為零,即t→∞,故有<4>當(dāng)t=時,其速度為即速度減至的.2.11一質(zhì)量為的質(zhì)點以與地的仰角=30°的初速從地面拋出,若忽略空氣阻力,求質(zhì)點落地時相對拋射時的動量的增量．解:依題意作出示意圖如題2-6圖題2.11圖在忽略空氣阻力情況下,拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同,與軌道相切斜向下,而拋物線具有對軸對稱性,故末速度與軸夾角亦為,則動量的增量為由矢量圖知,動量增量大小為,方向豎直向下．2.12一質(zhì)量為的小球從某一高度處水平拋出,落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞．并在拋出1s,跳回到原高度,速度仍是水平方向,速度大小也與拋出時相等．求小球與桌面碰撞過程中,桌面給予小球的沖量的大小和方向．并回答在碰撞過程中,小球的動量是否守恒?解:由題知,小球落地時間為．因小球為平拋運(yùn)動,故小球落地的瞬時向下的速度大小為,小球上跳速度的大小亦為．設(shè)向上為軸正向,則動量的增量方向豎直向上,大小碰撞過程中動量不守恒．這是因為在碰撞過程中,小球受到地面給予的沖力作用．另外,碰撞前初動量方向斜向下,碰后末動量方向斜向上,這也說明動量不守恒．2.13作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為N,式中的單位是s,<1>求4s后,這物體的動量和速度的變化,以及力給予物體的沖量．<2>為了使這力的沖量為200N·s,該力應(yīng)在這物體上作用多久,試就一原來靜止的物體和一個具有初速度m·s-1的物體,回答這兩個問題．解:<1>若物體原來靜止,則,沿軸正向,若物體原來具有初速,則于是,同理,,這說明,只要力函數(shù)不變,作用時間相同,則不管物體有無初動量,也不管初動量有多大,那么物體獲得的動量的增量<亦即沖量>就一定相同,這就是動量定理．<2>同上理,兩種情況中的作用時間相同,即亦即解得,<舍去>2.14一質(zhì)量為的質(zhì)點在平面上運(yùn)動,其位置矢量為求質(zhì)點的動量及＝0到時間內(nèi)質(zhì)點所受的合力的沖量和質(zhì)點動量的改變量．解:質(zhì)點的動量為將和分別代入上式,得,,則動量的增量亦即質(zhì)點所受外力的沖量為2.15一顆子彈由槍口射出時速率為,當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時,它所受的合力為F=<>N<為常數(shù)>,其中以秒為單位：<1>假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零,試計算子彈走完槍筒全長所需時間；<2>求子彈所受的沖量．<3>求子彈的質(zhì)量．解:<1>由題意,子彈到槍口時,有,得<2>子彈所受的沖量將代入,得<3>由動量定理可求得子彈的質(zhì)量2.16一炮彈質(zhì)量為,以速率飛行,其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊,爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為,且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍,如兩者仍沿原方向飛行,試證其速率分別為+,-證明:設(shè)一塊為,則另一塊為,及于是得①又設(shè)的速度為,的速度為,則有②③聯(lián)立①、③解得④將④代入②,并整理得于是有將其代入④式,有又,題述爆炸后,兩彈片仍沿原方向飛行,故只能取證畢．2.17設(shè)．<1>當(dāng)一質(zhì)點從原點運(yùn)動到時,求所作的功．<2>如果質(zhì)點到處時需0.6s,試求平均功率．<3>如果質(zhì)點的質(zhì)量為1kg,試求動能的變化．解:<1>由題知,為恒力,∴<2><3>由動能定理,2.18以鐵錘將一鐵釘擊入木板,設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比,在鐵錘擊第一次時,能將小釘擊入木板內(nèi)1cm,問擊第二次時能擊入多深,假定鐵錘兩次打擊鐵釘時的速度相同．解:以木板上界面為坐標(biāo)原點,向內(nèi)為坐標(biāo)正向,如題2-13圖,則鐵釘所受阻力為題2-13圖第一錘外力的功為①式中是鐵錘作用于釘上的力,是木板作用于釘上的力,在時,．設(shè)第二錘外力的功為,則同理,有②由題意,有③即所以,于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為2.19設(shè)已知一質(zhì)點<質(zhì)量為>在其保守力場中位矢為點的勢能為,試求質(zhì)點所受保守力的大小和方向．解:方向與位矢的方向相反,即指向力心．2.20一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端,掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧,的下端一重物,的質(zhì)量為,如題2.20圖．求這一系統(tǒng)靜止時兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比．解:彈簧及重物受力如題2.20圖所示平衡時,有題2.20圖又所以靜止時兩彈簧伸長量之比為彈性勢能之比為2.21<1>試計算月球和地球?qū)ξ矬w的引力相抵消的一點,距月球表面的距離是多少?地球質(zhì)量5.98×1024kg,地球中心到月球中心的距離3.84×108m,月球質(zhì)量7.35×1022kg,月球半徑1.74×106m．<2>如果一個1kg的物體在距月球和地球均為無限遠(yuǎn)處的勢能為零,那么它在點的勢能為多少?解:<1>設(shè)在距月球中心為處,由萬有引力定律,有經(jīng)整理,得=則點處至月球表面的距離為<2>質(zhì)量為的物體在點的引力勢能為2.22如題2.22圖所示,一物體質(zhì)量為2kg,以初速度＝3m·s-1從斜面點處下滑,它與斜面的摩擦力為8N,到達(dá)點后壓縮彈簧20cm后停止,然后又被彈回,求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度．解:取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點,彈簧原長處為彈性勢能零點。則由功能原理,有式中,,再代入有關(guān)數(shù)據(jù),解得題2.22圖再次運(yùn)用功能原理,求木塊彈回的高度代入有關(guān)數(shù)據(jù),得,則木塊彈回高度題2.23圖2.23質(zhì)量為的大木塊具有半徑為的四分之一弧形槽,如題2.23圖所示．質(zhì)量為的小立方體從曲面的頂端滑下,大木塊放在光滑水平面上,二者都作無摩擦的運(yùn)動,而且都從靜止開始,求小木塊脫離大木塊時的速度．解:從上下滑的過程中,機(jī)械能守恒,以,,地球為系統(tǒng),以最低點為重力勢能零點,則有又下滑過程,動量守恒,以,為系統(tǒng)則在脫離瞬間,水平方向有聯(lián)立,以上兩式,得2.24一個小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞,試證碰后兩小球的運(yùn)動方向互相垂直．證:兩小球碰撞過程中,機(jī)械能守恒,有即①題2.24圖<a>題2.24圖<b>又碰撞過程中,動量守恒,即有亦即②由②可作出矢量三角形如圖<b>,又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理,且以為斜邊,故知與是互相垂直的．第三習(xí)題3.7一質(zhì)量為的質(zhì)點位于<>處,速度為,質(zhì)點受到一個沿負(fù)方向的力的作用,求相對于坐標(biāo)原點的角動量以及作用于質(zhì)點上的力的力矩．解:由題知,質(zhì)點的位矢為作用在質(zhì)點上的力為所以,質(zhì)點對原點的角動量為作用在質(zhì)點上的力的力矩為3.8哈雷彗星繞太陽運(yùn)動的軌道是一個橢圓．它離太陽最近距離為＝8.75×1010m時的速率是＝5.46×104m·s-1,它離太陽最遠(yuǎn)時的速率是＝9.08×102m·s-1這時它離太陽的距離多少?<太陽位于橢圓的一個焦點。>解:哈雷彗星繞太陽運(yùn)動時受到太陽的引力——即有心力的作用,所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠(yuǎn)日點時的速度都與軌道半徑垂直,故有∴3.10物體質(zhì)量為3kg,=0時位于,,如一恒力作用在物體上,求3秒后,<1>物體動量的變化；<2>相對軸角動量的變化．解:<1><2>解<一>即,即,∴∴解<二>∵∴題2-24圖3.10平板中央開一小孔,質(zhì)量為的小球用細(xì)線系住,細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物．小球作勻速圓周運(yùn)動,當(dāng)半徑為時重物達(dá)到平衡．今在的下方再掛一質(zhì)量為的物體,如題2-24圖．試問這時小球作勻速圓周運(yùn)動的角速度和半徑為多少?解:在只掛重物時,小球作圓周運(yùn)動的向心力為,即①掛上后,則有②重力對圓心的力矩為零,故小球?qū)A心的角動量守恒．即③聯(lián)立①、②、③得3.11飛輪的質(zhì)量＝60kg,半徑＝0.25m,繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)速為900rev·min-1．現(xiàn)利用一制動的閘桿,在閘桿的一端加一豎直方向的制動力,可使飛輪減速．已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示,閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4,飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計算．試求：<1>設(shè)＝100N,問可使飛輪在多長時間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動?在這段時間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)?<2>如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半,需加多大的力?解:<1>先作閘桿和飛輪的受力分析圖<如圖<b>>．圖中、是正壓力,、是摩擦力,和是桿在點轉(zhuǎn)軸處所受支承力,是輪的重力,是輪在軸處所受支承力．題3.11圖〔a題3.11圖<b>桿處于靜止?fàn)顟B(tài),所以對點的合力矩應(yīng)為零,設(shè)閘瓦厚度不計,則有對飛輪,按轉(zhuǎn)動定律有,式中負(fù)號表示與角速度方向相反．∵∴又∵∴①以等代入上式,得由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動的時間為這段時間內(nèi)飛輪的角位移為可知在這段時間里,飛輪轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)．<2>,要求飛輪轉(zhuǎn)速在內(nèi)減少一半,可知用上面式<1>所示的關(guān)系,可求出所需的制動力為3.12固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸轉(zhuǎn)動．設(shè)大小圓柱體的半徑分別為和,質(zhì)量分別為和．繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體和相連,和則掛在圓柱體的兩側(cè),如題3.12圖所示．設(shè)＝0.20m,＝0.10m,＝4kg,＝10kg,＝＝2kg,且開始時,離地均為＝2m．求：<1>柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；<2>兩側(cè)細(xì)繩的張力．解:設(shè),和β分別為,和柱體的加速度及角加速度,方向如圖<如圖b>．題3.12<a>圖題3.12<b>圖,和柱體的運(yùn)動方程如下：①②③式中而由上式求得<2>由①式由②式3.13計算題3.13圖所示系統(tǒng)中物體的加速度．設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體,其質(zhì)量為,半徑為,在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn),忽略桌面與物體間的摩擦,設(shè)＝50kg,＝200kg,M＝15kg,＝0.1m解:分別以,滑輪為研究對象,受力圖如圖<b>所示．對,運(yùn)用牛頓定律,有①②對滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律,有③又,④聯(lián)立以上4個方程,得題3.13<a>圖題3.13<b>圖題3.14圖3.14如題3.14圖所示,一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為,長為,可繞過一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動,桿于水平位置由靜止開始擺下．求：<1>初始時刻的角加速度；<2>桿轉(zhuǎn)過角時的角速度.解:<1>由轉(zhuǎn)動定律,有∴<2>由機(jī)械能守恒定律,有∴題3.15圖3.15如題3.15圖所示,質(zhì)量為,長為的均勻直棒,可繞垂直于棒一端的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動,它原來靜止在平衡位置上．現(xiàn)有一質(zhì)量為的彈性小球飛來,正好在棒的下端與棒垂直地相撞．相撞后,使棒從平衡位置處擺動到最大角度30°處．<1>設(shè)這碰撞為彈性碰撞,試計算小球初速的值；<2>相撞時小球受到多大的沖量?解:<1>設(shè)小球的初速度為,棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為,而小球的速度變?yōu)?按題意,小球和棒作彈性碰撞,所以碰撞時遵從角動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律,可列式：①②上兩式中,碰撞過程極為短暫,可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后,棒從豎直位置上擺到最大角度,按機(jī)械能守恒定律可列式：③由③式得由①式④由②式⑤所以求得<2>相碰時小球受到的沖量為由①式求得負(fù)號說明所受沖量的方向與初速度方向相反．題3.16圖3.16一個質(zhì)量為M、半徑為并以角速度轉(zhuǎn)動著的飛輪<可看作勻質(zhì)圓盤>,在某一瞬時突然有一片質(zhì)量為的碎片從輪的邊緣上飛出,見題3.16圖．假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上．<1>問它能升高多少?<2>求余下部分的角速度、角動量和轉(zhuǎn)動動能．解:<1>碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度設(shè)碎片上升高度時的速度為,則有令,可求出上升最大高度為<2>圓盤的轉(zhuǎn)動慣量,碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動慣量,碎片脫離前,盤的角動量為,碎片剛脫離后,碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱?但內(nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動量,碎片與破盤的總角動量應(yīng)守恒,即式中為破盤的角速度．于是得<角速度不變>圓盤余下部分的角動量為轉(zhuǎn)動動能為題3.17圖3.17一質(zhì)量為、半徑為R的自行車輪,假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上,可繞軸自由轉(zhuǎn)動．另一質(zhì)量為的子彈以速度射入輪緣<如題3。17圖所示方向>．<1>開始時輪是靜止的,在質(zhì)點打入后的角速度為何值?<2>用,和表示系統(tǒng)<包括輪和質(zhì)點>最后動能和初始動能之比．解:<1>射入的過程對軸的角動量守恒∴<2>3.18彈簧、定滑輪和物體的連接如題3.18圖所示,彈簧的勁度系數(shù)為2.0N·m-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kg·m2,半徑為0.30m,問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時,它的速率為多大?假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長．解:以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng),重物下落的過程中,機(jī)械能守恒,以最低點為重力勢能零點,彈簧原長為彈性勢能零點,則有又故有題3.18圖習(xí)題四4.3慣性系S′相對另一慣性系沿軸作勻速直線運(yùn)動,取兩坐標(biāo)原點重合時刻作為計時起點．在S系中測得兩事件的時空坐標(biāo)分別為=6×104m,=2×10-4s,以及=12×104m,=1×10-4s．已知在S′系中測得該兩事件同時發(fā)生．試問：<1>S′系相對S系的速度是多少?<2>系中測得的兩事件的空間間隔是多少?解:設(shè)相對的速度為,<1>由題意則故<2>由洛侖茲變換代入數(shù)值,4.4長度=1m的米尺靜止于S′系中,與′軸的夾角=30°,S′系相對S系沿軸運(yùn)動,在S系中觀測者測得米尺與軸夾角為45．試求：<1>S′系和S系的相對運(yùn)動速度.<2>S系中測得的米尺長度．解:<1>米尺相對靜止,它在軸上的投影分別為：,米尺相對沿方向運(yùn)動,設(shè)速度為,對系中的觀察者測得米尺在方向收縮,而方向的長度不變,即故把及代入則得故<2>在系中測得米尺長度為4．5兩個慣性系中的觀察者和以0.6c<c表示真空中光速>的相對速度相互接近,如果測得兩者的初始距離是20m,則測得兩者經(jīng)過多少時間相遇?解:測得相遇時間為 測得的是固有時∴,,,或者,測得長度收縮,4.6觀測者甲乙分別靜止于兩個慣性參考系和中,甲測得在同一地點發(fā)生的兩事件的時間間隔為4s,而乙測得這兩個事件的時間間隔為5s．求：<1>相對于的運(yùn)動速度．<2>乙測得這兩個事件發(fā)生的地點間的距離．解:甲測得,乙測得,坐標(biāo)差為′<1>∴解出<2>∴負(fù)號表示．4.76000m的高空大氣層中產(chǎn)生了一個介子以速度=0.998c飛向地球．假定該介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命2×10-6s．試分別從下面兩個角度,即地球上的觀測者和介子靜止系中觀測者來判斷介子能否到達(dá)地球．解:介子在其自身靜止系中的壽命是固有<本征>時間,對地球觀測者,由于時間膨脹效應(yīng),其壽命延長了．衰變前經(jīng)歷的時間為這段時間飛行距離為因,故該介子能到達(dá)地球．或在介子靜止系中,介子是靜止的．地球則以速度接近介子,在時間內(nèi),地球接近的距離為經(jīng)洛侖茲收縮后的值為：,故介子能到達(dá)地球．4.8設(shè)物體相對S′系沿軸正向以0.8c運(yùn)動,如果S′系相對S系沿x軸正向的速度也是0.8c,問物體相對S系的速率是多少?解:根據(jù)速度合成定理,,∴4．9飛船以0.8c的速度相對地球向正東飛行,飛船以0.6c的速度相對地球向正西方向飛行．當(dāng)兩飛船即將相遇時飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號彈．在飛船的觀測者測得兩顆信號彈相隔的時間間隔為多少?解:取為系,地球為系,自西向東為<>軸正向,則對系的速度,系對系的速度為,則對系<船>的速度為發(fā)射彈是從的同一點發(fā)出,其時間間隔為固有時,題3-14圖∴中測得的時間間隔為：4.10<1>火箭和分別以0.8c和0.6c的速度相對地球向+和-方向飛行．試求由火箭測得的速度．<2>若火箭相對地球以0.8c的速度向+方向運(yùn)動,火箭的速度不變,求相對的速度．解:<1>如圖,取地球為系,為系,則相對的速度,火箭相對的速度,則相對<>的速度為：或者取為系,則,相對系的速度,于是相對的速度為：<2>如圖,取地球為系,火箭為系,系相對系沿方向運(yùn)動,速度,對系的速度為,,,由洛侖茲變換式相對的速度為：∴相對的速度大小為速度與軸的夾角為題3-15圖4.11靜止在S系中的觀測者測得一光子沿與軸成角的方向飛行．另一觀測者靜止于S′系,S′系的軸與軸一致,并以0.6c的速度沿方向運(yùn)動．試問S′系中的觀測者觀測到的光子運(yùn)動方向如何?解:系中光子運(yùn)動速度的分量為由速度變換公式,光子在系中的速度分量為光子運(yùn)動方向與軸的夾角滿足在第二象限為在系中,光子的運(yùn)動速度為正是光速不變．4.12<1>如果將電子由靜止加速到速率為0.1c,須對它作多少功?<2>如果將電子由速率為0.8c加速到0.9c,又須對它作多少功?解:<1>對電子作的功,等于電子動能的增量,得J=<2>>4.13子靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍,靜止時的平均壽命=2×10-6s,若它在實驗室參考系中的平均壽命=7×10-6s,試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍?解:設(shè)子靜止質(zhì)量為,相對實驗室參考系的速度為,相應(yīng)質(zhì)量為,電子靜止質(zhì)量為,因由質(zhì)速關(guān)系,在實驗室參考系中質(zhì)量為：故4.14一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%,試問此物體在運(yùn)動方向上縮短了百分之幾?解:設(shè)靜止質(zhì)量為,運(yùn)動質(zhì)量為,由題設(shè)由此二式得∴在運(yùn)動方向上的長度和靜長分別為和,則相對收縮量為：4.15氫原子的同位素氘<H>和氚<H>在高溫條件下發(fā)生聚變反應(yīng),產(chǎn)生氦<He>原子核和一個中子<n>,并釋放出大量能量,其反應(yīng)方程為H+H→He+n已知氘核的靜止質(zhì)量為2.0135原子質(zhì)量單位<1原子質(zhì)量單位＝1.600×10-27kg>,氚核和氦核及中子的質(zhì)量分別為3.0155,4.0015,1.00865原子質(zhì)量單位．求上述聚變反應(yīng)釋放出來的能量．解:反應(yīng)前總質(zhì)量為反應(yīng)后總質(zhì)量為質(zhì)量虧損由質(zhì)能關(guān)系得習(xí)題五5.3符合什么規(guī)律的運(yùn)動才是諧振動?分別分析下列運(yùn)動是不是諧振動：<1>拍皮球時球的運(yùn)動；<2>如題4-1圖所示,一小球在一個半徑很大的光滑凹球面內(nèi)滾動<設(shè)小球所經(jīng)過的弧線很短>．題4-1圖解：要使一個系統(tǒng)作諧振動,必須同時滿足以下三個條件：一,描述系統(tǒng)的各種參量,如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、擺長……等等在運(yùn)動中保持為常量；二,系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動；三,在運(yùn)動中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用．或者說,若一個系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程能用描述時,其所作的運(yùn)動就是諧振動．<1>拍皮球時球的運(yùn)動不是諧振動．第一,球的運(yùn)動軌道中并不存在一個穩(wěn)定的平衡位置；第二,球在運(yùn)動中所受的三個力：重力,地面給予的彈力,擊球者給予的拍擊力,都不是線性回復(fù)力．<2>小球在題4-1圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動,是諧振動．顯然,小球在運(yùn)動過程中,各種參量均為常量；該系統(tǒng)<指小球凹槽、地球系統(tǒng)>的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點,即系統(tǒng)勢能最小值位置點；而小球在運(yùn)動中的回復(fù)力為,如題4-1圖<b>所示．題中所述,＜＜,故→0,所以回復(fù)力為.式中負(fù)號,表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反．即小球在點附近的往復(fù)運(yùn)動中所受回復(fù)力為線性的．若以小球為對象,則小球在以為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動,由牛頓第二定律,在凹槽切線方向上有令,則有5.7質(zhì)量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng),按的規(guī)律作諧振動,求：<1>振動的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；<2>最大的回復(fù)力、振動能量、平均動能和平均勢能,在哪些位置上動能與勢能相等?<3>與兩個時刻的位相差；解：<1>設(shè)諧振動的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則知：又<2>當(dāng)時,有,即∴<3>5.8一個沿軸作簡諧振動的彈簧振子,振幅為,周期為,其振動方程用余弦函數(shù)表示．如果時質(zhì)點的狀態(tài)分別是：<1>；<2>過平衡位置向正向運(yùn)動；<3>過處向負(fù)向運(yùn)動；<4>過處向正向運(yùn)動．試求出相應(yīng)的初位相,并寫出振動方程．解：因為將以上初值條件代入上式,使兩式同時成立之值即為該條件下的初位相．故有5.9一質(zhì)量為的物體作諧振動,振幅為,周期為,當(dāng)時位移為．求：<1>時,物體所在的位置及此時所受力的大小和方向；<2>由起始位置運(yùn)動到處所需的最短時間；<3>在處物體的總能量．解：由題已知∴又,時,故振動方程為<1>將代入得方向指向坐標(biāo)原點,即沿軸負(fù)向．<2>由題知,時,,時∴<3>由于諧振動中能量守恒,故在任一位置處或任一時刻的系統(tǒng)的總能量均為5.10有一輕彈簧,下面懸掛質(zhì)量為的物體時,伸長為．用這個彈簧和一個質(zhì)量為的小球構(gòu)成彈簧振子,將小球由平衡位置向下拉開后,給予向上的初速度,求振動周期和振動表達(dá)式．解：由題知而時,<設(shè)向上為正>又∴5.11圖為兩個諧振動的曲線,試分別寫出其諧振動方程．題5.11圖解：由題5.11圖<a>,∵時,即故由題5.11圖<b>∵時,時,又∴故5.12一輕彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為,其下端懸有一質(zhì)量為的盤子．現(xiàn)有一質(zhì)量為的物體從離盤底高度處自由下落到盤中并和盤子粘在一起,于是盤子開始振動．<1>此時的振動周期與空盤子作振動時的周期有何不同?<2>此時的振動振幅多大?<3>取平衡位置為原點,位移以向下為正,并以彈簧開始振動時作為計時起點,求初位相并寫出物體與盤子的振動方程．解：<1>空盤的振動周期為,落下重物后振動周期為,即增大．<2>按<3>所設(shè)坐標(biāo)原點及計時起點,時,則．碰撞時,以為一系統(tǒng)動量守恒,即則有于是〔3<第三象限>,所以振動方程為5.13有一單擺,擺長,擺球質(zhì)量,當(dāng)擺球處在平衡位置時,若給小球一水平向右的沖量,取打擊時刻為計時起點,求振動的初位相和角振幅,并寫出小球的振動方程．解：由動量定理,有∴按題設(shè)計時起點,并設(shè)向右為軸正向,則知時,＞0∴又∴故其角振幅小球的振動方程為5.14有兩個同方向、同頻率的簡諧振動,其合成振動的振幅為,位相與第一振動的位相差為,已知第一振動的振幅為,求第二個振動的振幅以及第一、第二兩振動的位相差．題5.14圖解：由題意可做出旋轉(zhuǎn)矢量圖如下．由圖知∴設(shè)角,則即即,這說明,與間夾角為,即二振動的位相差為.5.15試用最簡單的方法求出下列兩組諧振動合成后所得合振動的振幅：<1><2>解：<1>∵∴合振幅<2>∵∴合振幅5.16一質(zhì)點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動,振動方程為試分別用旋轉(zhuǎn)矢量法和振動合成法求合振動的振動幅和初相,并寫出諧振方程。解：∵∴∴其振動方程為<作圖法略>*5.17如題5.17圖所示,兩個相互垂直的諧振動的合振動圖形為一橢圓,已知方向的振動方程為,求方向的振動方程．題5.17圖解：因合振動是一正橢圓,故知兩分振動的位相差為或；又,軌道是按順時針方向旋轉(zhuǎn),故知兩分振動位相差為.所以方向的振動方程為習(xí)題六6.6振動和波動有什么區(qū)別和聯(lián)系?平面簡諧波動方程和簡諧振動方程有什么不同?又有什么聯(lián)系?振動曲線和波形曲線有什么不同?解:<1>振動是指一個孤立的系統(tǒng)<也可是介質(zhì)中的一個質(zhì)元>在某固定平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動,系統(tǒng)離開平衡位置的位移是時間的周期性函數(shù),即可表示為；波動是振動在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過程,此時介質(zhì)中所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近作振動,因此介質(zhì)中任一質(zhì)元離開平衡位置的位移既是坐標(biāo)位置,又是時間的函數(shù),即．<2>在諧振動方程中只有一個獨立的變量時間,它描述的是介質(zhì)中一個質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律；平面諧波方程中有兩個獨立變量,即坐標(biāo)位置和時間,它描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨坐標(biāo)和時間變化的規(guī)律．當(dāng)諧波方程中的坐標(biāo)位置給定后,即可得到該點的振動方程,而波源持續(xù)不斷地振動又是產(chǎn)生波動的必要條件之一．<3>振動曲線描述的是一個質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律,因此,其縱軸為,橫軸為；波動曲線描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元的位移隨位置,隨時間變化的規(guī)律,其縱軸為,橫軸為．每一幅圖只能給出某一時刻質(zhì)元的位移隨坐標(biāo)位置變化的規(guī)律,即只能給出某一時刻的波形圖,不同時刻的波動曲線就是不同時刻的波形圖．6.7波源向著觀察者運(yùn)動和觀察者向波源運(yùn)動都會產(chǎn)生頻率增高的多普勒效應(yīng),這兩種情況有何區(qū)別?解:波源向著觀察者運(yùn)動時,波面將被擠壓,波在介質(zhì)中的波長,將被壓縮變短,<如題6.7圖所示>,因而觀察者在單位時間內(nèi)接收到的完整數(shù)目<>會增多,所以接收頻率增高；而觀察者向著波源運(yùn)動時,波面形狀不變,但觀察者測到的波速增大,即,因而單位時間內(nèi)通過觀察者完整波的數(shù)目也會增多,即接收頻率也將增高．簡單地說,前者是通過壓縮波面<縮短波長>使頻率增高,后者則是觀察者的運(yùn)動使得單位時間內(nèi)通過的波面數(shù)增加而升高頻率．題6.7圖多普勒效應(yīng)6.8已知波源在原點的一列平面簡諧波,波動方程為=cos<>,其中,,為正值恒量．求：<1>波的振幅、波速、頻率、周期與波長；<2>寫出傳播方向上距離波源為處一點的振動方程；<3>任一時刻,在波的傳播方向上相距為的兩點的位相差．解:<1>已知平面簡諧波的波動方程<>將上式與波動方程的標(biāo)準(zhǔn)形式比較,可知：波振幅為,頻率,波長,波速,波動周期．<2>將代入波動方程即可得到該點的振動方程<3>因任一時刻同一波線上兩點之間的位相差為將,及代入上式,即得．6.9沿繩子傳播的平面簡諧波的波動方程為=0.05cos<10>,式中,以米計,以秒計．求：<1>波的波速、頻率和波長；<2>繩子上各質(zhì)點振動時的最大速度和最大加速度；<3>求=0.2m處質(zhì)點在=1s時的位相,它是原點在哪一時刻的位相?這一位相所代表的運(yùn)動狀態(tài)在=1.25s時刻到達(dá)哪一點?解:<1>將題給方程與標(biāo)準(zhǔn)式相比,得振幅,頻率,波長,波速．<2>繩上各點的最大振速,最大加速度分別為<3>m處的振動比原點落后的時間為故,時的位相就是原點<>,在時的位相,即π．設(shè)這一位相所代表的運(yùn)動狀態(tài)在s時刻到達(dá)點,則6.10如題6.10圖是沿軸傳播的平面余弦波在時刻的波形曲線．<1>若波沿軸正向傳播,該時刻,,,各點的振動位相是多少?<2>若波沿軸負(fù)向傳播,上述各點的振動位相又是多少?解:<1>波沿軸正向傳播,則在時刻,有題6.10圖對于點：∵,∴對于點：∵,∴對于點：∵,∴對于點：∵,∴<取負(fù)值：表示點位相,應(yīng)落后于點的位相><2>波沿軸負(fù)向傳播,則在時刻,有對于點：∵,∴對于點：∵,∴對于點：∵,∴對于點：∵,∴<此處取正值表示點位相超前于點的位相>6.11一列平面余弦波沿軸正向傳播,波速為5m·s-1,波長為2m,原點處質(zhì)點的振動曲線如題6.11圖所示．<1>寫出波動方程；<2>作出=0時的波形圖及距離波源0.5m處質(zhì)點的振動曲線．解:<1>由題6.11<a>圖知,m,且時,,∴,又,則題6.11圖<a>取,則波動方程為<2>時的波形如題6.11<b>圖題6.11圖<b>題6.11圖<c>將m代入波動方程,得該點處的振動方程為如題6.11<c>圖所示．6.12如題6.12圖所示,已知=0時和=0.5s時的波形曲線分別為圖中曲線<a>和<b>,波沿軸正向傳播,試根據(jù)圖中繪出的條件求：<1>波動方程；<2>點的振動方程．解:<1>由題6.12圖可知,,,又,時,,∴,而,,∴故波動方程為<2>將代入上式,即得點振動方程為題6.12圖6.13一列機(jī)械波沿軸正向傳播,=0時的波形如題5-13圖所示,已知波速為10m·s-1,波長為2m,求：<1>波動方程；<2>點的振動方程及振動曲線；<3>點的坐標(biāo)；<4>點回到平衡位置所需的最短時間．解:由題6.13圖可知,時,,∴,由題知,,則∴<1>波動方程為題6.13圖<2>由圖知,時,,∴<點的位相應(yīng)落后于點,故取負(fù)值>∴點振動方程為<3>∵∴解得<4>根據(jù)<2>的結(jié)果可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖如題6.13圖<a>,則由點回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位相角題6.13圖<a>∴所屬最短時間為6.14如題6.14圖所示,有一平面簡諧波在空間傳播,已知P點的振動方程為=cos<>．<1>分別就圖中給出的兩種坐標(biāo)寫出其波動方程；<2>寫出距點距離為的點的振動方程．解:<1>如題5-14圖<a>,則波動方程為如圖<b>,則波動方程為題6.14圖<2>如題6.14圖<a>,則點的振動方程為如題6.14圖<b>,則點的振動方程為6.15已知平面簡諧波的波動方程為<SI>．<1>寫出=4.2s時各波峰位置的坐標(biāo)式,并求此時離原點最近一個波峰的位置,該波峰何時通過原點?<2>畫出=4.2s時的波形曲線．解:<1>波峰位置坐標(biāo)應(yīng)滿足解得<…>所以離原點最近的波峰位置為．∵故知,∴,這就是說該波峰在前通過原點,那么從計時時刻算起,則應(yīng)是,即該波峰是在時通過原點的．題6.15圖<2>∵,∴,又處,時,又,當(dāng)時,,則應(yīng)有解得,故時的波形圖如題5-15圖所示6.16題6.16圖中<a>表示=0時刻的波形圖,<b>表示原點<=0>處質(zhì)元的振動曲線,試求此波的波動方程,并畫出=2m處質(zhì)元的振動曲線．解:由題6.16<b>圖所示振動曲線可知,,且時,,故知,再結(jié)合題6.16<a>圖所示波動曲線可知,該列波沿軸負(fù)向傳播,且,若取題6.16圖則波動方程為6.17一平面余弦波,沿直徑為14cm的圓柱形管傳播,波的強(qiáng)度為18.0×10-3J·m-2·s-1,頻率為300Hz,波速為300m·s-1,求：<1>波的平均能量密度和最大能量密度?<2>兩個相鄰?fù)嗝嬷g有多少波的能量?解:<1>∵∴<2>6.18如題6.18圖所示,和為兩相干波源,振幅均為,相距,較位相超前,求：<1>外側(cè)各點的合振幅和強(qiáng)度；<2>外側(cè)各點的合振幅和強(qiáng)度解：〔1在外側(cè),距離為的點,傳到該點引起的位相差為〔2在外側(cè).距離為的點,傳到該點引起的位相差.6.19如題6.19圖所示,設(shè)點發(fā)出的平面橫波沿方向傳播,它在點的振動方程為;點發(fā)出的平面橫波沿方向傳播,它在點的振動方程為,本題中以m計,以s計．設(shè)＝0.4m,＝0.5m,波速=0.2m·s-1,求：<1>兩波傳到P點時的位相差；<2>當(dāng)這兩列波的振動方向相同時,處合振動的振幅；*<3>當(dāng)這兩列波的振動方向互相垂直時,處合振動的振幅．解:<1>題6.19圖<2>點是相長干涉,且振動方向相同,所以<3>若兩振動方向垂直,又兩分振動位相差為,這時合振動軌跡是通過Ⅱ,Ⅳ象限的直線,所以合振幅為6.20一平面簡諧波沿軸正向傳播,如題6.20圖所示．已知振幅為,頻率為波速為．<1>若=0時,原點處質(zhì)元正好由平衡位置向位移正方向運(yùn)動,寫出此波的波動方程；<2>若從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等,試寫出反射波的波動方程,并求軸上因入射波與反射波干涉而靜止的各點的位置．解:<1>∵時,,∴故波動方程為m題6.20圖<2>入射波傳到反射面時的振動位相為<即將代入>,再考慮到波由波疏入射而在波密界面上反射,存在半波損失,所以反射波在界面處的位相為若仍以點為原點,則反射波在點處的位相為,因只考慮以內(nèi)的位相角,∴反射波在點的位相為,故反射波的波動方程為此時駐波方程為故波節(jié)位置為故<…>根據(jù)題意,只能取,即6.21一駐波方程為=0.02cos20cos750<SI>,求：<1>形成此駐波的兩列行波的振幅和波速；<2>相鄰兩波節(jié)間距離．解:<1>取駐波方程為故知,則,∴<2>∵所以相鄰兩波節(jié)間距離6.22在弦上傳播的橫波,它的波動方程為=0.1cos<13+0.0079><SI>試寫出一個波動方程,使它表示的波能與這列已知的橫波疊加形成駐波,并在=0處為波節(jié)．解:為使合成駐波在處形成波節(jié),則要反射波在處與入射波有的位相差,故反射波的波動方程為6.23兩列波在一根很長的細(xì)繩上傳播,它們的波動方程分別為=0.06cos<><SI>,=0.06cos<><SI>．<1>試證明繩子將作駐波式振動,并求波節(jié)、波腹的位置；<2>波腹處的振幅多大?=1.2m處振幅多大?解:<1>它們的合成波為出現(xiàn)了變量的分離,符合駐波方程特征,故繩子在作駐波振動．令,則,k=0,±1,±2…此即波腹的位置；令,則,…,此即波節(jié)的位置．<2>波腹處振幅最大,即為m；處的振幅由下式?jīng)Q定,即6.24汽車駛過車站時,車站上的觀測者測得汽笛聲頻率由1200Hz變到了1000Hz,設(shè)空氣中聲速為330m·s-1,求汽車的速率．解:設(shè)汽車的速度為,汽車在駛近車站時,車站收到的頻率為汽車駛離車站時,車站收到的頻率為聯(lián)立以上兩式,得6.25兩列火車分別以72km·h-1和54km·h-1的速度相向而行,第一列火車發(fā)出一個600Hz的汽笛聲,若聲速為340m·s-1,求第二列火車上的觀測者聽見該聲音的頻率在相遇前和相遇后分別是多少?解:設(shè)鳴笛火車的車速為,接收鳴笛的火車車速為,則兩者相遇前收到的頻率為兩車相遇之后收到的頻率為習(xí)題七氣體在平衡態(tài)時有何特征?氣體的平衡態(tài)與力學(xué)中的平衡態(tài)有何不同?答：氣體在平衡態(tài)時,系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質(zhì)的交換；系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間變化．力學(xué)平衡態(tài)與熱力學(xué)平衡態(tài)不同．當(dāng)系統(tǒng)處于熱平衡態(tài)時,組成系統(tǒng)的大量粒子仍在不停地、無規(guī)則地運(yùn)動著,大量粒子運(yùn)動的平均效果不變,這是一種動態(tài)平衡．而個別粒子所受合外力可以不為零．而力學(xué)平衡態(tài)時,物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動,所受合外力為零．氣體動理論的研究對象是什么?理想氣體的宏觀模型和微觀模型各如何?答：氣體動理論的研究對象是大量微觀粒子組成的系統(tǒng)．是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和分子運(yùn)動論出發(fā),運(yùn)用力學(xué)規(guī)律,通過統(tǒng)計平均的辦法,求出熱運(yùn)動的宏觀結(jié)果,再由實驗確認(rèn)的方法．從宏觀看,在溫度不太低,壓強(qiáng)不大時,實際氣體都可近似地當(dāng)作理想氣體來處理,壓強(qiáng)越低,溫度越高,這種近似的準(zhǔn)確度越高．理想氣體的微觀模型是把分子看成彈性的自由運(yùn)動的質(zhì)點．何謂微觀量?何謂宏觀量?它們之間有什么聯(lián)系?答：用來描述個別微觀粒子特征的物理量稱為微觀量．如微觀粒子<原子、分子等>的大小、質(zhì)量、速度、能量等．描述大量微觀粒子<分子或原子>的集體的物理量叫宏觀量,如實驗中觀測得到的氣體體積、壓強(qiáng)、溫度、熱容量等都是宏觀量．氣體宏觀量是微觀量統(tǒng)計平均的結(jié)果．7.6計算下列一組粒子平均速率和方均根速率?21468210.020.030.040.050.0解：平均速率方均根速率7.7速率分布函數(shù)的物理意義是什么?試說明下列各量的物理意義<為分子數(shù)密度,為系統(tǒng)總分子數(shù)>．〔1〔2〔3〔4〔5〔6解：：表示一定質(zhì)量的氣體,在溫度為的平衡態(tài)時,分布在速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.<>：表示分布在速率附近,速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.<>：表示分布在速率附近、速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)密度．<>：表示分布在速率附近、速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)．<>：表示分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比．<>：表示分布在的速率區(qū)間內(nèi)所有分子,其與總分子數(shù)的比值是.<>：表示分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù).7.8最概然速率的物理意義是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率,它們各有何用處?答：氣體分子速率分布曲線有個極大值,與這個極大值對應(yīng)的速率叫做氣體分子的最概然速率．物理意義是：對所有的相等速率區(qū)間而言,在含有的那個速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大．分布函數(shù)的特征用最概然速率表示；討論分子的平均平動動能用方均根速率,討論平均自由程用平均速率．7.9容器中盛有溫度為的理想氣體,試問該氣體分子的平均速度是多少?為什么?答：該氣體分子的平均速度為.在平衡態(tài),由于分子不停地與其他分子及容器壁發(fā)生碰撞、其速度也不斷地發(fā)生變化,分子具有各種可能的速度,而每個分子向各個方向運(yùn)動的概率是相等的,沿各個方向運(yùn)動的分子數(shù)也相同．從統(tǒng)計看氣體分子的平均速度是.7.10在同一溫度下,不同氣體分子的平均平動動能相等,就氫分子和氧分子比較,氧分子的質(zhì)量比氫分子大,所以氫分子的速率一定比氧分子大,對嗎?答：不對,平均平動動能相等是統(tǒng)計平均的結(jié)果．分子速率由于不停地發(fā)生碰撞而發(fā)生變化,分子具有各種可能的速率,因此,一些氫分子的速率比氧分子速率大,也有一些氫分子的速率比氧分子速率?。?.11如果盛有氣體的容器相對某坐標(biāo)系運(yùn)動,容器內(nèi)的分子速度相對這坐標(biāo)系也增大了,溫度也因此而升高嗎?答：宏觀量溫度是一個統(tǒng)計概念,是大量分子無規(guī)則熱運(yùn)動的集體表現(xiàn),是分子平均平動動能的量度,分子熱運(yùn)動是相對質(zhì)心參照系的,平動動能是系統(tǒng)的內(nèi)動能．溫度與系統(tǒng)的整體運(yùn)動無關(guān)．只有當(dāng)系統(tǒng)的整體運(yùn)動的動能轉(zhuǎn)變成無規(guī)則熱運(yùn)動時,系統(tǒng)溫度才會變化．7.12題7.12圖<a>是氫和氧在同一溫度下的兩條麥克斯韋速率分布曲線,哪一條代表氫?題6-10圖<b>是某種氣體在不同溫度下的兩條麥克斯韋速率分布曲線,哪一條的溫度較高?答：圖<a>中<>表示氧,<>表示氫；圖<b>中<>溫度高．題7.12圖7.13溫度概念的適用條件是什么?溫度微觀本質(zhì)是什么?答：溫度是大量分子無規(guī)則熱運(yùn)動的集體表現(xiàn),是一個統(tǒng)計概念,對個別分子無意義．溫度微觀本質(zhì)是分子平均平動動能的量度．7.14下列系統(tǒng)各有多少個自由度：<1>在一平面上滑動的粒子；<2>可以在一平面上滑動并可圍繞垂直于平面的軸轉(zhuǎn)動的硬幣；<3>一彎成三角形的金屬棒在空間自由運(yùn)動．解：<>,<>,<>7.15試說明下列各量的物理意義．〔1〔2〔3〔4〔5〔6解：<>在平衡態(tài)下,分子熱運(yùn)動能量平均地分配在分子每一個自由度上的能量均為T．<>在平衡態(tài)下,分子平均平動動能均為.<>在平衡態(tài)下,自由度為的分子平均總能量均為.<>由質(zhì)量為,摩爾質(zhì)量為,自由度為的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能為.<5>摩爾自由度為的分子組成的系統(tǒng)內(nèi)能為.<6>摩爾自由度為的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能,或者說熱力學(xué)體系內(nèi),1摩爾分子的平均平動動能之總和為.7.16有兩種不同的理想氣體,同壓、同溫而體積不等,試問下述各量是否相同?<1>分子數(shù)密度；<2>氣體質(zhì)量密度；<3>單位體積內(nèi)氣體分子總平動動能；<4>單位體積內(nèi)氣體分子的總動能．解：<>由知分子數(shù)密度相同；<>由知氣體質(zhì)量密度不同；<>由知單位體積內(nèi)氣體分子總平動動能相同；<4>由知單位體積內(nèi)氣體分子的總動能不一定相同．7.17何謂理想氣體的內(nèi)能?為什么理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)?解：在不涉及化學(xué)反應(yīng),核反應(yīng),電磁變化的情況下,內(nèi)能是指分子的熱運(yùn)動能量和分子間相互作用勢能之總和．對于理想氣體不考慮分子間相互作用能量,質(zhì)量為的理想氣體的所有分子的熱運(yùn)動能量稱為理想氣體的內(nèi)能．由于理想氣體不計分子間相互作用力,內(nèi)能僅為熱運(yùn)動能量之總和．即是溫度的單值函數(shù)．7.18如果氫和氦的摩爾數(shù)和溫度相同,則下列各量是否相等,為什么?<1>分子的平均平動動能；<2>分子的平動動能；<3>內(nèi)能．解：<>相等,分子的平均平動動能都為．<>不相等,因為氫分子的平均動能,氦分子的平均動能．<>不相等,因為氫分子的內(nèi)能,氦分子的內(nèi)能．7.19有一水銀氣壓計,當(dāng)水銀柱為0.76m高時,管頂離水銀柱液面0.12m,管的截面積為2.0×10-4m2,當(dāng)有少量氦<He>混入水銀管內(nèi)頂部,水銀柱高下降為27℃,試計算有多少質(zhì)量氦氣在管頂<He的摩爾質(zhì)量為0.004kg·mol-1解：由理想氣體狀態(tài)方程得汞的重度氦氣的壓強(qiáng)氦氣的體積7.20設(shè)有個粒子的系統(tǒng),其速率分布如題7.20圖所示．求<1>分布函數(shù)的表達(dá)式；<2>與之間的關(guān)系；<3>速度在1.5到2.0之間的粒子數(shù)．<4>粒子的平均速率．<5>0.5到1區(qū)間內(nèi)粒子平均速率．題7.20圖解：<1>從圖上可得分布函數(shù)表達(dá)式滿足歸一化條件,但這里縱坐標(biāo)是而不是故曲線下的總面積為,<2>由歸一化條件可得<3>可通過面積計算<4>個粒子平均速率<5>到區(qū)間內(nèi)粒子平均速率到區(qū)間內(nèi)粒子數(shù)7.21試計算理想氣體分子熱運(yùn)動速率的大小介于與之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比．解：令,則麥克斯韋速率分布函數(shù)可表示為因為,由得7.22容器中儲有氧氣,其壓強(qiáng)為p＝0.1MPa<即1atm>溫度為27℃<1>單位體積中的分子n；<2>氧分子的質(zhì)量m；<3>氣體密度；<4>分子間的平均距離；<5>平均速率；<6>方均根速率；<7>分子的平均動能．解：<1>由氣體狀態(tài)方程得<2>氧分子的質(zhì)量<3>由氣體狀態(tài)方程得<4>分子間的平均距離可近似計算<5>平均速率<6>方均根速率<7>分子的平均動能7.231mol氫氣,在溫度為27℃解：理想氣體分子的能量平動動能轉(zhuǎn)動動能內(nèi)能7.24一瓶氧氣,一瓶氫氣,等壓、等溫,氧氣體積是氫氣的2倍,求<1>氧氣和氫氣分子數(shù)密度之比；<2>氧分子和氫分子的平均速率之比．解：<1>因為則<2>由平均速率公式7.25一真空管的真空度約為1.38×10-3Pa<即1.0×10-5mmHg>,試求在27℃時單位體積中的分子數(shù)及分子的平均自由程<設(shè)分子的有效直徑d＝3×10-10解：由氣體狀態(tài)方程得由平均自由程公式7.26<1>求氮氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞頻率；<2>若溫度不變,氣壓降到1.33×10-4Pa,平均碰撞頻率又為多少<設(shè)分子有效直徑10-10m解：<1>碰撞頻率公式對于理想氣體有,即所以有而氮氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞頻率氣壓下降后的平均碰撞頻率7.271mol氧氣從初態(tài)出發(fā),經(jīng)過等容升壓過程,壓強(qiáng)增大為原來的2倍,然后又經(jīng)過等溫膨脹過程,體積增大為原來的2倍,求末態(tài)與初態(tài)之間<1>氣體分子方均根速率之比；<2>分子平均自由程之比．解：由氣體狀態(tài)方程及方均根速率公式對于理想氣體,,即所以有7.28飛機(jī)起飛前機(jī)艙中的壓力計指示為1.0atm<1.013×105Pa>,溫度為27℃；起飛后壓力計指示為0.8atm<0.8104×105Pa>,溫度仍為27解：氣體壓強(qiáng)隨高度變化的規(guī)律：由及7.29上升到什么高度處大氣壓強(qiáng)減少為地面的75%<設(shè)空氣的溫度為0℃解：壓強(qiáng)隨高度變化的規(guī)律〔7.307.317.32沒有習(xí)題八8.3下列表述是否正確?為什么?并將錯誤更正．〔1〔2〔3〔4解：<1>不正確,<2>不正確,<3>不正確,<4>不正確,8.4圖上封閉曲線所包圍的面積表示什么?如果該面積越大,是否效率越高?答：封閉曲線所包圍的面積表示循環(huán)過程中所做的凈功．由于,面積越大,效率不一定高,因為還與吸熱有關(guān)．8.5如題8.5圖所示,有三個循環(huán)過程,指出每一循環(huán)過程所作的功是正的、負(fù)的,還是零,說明理由．解：各圖中所表示的循環(huán)過程作功都為．因為各圖中整個循環(huán)分兩部分,各部分面積大小相等,而循環(huán)方向一個為逆時針,另一個為順時針,整個循環(huán)過程作功為．題8.5圖8.6用熱力學(xué)第一定律和第二定律分別證明,在圖上一絕熱線與一等溫線不能有兩個交點．題8.6圖解：1.由熱力學(xué)第一定律有若有兩個交點和,則經(jīng)等溫過程有經(jīng)絕熱過程從上得出,這與,兩點的內(nèi)能變化應(yīng)該相同矛盾．2.若兩條曲線有兩個交點,則組成閉合曲線而構(gòu)成了一循環(huán)過程,這循環(huán)過程只有吸熱,無放熱,且對外做正功,熱機(jī)效率為,違背了熱力學(xué)第二定律．8.7一循環(huán)過程如題8.7圖所示,試指出：<1>各是什么過程；<2>畫出對應(yīng)的圖；<3>該循環(huán)是否是正循環(huán)?<4>該循環(huán)作的功是否等于直角三角形面積?<5>用圖中的熱量表述其熱機(jī)效率或致冷系數(shù)．解：<1>是等體過程過程：從圖知有,為斜率由得故過程為等壓過程是等溫過程<2>圖如題8.7圖題8.7圖<3>該循環(huán)是逆循環(huán)<4>該循環(huán)作的功不等于直角三角形面積,因為直角三角形不是圖中的圖形．<5>題8.7圖題8.8圖8.8兩個卡諾循環(huán)如題7-6圖所示,它們的循環(huán)面積相等,試問：<1>它們吸熱和放熱的差值是否相同；<2>對外作的凈功是否相等；<3>效率是否相同?答：由于卡諾循環(huán)曲線所包圍的面積相等,系統(tǒng)對外所作的凈功相等,也就是吸熱和放熱的差值相等．但吸熱和放熱的多少不一定相等,效率也就不相同．8.9評論下述說法正確與否?<1>功可以完全變成熱,但熱不能完全變成功；<2>熱量只能從高溫物體傳到低溫物體,不能從低溫物體傳到高溫物體．<3>可逆過程就是能沿反方向進(jìn)行的過程,不可逆過程就是不能沿反方向進(jìn)行的過程．答：<1>不正確．有外界的幫助熱能夠完全變成功；功可以完全變成熱,但熱不能自動地完全變成功；<2>不正確．熱量能自動從高溫物體傳到低溫物體,不能自動地由低溫物體傳到高溫物體．但在外界的幫助下,熱量能從低溫物體傳到高溫物體．<3>不正確．一個系統(tǒng)由某一狀態(tài)出發(fā),經(jīng)歷某一過程達(dá)另一狀態(tài),如果存在另一過程,它能消除原過程對外界的一切影響而使系統(tǒng)和外界同時都能回到原來的狀態(tài),這樣的過程就是可逆過程．用任何方法都不能使系統(tǒng)和外界同時恢復(fù)原狀態(tài)的過程是不可逆過程．有些過程雖能沿反方向進(jìn)行,系統(tǒng)能回到原來的狀態(tài),但外界沒有同時恢復(fù)原狀態(tài),還是不可逆過程．8.10根據(jù)及,這是否說明可逆過程的熵變大于不可逆過程熵變?為什么?說明理