小學奧數(shù)教程之-幾何中的空間想象 教師版 全國通用（含答案）

空間想象不僅是認識現(xiàn)實世界空間形式不可缺少的能力因素，而且是形成和發(fā)展創(chuàng)造力的源泉，因此，

空間想象能力是數(shù)學教學必須培養(yǎng)的基本數(shù)學能力之一。

空間想象能力的培養(yǎng)與幾何教學有關。直觀幾何教學的主要任務是通過學生制作模型、搭積木、畫圖、

識圖，對圖形進行描述、分類、整理等學習活動，認識、理解我們所處的現(xiàn)實世界的幾何空間，以形成空間

觀念。綜合幾何教學的主要任務是運用邏輯推理的方法研究圖形的性質(zhì)，幫助學生從邏輯的角度進一步弄清

幾何空間的意義，學會幾何思考的方法，培養(yǎng)空間想象能力和邏輯推理能力。

刖磔4例題精講

模塊一、對稱圖形

【例1】將一塊正方形紙片沿對角線折疊一次，然后在得到的三角形的三個角上各挖去一個圓洞，再展開

正方形紙片，得到圖1中的。（填序號）

【考點】幾何中的空間想象【難度】1星【題型】填空

【解析】逆推法③

【答案】③

【例2］（希望杯五年級一試第8題，6分）下面四幅圖形中不是軸對稱圖形的是o（填序號）（注：如

果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做對稱圖形。）

①?②③④

【考點】幾何中的空間想象【難度】1星【題型】填空

【解析】③④

【答案】③④

模塊二、平面圖形

【例31（希望杯四年級二試第5題，6分）將一張長方形紙對折再對折（如圖），然后沿著圖中的虛線剪下,

得到①、②兩部分，將①展開后得到的平面圖形一定是o（填“三角形”、“長方形”、“梯

形”或“菱形”）

A一-^||f目—

展開

【考點】幾何中的空間想象【難度】2星【題型】填空

【解析】菱形

【答案】菱形

【例4】（希望杯六年級一試第18題，6分）如圖，房間里有一只老鼠，門外有一只小貓，如果每塊正方形地

磚的連長為50厘米，那么老鼠在地面上能避開小貓視線的活動范圍為平方厘米.（將小貓

和老鼠分別看作兩個點,墻的厚度忽略不計）

貓看不到的地方如圖所示陰影部分，其中梯形面積為（1+3.5）x2.5+2=5.625平方米.三角形的面積為

2xH2=l平方米.老鼠的活動范圍共6.625平方米，即66250平方厘米.

【答案】66250平方厘米

模塊三、立體圖形

【例5】用紅、黃、藍、白、黑、綠六種顏色分別涂在正方體的各個面上，每一個面只涂一種顏色.如圖

所示，現(xiàn)有涂色方式完全一樣的四塊小正方體拼成了一個長方體.試回答：每個小正方體中，紅

色面的對面涂的是什么色？黃色面的對面涂的是什么色？黑色面的對面是什么色？

/Il

黑

H

紅

/

紅

藍

/

白

黃

Z

【考點】幾何中的空間想象【難度】3星【題型】解答

【解析】在能看見的9個面中紅色出現(xiàn)的次數(shù)最多.觀察圖8—4中最上面的一個正方體，由于紅色和黑色、

黃色相鄰，所以它的對面不可能是黑黃兩色.同理，由第二個正方體可知，紅色的對面不能是白色；

由第三個正方體知，紅色的對面不能是藍色.所以紅色的面的對面只可能是綠色.同理，黃色面的

對面不可能是紅色、黑色或白色，又已推知不可能是綠色，所以黃色面的對面只可能是藍色.這樣

黑色面的對面就只可能是涂白色的了.

【答案】紅色的對面是綠色

黃色的對面是藍色

黑色的對面是白色

【例6］將“貓”“狗”“兔”“雞”“猴”“虎”六個動物名稱分別寫在六個正方體的六個面上,從下面三種不同擺法

中，判斷這個正方體上哪些動物名名稱分別寫在相對面上.

【考點】幾何中的空間想象【難度】3星【題型】解答

【解析】本題給的是一組立方圖形，在這三幅圖中，“兔”所在的一面始終不改變位置，因此，這三個圖的轉(zhuǎn)

化只能是前后轉(zhuǎn)動.把第一幅圖向后反轉(zhuǎn)一次得到第二幅圖，由此可知，“貓的對面是“雞”；把第一

幅圖向前翻轉(zhuǎn)一次得到第三幅圖,所以“狗”的對面是“猴”，那么剩下的只有“兔''和"虎”相對.

【答案】貓的對面是雞；

狗的對面是猴；

兔的對面是虎。

【例7】將4、5、C、。、E、產(chǎn)六個字母分別寫在正方體的六個面上，從下面三種不同擺法中判斷這個正

方體中，哪些字母分別寫在相對的面上.

【考點】幾何中的空間想象【難度】3星【題型】解答

【解析】本題所給的是一組立體幾何圖形.但是，我們注意到：由于圖(a)、(b)、(c)都是同一個正方體的

不同擺法，所以，(〃)、(b)、(c)可以通過旋轉(zhuǎn)來互相轉(zhuǎn)化，這三個圖形中，字母C所在的一面始

終不改變位置.因此，這三個圖形的轉(zhuǎn)化只能是前后轉(zhuǎn)動.把圖(〃)向后翻轉(zhuǎn)一次(90°)得圖(b),

由此可知，字母A的對面是。，把圖(a)向前翻轉(zhuǎn)一次(90°)得圖(c),所以，字母8的對面是

字母E,最后得出只有字母C、尸相對.所以，正方體中，相對的字母分別是A—。、B—E、C—F.

【答案】A—D,B—E,C—F

【例8】如圖，一個正四面體擺在桌面上，正對稱的面ABC是紅色，底面BCD是白色，右側(cè)面ACD是藍

色，左側(cè)面AB力是黃色.先讓四面體繞底面面對你的棱向你翻轉(zhuǎn)，再讓它繞底面右側(cè)棱翻轉(zhuǎn)，第

三次繞底面面對你的棱向你翻轉(zhuǎn)，第四次繞底面左側(cè)棱翻轉(zhuǎn)，此后依次重復上述操作過程.問：

按規(guī)則完成第一百次操作后，面對你的面是什么顏色？

【考點】幾何中的空間想象【難度】4星【題型】解答

【解析】由于翻轉(zhuǎn)的次數(shù)太多，我們只能先按題述的規(guī)則順序翻轉(zhuǎn)幾次,試著尋找翻轉(zhuǎn)過程中的規(guī)律，再考

慮多次翻轉(zhuǎn)以后的結果.下圖演示了4次翻轉(zhuǎn)的過程：

AC*D

由圖可見，按題述規(guī)則進行了4次翻轉(zhuǎn)以后，原來的正四面體ABCO的方向恰好發(fā)生了一次完全的

變化：底面面對你的棱BC轉(zhuǎn)成了C2,而不與BC在同一平面內(nèi)的側(cè)棱AO則轉(zhuǎn)成了D4.那么不難

想像，再經(jīng)過規(guī)則所述的4次翻轉(zhuǎn)，正四面體ABCQ的方向?qū)⑥D(zhuǎn)回最初的位置.這就告訴我們，這

樣的翻轉(zhuǎn)是每8次一循環(huán)的.

由上述分析可見，題述的翻轉(zhuǎn)以8次為一循環(huán)，又因為100+8=12.......4,所以100次翻轉(zhuǎn)操作以后，

正四面體ABCD的擺放位置將如圖8—11的第五個圖形所示，當時面對你的面應為面BCD,其顏色

為白色.

【答案】白色

【例9】右圖是一個直三