蘇教版 第9章《平行四邊形》單元測(cè)試卷（B）

第9章《平行四邊形》單元測(cè)試卷（B）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2020春?句容市期中）隨著人們生活水平的提高，我國(guó)擁有汽車(chē)的居民家庭也越來(lái)越多,

2.（2020春?濱湖區(qū)期中）如圖，在△ABC中，NA=70°,AC=BC,以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心

把AABC按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△A8C,點(diǎn)A'恰好落在AC上，連接CC,則N

4CC度數(shù)為（）

3.（2020春?連云區(qū)期中）如圖，在△4BC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，4c=10,F

是QE上一點(diǎn)，連接AF,CF,DF=\.若NAFC=90°,則8c的長(zhǎng)度為（）

A.10B.12C.14D.16

4.（2019秋?江陰市期中）在△ABC中，AB=AC=5,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，N為A8中點(diǎn)，

則MN等于（）

125

A.3B.2C.—D.一

52

5.（2019春?金壇區(qū)期中）如圖，在△A8C中，BD,CE是△ABC的中線，8力與CE相交

于點(diǎn)。，點(diǎn)凡G分別是80,CO的中點(diǎn)，連接AO.若要使得四邊形。EFG是正方形，

則需要滿足條作（）

A.AO=BCB.ABA.AC

1

C.AB=ACS.AB±ACD.AO=BCS.AO±BC

6.（2020秋?蘇州期末）如圖，四邊形ABC￡＞中，以對(duì)角線AC為斜邊作RtZ\ACE,連接

BE、DE,BELDE,AC,8?；ハ嗥椒?若2A8=BC=4,則BD的值為（）

A.2、5B.v弓C.3D.4

7.（2020春?儀征市期末）如圖，在△ABC中，ZACfi=90°,AC=4,48=5,。為4c

上的動(dòng)點(diǎn)，連接BO以A。、8。為邊作平行四邊形4O8E,則DE長(zhǎng)的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2020春?常熟市期末）如圖，以正方形A8CZ）的對(duì)角線AC為一邊作菱形AEFC,點(diǎn)尸

在。C的延長(zhǎng)線上，連接AF交8c于點(diǎn)G,則/FGC的度數(shù)為（）

A.67.5°B.45°C.60°D.75°

9.（2020春?太倉(cāng)市期末）如圖，在矩形ABCD中，AD^3AB,且A8=2,點(diǎn)G、H分別在

AD.3c上，連接8G、DH,若四邊形B//DG是菱形，則AG的長(zhǎng)為（）

810

A.-B.3C.——D.4

33

10.（2020?建鄴區(qū)一模）某小區(qū)打算在一塊長(zhǎng)80〃?，寬7.5〃?的矩形空地的一側(cè)，設(shè)置一排

如圖所示的平行四邊形傾斜式停車(chē)位若干個(gè)（按此方案規(guī)劃車(chē)位，相鄰車(chē)位間隔線的寬

度忽略不計(jì)）.已知規(guī)劃的傾斜式停車(chē)位每個(gè)車(chē)位長(zhǎng)6〃?，寬2.5〃?，如果這塊矩形空地用

于行走的道路寬度不小于4.5機(jī)，那么最多可以設(shè)置停車(chē)位（）

A.16個(gè)B.15個(gè)C.14個(gè)D.13個(gè)

2

二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上

11.（2019秋?陽(yáng)東區(qū)期中）在“線段、等腰三角形、四邊形、圓”這幾個(gè)圖形中，中心對(duì)

稱圖形是—.

12.（2020嘀新區(qū)一模）如圖，矩形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，將沿直線AE折疊,

使點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，連接/C,若/D4尸=18°,則/OCF=度.

上的一點(diǎn)，AQ=24,點(diǎn)E是8c上一點(diǎn)，BE=10,連接。E,M、N分別是AB、OE的

中點(diǎn)，Pl1]MN=.

14.（2019?丹陽(yáng)市一模）如圖，△A8C中，ZACB=90°,。在BC上，E為AB中點(diǎn)，A。、

CE相交于凡AD=DB.若/B=35°,則/。FE等于°.

15.（2020春?揭陽(yáng)期末）如圖，已知AABC中，AB=AC,AO平分NBAC,E是AC的中點(diǎn),

若AB=6,則。E的長(zhǎng)為.

16.（2020春?方城縣期中）如圖，E為。ABCQ內(nèi)任一點(diǎn)，且。ABC。的面積為6,則圖中陰

影部分的面積為—.

3

17.（2019秋?平頂山期中）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置，△OOE的直角頂點(diǎn)

。在邊8C的中點(diǎn)處，其中NA=NOOE=90°.ZB=45°，Z￡>=60°,△OOE繞點(diǎn)

O自由旋轉(zhuǎn)，且OD,OE分別交AB,AC于點(diǎn)M,N當(dāng)AN=4,NC=2時(shí)，MN的長(zhǎng)為.

18.（2020春?海陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABC。中，5為CD上一點(diǎn)（不與C、力重合）.4E

交對(duì)角線8。于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)尸作FGLAE交5c于G,連接EG,現(xiàn)有如下結(jié)論：①AF

=FG；②EF>DE；③GE=BG+DE；④NFGE=NDAE；⑤在C￡）上存在兩個(gè)符合條

件的E點(diǎn)使CE=CG.以上正確的有（填序號(hào)）.

三、解答題（本大題共8小題，共64分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

19.（2020春?文山州期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)叫格點(diǎn)，△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

（1）將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△

畫(huà)出△A181C1,并寫(xiě)出C1點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，282c2與aABC

關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，請(qǐng)畫(huà)出AA282c2.

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)尸，使B4+PC的長(zhǎng)度最

短？如果存在，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出點(diǎn)P,

并保留作圖痕跡，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（2011春?蕭山區(qū)期末）在證明三角形中位線性質(zhì)“如圖，已知EF是aABC的中位線,

求證：EF//BC,EF=：BC”時(shí)，小雨根據(jù)老師的引導(dǎo)給出了一種思路：延長(zhǎng)E尸至D,

使EF=DF,連接AO、CE,證明四邊形AECD是平行四邊形即可.

小婷思考后認(rèn)為小雨的思路是正確的，可行的.

你能在這樣的思路下完成證明嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程.

R

4

21.（2018?朝陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，在菱形ABC。中，AC和BO相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O的線段EF

與一組對(duì)邊AB,CO分別相交于點(diǎn)E,F.

（1）求證：AE=CFy

（2）若A2=2,點(diǎn)E是A8中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng).

22.（2019秋?梁平區(qū)期末）如圖，口48。0中,CG1AB于點(diǎn)G,NA8F=45°，/在CD

上，BF交CG于點(diǎn)、E,連接AE,AE1.AD.

(1)若BG=1,BC=>fl0,求EF的長(zhǎng)度;

(2)求證：AB->/2BE=CF.

23.（2020春?文山州期末）如圖1,已知點(diǎn)8、C、。在同一條直線上，△A8C和△CDE都

是等邊三角形，BE交AC于點(diǎn)F,AO交CE于點(diǎn)從

（1）求出/ACE的度數(shù)；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D1中找出一對(duì)全等的三角形，并說(shuō)明全等的理由；

（3）若將△CQE繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖2所示的位置，其余條件不變，（2）中的結(jié)論是否

還成立，試說(shuō)明理由.

5

24.(2020?豐臺(tái)區(qū)二模)如圖，矩形ABC￡>,延長(zhǎng)C。至點(diǎn)E,使DE=C￡>,連接AC,AE,

過(guò)點(diǎn)C作CF//AE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF.

(1)求證：四邊形ACFE是菱形；

(2)連接BE交AO于點(diǎn)G.當(dāng)AB=2,ZACB=30°時(shí)，求8G的長(zhǎng).

25.(2020春?焦作期末)如圖，在。A8CD中，點(diǎn)。是邊8C的中點(diǎn)，連接。。并延長(zhǎng)，交

AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接8。，EC.

(1)求證：四邊形8ECD是平行四邊形；

(2)當(dāng)NBOD=°時(shí)，四邊形BEC。是菱形；

(3)當(dāng)乙4=50°,則當(dāng)NBOO=°時(shí)，四邊形BECO是矩形.

26.(2020?臨沂)如圖，菱形ABCO的邊長(zhǎng)為1,/ABC=60°,點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)

(端點(diǎn)除外)，線段CE的垂直平分線交80,CE分別于點(diǎn)凡G,AE,EF的中點(diǎn)分別為

M,N.

(1)求證：AF=EF；

(2)求MN+NG的最小值；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在A2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，/CEF的大小是否變化？為什么？

6

一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（2020春?句容市期中）隨著人們生活水平的提高，我國(guó)擁有汽車(chē)的居民家庭也越來(lái)越多,

下列汽車(chē)標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合選項(xiàng)所給圖形進(jìn)行判斷即可.

【解析】人是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

8、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

。、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：A.

2.（2020春?濱湖區(qū)期中）如圖，在aABC中，ZA=70°,AC=BC,以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心

把△A8C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△4BC,點(diǎn)4恰好落在AC上，連接CC,則/

ACC度數(shù)為（）

【分析】由NA=70°,AC=BC,可知/AC8=40°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A8=B4',BC

=BC',ZCBC1=Za=40°,ZBCC'=70°,于是N4CC'=ZACB+ZBCC'=

110°.

【解析】VZA=70°,AC=BC,

：.ZBCA=40c,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AB-BA',BC=BC,

7

AZa=180°-2X70°=40°,

:NCBC'=Na=40°,

ZBCC'=70。,

AACC'=ZACB+ZBCC1=110°；

故選：A.

3（2020春?連云區(qū)期中）如圖,在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，AC=10,F

是DE上一點(diǎn),連接4F,CF,DF=1,若NAR7=90°,則BC的長(zhǎng)度為（）

A.10B.12C.14D.16

【分析】先證明防=5,繼而得到。E=6；再證明。石為△ABC的中位線，即可解決問(wèn)

題.

【解析】如圖，???NAFC=90°,E是AC的中點(diǎn),

?—。尸中,EF=1AC=5x10=5,

1+5=6；

,：D,E分別是A3,AC的中點(diǎn),

???。七為△48C的中位線，

J8C=2DE=\2,

故選：B.

4.（2019秋?江陰市期中）在aABC中，A8=AC=5,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，N為AB中點(diǎn)、,

則MN等于（）

125

A.3B.2C.D.-

52

8

【分析】根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可.

【解析】

:點(diǎn)M為8c的中點(diǎn)，N為AB中點(diǎn)，

是△48C的中位線，

15

-

：.MN=2-Ac=2

故選：D.

5.（2019春?金壇區(qū)期中）如圖，在△48C中，BD,CE是△ABC的中線，8力與CE相交

于點(diǎn)O,點(diǎn)凡G分別是8。，CO的中點(diǎn)，連接AO.若要使得四邊形?！闒G是正方形,

則需要滿足條作（）

B.ABLAC

C.AB=AC^.ABLACD.AO=BC^.AOLBC

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE=WBC,DE//BC,FG=±BC,FG//BC,得到

四邊形DEFG為平行四邊形，根據(jù)正方形的判定定理解答即可.

【解析】..?點(diǎn)E、。分別為A3、AC的中點(diǎn)，

：.DE=\BC,DE//BC,

?.?點(diǎn)尸、G分別是80、C。的中點(diǎn)，

:.FG=±BC,FG//BC,

：.DE=FG,DE//FG,

四邊形DEFG為平行四邊形，

?.?點(diǎn)E、F分別為AB、OB的中點(diǎn)，

9

：.EF=^OA,EF//OA,

當(dāng)EF=FG,即AO=BC時(shí)平行四邊形DEFG為菱形，

當(dāng)AO_LBC時(shí)，DE1.0A,

'：EF//OA,

:.EFLFG,

...四邊形。EFG為正方形，

則當(dāng)40=8C且AOJ_BC時(shí)，四邊形DEFG是正方形，

故選：D.

6.（2020秋?蘇州期末）如圖，四邊形A8CQ中，以對(duì)角線AC為斜邊作RtZ\ACE,連接

BE、DE,BEA.DE,AC,互相平分.若2AB=BC=4,則BZ）的值為（）

【分析】連接OE，由AC,互相平分得出四邊形ABC。是平行四邊形，由直角三角

形斜邊上的中線性質(zhì)推出AC=BO,則四邊形438是矩形，再由勾股定理即可得出結(jié)

果.

【解析】連接。E,如圖所示：

'：2AB=BC=4,

?\AB=2,

"：AC,8。互相平分，

：.OA=OC,OB=OD,四邊形A8CZ）是平行四邊形，

以AC為斜邊作RtAACE,

：.OE^OA=OC=^AC,

?；BELDE,

10

1

：.OE=OB=OD=~BD,

：.AC=BD,

，四邊形ABC。是矩形，

：.AD=BC=4,NBAD=90°,

：.BD=vXB'+AD二=、/2二+4==2V5

故選：A.

B

7.（2020春?儀征市期末）如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,AC=4,AB=5,。為AC

上的動(dòng)點(diǎn)，連接B。以A。、8。為邊作平行四邊形AOBE,則。E長(zhǎng)的最小值為（）

C.4D.5

【分析】由勾股定理可去8c=3,由平行四邊形的性質(zhì)可得BE//AC,由平行線之間的

距離和垂線段最短可得當(dāng)。EL4。時(shí)，OE有最小值，即可求解.

【解析】如圖，

；N4CB=90°,AC=4,AB=5,

：.BC=\!AB2-AC-=V25-16=3,

?.?四邊形是平行四邊形,

11

J.BE//AC,

...當(dāng)￡>E_LA。時(shí)，OE有最小值，

...OE有最小值為3,

故選：B.

8.（2020春?常熟市期末）如圖，以正方形ABCC的對(duì)角線AC為一邊作菱形AEFC,點(diǎn)F

在QC的延長(zhǎng)線上，連接AF交BC于點(diǎn)G,則/FGC的度數(shù)為（）

【分析】由正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得/CAB=45°=/ACB,NA8C=90°,Z

CAF=NE4F=[/CA8=22.5°,由三角形的外角性質(zhì)可求解.

【解析】???四邊形A8CQ是正方形，

：.ZCAB=45Q=NACB,NABC=90°,

???四邊形AEFC是菱形，

AZCAF^ZEAF=|ZCAB=22.5°,

ZFGC=ZACB+ZCAF=61.5°,

故選：A.

9.（2020春?太倉(cāng)市期末）如圖，在矩形ABCD中，AO=348,且48=2,點(diǎn)G、H分別在

AD.8c上，連接BG、DH,若四邊形8HDG是菱形，則AG的長(zhǎng)為（）

D.4

【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得8G=GQ,然后設(shè)AG=y，則GQ=BG=6-y,再根

據(jù)勾股定理可得丁+22=（6-丫）2解答即可.

12

【解析】???四邊形BGO”是菱形,

：.BG=GD,

3A8,且AB=2,

：.AD=6,

設(shè)AG=y,則GO=BG=6-y,

在Rt^AGB中，AG2+AB2=GB2,

8

解得-

=3

故選：A.

10.（2020?建鄴區(qū)一模）某小區(qū)打算在一塊長(zhǎng)80〃?，寬75〃的矩形空地的一側(cè)，設(shè)置一排

如圖所示的平行四邊形傾斜式停車(chē)位若干個(gè)（按此方案規(guī)劃車(chē)位,相鄰車(chē)位間隔線的寬

度忽略不計(jì)）.已知規(guī)劃的傾斜式停車(chē)位每個(gè)車(chē)位長(zhǎng)6〃?，寬25",如果這塊矩形空地用

于行走的道路寬度不小于45",那么最多可以設(shè)置停車(chē)位（)

14個(gè)D.13個(gè)

【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)AC=3時(shí)，AD=GF=6,得NA￡）C=30°,CD=3?根據(jù)

Z）E=2.5可得。尸=5,設(shè)最多可以設(shè)置停車(chē)位x個(gè)，進(jìn)而根據(jù)x個(gè)平行四邊形的面積加

上兩個(gè)三角形的面積小于等于矩形面積列出方程即可求出x的值.

13

根據(jù)題意可知：

A3=7.5,BC24.5,

???ACW3,

當(dāng)AC=3時(shí)，

<AD=GF=6,

AZADC=30°，CD=35

：.ZEFD=ZADC=30Q,

VDE=2.5,

：.DF=5,

設(shè)最多可以設(shè)置停車(chē)位1個(gè)，根據(jù)題意可得，

,**S平行四邊形ADEGU。尸?AC=5X3=15,

IQ.g

S^ADC=xCDMC=受，

.\15x+2x^<80X3,

解得xW14.96,

所以最多可以設(shè)置停車(chē)位14個(gè).

故選：C.

二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上

11.（2019秋?陽(yáng)東區(qū)期中）在“線段、等腰三角形、四邊形、圓”這兒個(gè)圖形中，中心對(duì)

稱圖形是線段、圓.

【分析】直接利用中心對(duì)稱圖形的定義分析得出答案.

【解析】在“線段、等腰三角形、四邊形、圓”這幾個(gè)圖形中，中心對(duì)稱圖形是：線段、

圓.

故答案為：線段、圓.

12.（2020?高新區(qū)一模）如圖，矩形ABC。中，E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線4E折疊,

使點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，連接FC,若/D4F=18°,則N￡>CF=36度.

14

【分析】由折疊的性質(zhì)得：FE=BE,/瑛E=NBAE,ZAEB^ZAEF,求出NBAE=N

雨E=36°,由直角三角形的性質(zhì)得出/AE尸=Z4EB=54°,求出/CE尸=72°,求出

FE=CE,由等腰三角形的性質(zhì)求出NECF=54°,即可得出NQCF的度數(shù).

【解析】???四邊形ABCD是矩形，

:.NBAD=NB=NBCD=90°,

由折疊的性質(zhì)得：FE=BE,NFAE=NBAE,NAEB=NAEF,

'：ZDAF=\8°,

：.ZBAE=ZFAE=^(90°-18°)=36°,

：.ZAEF=ZAEB=90°-36°=54°,

AZC￡F=180°-2X54°=72°,

；E為BC的中點(diǎn)，

；.BE=CE,

：.FE=CE,

1

：.NECF=*(1800-72°)=54°,

：.ZDCF=900-NECF=36°；

故答案為：36.

13.(2020春?市中區(qū)期末)如圖，已知在RtZiABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。是AC延長(zhǎng)線

上的一點(diǎn)，A￡>=24,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，BE=10,連接QE,M、N分別是AB、QE的

中點(diǎn)，則MN=13.

15

A

【分析】連接BQ,取的中點(diǎn)F,連接MF、NF,證明NF、MF分別是△8DE、/\ABD

的中位線，由三角形中位線定理得出N尸〃BE,MF//AD,NF=±BE=5,MF=^AD=\2,

證出NF_LMF,在中，由勾股定理即可得出答案.

【解析】連接8。，取BQ的中點(diǎn)F,連接MF、NF,如圖所示:

N、F分別是AB、DE、BQ的中點(diǎn),

:.NF、MF分別是△8OE、△ABO的中位線，

J.NF//BE,MF//AD,NF=《BE=5,MF=^40=12,

VZACB=90°,

：.AD±BC,

'：MF//AD,

：.MF±BC,

'：NF//BE,

C.NFLMF,

在Rt^MN尸中，由勾股定理得：MN=\NF-+MF:=v5:+12:=13；

故答案為：13.

16

A

14.（2019?丹陽(yáng)市一模）如圖，/XABC中，ZACB=90°,。在BC上，E為AB中點(diǎn),AD.

CE相交于F,AD=DB.若NB=35°,則NQFE等于105°.

【分析】根據(jù)/E尸￡）=/AOC+/Z）CF,只要求出乙4￡>C,NOCF即可解決問(wèn)題.

【解析】VZACB=90°AE=EB,

：.CE=EB=AE,

：.ZB=ZECB=35°,

'JDB^DA,

；.NB=/D4B=35°,

/.ZADC=ZB+ZDAB=1Q°,

；.NEFD=NADC+NECB=105°,

故答案為105.

15.（2020春?揭陽(yáng)期末）如圖，已知△ABC中，AB=AC,A。平分NBAC,E是AC的中點(diǎn),

若AB=6,則DE的長(zhǎng)為3.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ADVBC,再根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線

17

等于斜邊的一半可得答案.

【解析】"：AB=AC,AD平分NBAC,

：.ADLBC,

：.ZADC=90°,

?點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

：.DE=^AC=3.

故答案為：3.

16.（2020春?方城縣期中）如圖，E為。ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，且FBCD的面積為6,則圖中陰

【分析】根據(jù)三角形面積公式可知，圖中陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半.所

以S陰影=四邊形

【解析】設(shè)兩個(gè)陰影部分三角形的底為AB,CD,高分別為加，〃2,則〃1+比為平行四邊

形的高，

/eS^EAB+S^ECD=當(dāng)AB?hi+±CD?h2=（Z?i+/z2）

11

=5s四邊形A8C0=5x6=3.

故答案為：3.

17.（2019秋?平頂山期中）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置，△OOE的直角頂點(diǎn)

。在邊BC的中點(diǎn)處，其中/A=NOOE=90°.ZB=45°,ZD=60°,△OOE繞點(diǎn)

。自由旋轉(zhuǎn)，且。。，0E分別交AB,AC于點(diǎn)M,N當(dāng)AN=4,NC=2時(shí)，MN的長(zhǎng)為

2y5.

18

A

【分析】如圖，連接AO,作O”J_4c于H.首先證明△。歷N是等腰直角三角形，求出

ON即可解決問(wèn)題.

【解析】如圖，連接A。，作4c于”.

'：AB=AC,ZBAC=90°,OB=OC,

：.AOLBC,NBAO=NC=45°,OA=OB=OC,

VZD（9E=ZAOC=90°,

NAOM=NCON,

：./XAOM^/^CON（AS4）,

：.OM=ON,

"：AN=4,NC=2,

；.AC=6,

VZAOC=90°,OA=OC,OHA.AC,

：.AH=HC=3,OH=AH=CH=3,

:.HN=AN-AH=4-3=1,

：.ON=OM=VO/f2+HN-=V3:+1==V10.

:.MN=V2ON=2、虧，

故答案為2店.

18.（2020春?海陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABC。中，E為CO上一點(diǎn)（不與C、D重合）.4E

交對(duì)角線BD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)尸作FGLAE交BC于G,連接EG,現(xiàn)有如下結(jié)論：@AF

=FG；②EF>DE：③GE=BG+DE；④NFGE=NDAE；⑤在CO上存在兩個(gè)符合條

件的E點(diǎn)使CE=CG.以上正確的有①⑶⑷（填序號(hào)）.

19

【分析】如圖①，連接C凡由“SAS”可證△AB/名△C3R可得AF=CRZBAF=Z

BCF,可得AF=FG,如圖②，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△48”，由“S4S”可證

/\AHG^AAEG,可得HG=EG,由全等三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)依次判斷可求解.

【解析】如圖①，連接C凡

ZABF=ZCBF=45Q,

在△A8尸和△CB尸中,

AB=BC

乙4BF=乙CBF=45。，

(BF=BF

：.(SAS),

：.AF=CF,NBAF=NBCF,

???FG-LAE,

???在四邊形4BGE中，NBAF+/BGF=360°-90°-90°=180°,

又???N8Gb+NCG/=180°，

???NBAF=ZCGF,

:./CGF=/BCF,

:?CF=FG,

：.AF=FG,故①正確;

20

??ZDFE=ZADF+ZDAE=45°+ZDAE>ZFDE,

：.DE>EF,故②錯(cuò)誤；

如圖②，把△4OE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至IJaABH,貝UAH=AE,BH=DE,ZBAH^ZDAE,

??.△APG是等腰直角三角形，

：.ZEAG=45Q,

.../HAG=/84G+/￡>AE=90°-45°=45°,

：.ZEAG^ZHAG,

在AAHG和AAEG中，

AH=AE

乙EAG=zJ/AG>

\AG=AG

AAAHG^AAEG(SAS),

：.HG=EGf

?：HG=BH+BG=DE+BG=EG,故③正確；

：AF=FG,AF±FGf

.e.ZMG=ZFGA=450,

MAHGeXAEG,

：.ZAGH=ZAGE=ZAGF+ZEGF=45°+NFGE,

,:AD〃BC,

：.ZDAG=ZAGHf

：.ZDAG=ZAGE=45°+ND4E,

：.ZDAE=ZFGE,故④正確；

???在CD上存在1個(gè)符合條件的E點(diǎn)使CE=CG,

21

.?.⑤錯(cuò)誤，

故答案為①③④.

三、解答題(本大題共8小題，共64分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

19.(2020春?文山州期末)如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)叫格點(diǎn)，△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

(1)將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△AIBICI,畫(huà)出△A181C1,并寫(xiě)出。點(diǎn)的

坐標(biāo).

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，/XAiBiCi與△ABC關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱，請(qǐng)畫(huà)出△A282c2.

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使出+PC的長(zhǎng)度最短？如果存在，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中

作出點(diǎn)P，并保留作圖痕跡，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ai,Bi,Ci即可.

(2)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2,Bl,C2即可.

(2)作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC交x軸于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)PA+PC

的值最小.

【解析】(1)如圖，△481。即為所求，Ci點(diǎn)的坐標(biāo)(1,1).

(2)如圖，282c2即為所求.

(3)如圖，點(diǎn)P即為所求.

22

20.（2011春?蕭山區(qū)期末）在證明三角形中位線性質(zhì)”如圖，已知EF是AABC的中位線,

求證：EF//BC,EF=：8C”時(shí)，小雨根據(jù)老師的引導(dǎo)給出了一種思路：延長(zhǎng)EF至

使EF=OF,連接A。、CE,證明四邊形是平行四邊形即可.

小婷思考后認(rèn)為小雨的思路是正確的，可行的.

你能在這樣的思路下完成證明嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程.

【分析】延長(zhǎng)EF至。，使EF=DF,連接A。、CE,CD,證明四邊形AECQ是平行四

邊形即可.

【解析】證明：延長(zhǎng)EF至。，使EF=OF,連接A。、CE,CD,

；EF=DF,AF=CF,

.??AECQ是平行四邊形

J.AB//CD,AE=CD,

：.BE=CD

四邊形BEDC是平行四邊形

J.ED//BC,J.ED=BC

I

：.EF//BC,EF=*BC.

23

21.（2018?朝陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，在菱形A3CQ中，AC和30相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)0的線段EF

與一組對(duì)邊AB,C。分別相交于點(diǎn)￡F.

（1）求證：AE=CF\

（2）若AB=2,點(diǎn)E是A3中點(diǎn)，求所的長(zhǎng).

【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，可得AB//CD,OA=OC,繼而證得

COF,則可證得結(jié)論.

（2）利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解析】（1）證明：???四邊形A3CO是菱形，

：.AO=CO.AB//CD,

：.ZEAO=NFCO,/AEO=/CFO.

在△OAF和△OC/中，

LEAD=LFCO

AO—CO，

LAEO=乙CFO

：.AAOE^ACOF,

:?AE=CF；

（2）???E是45中點(diǎn)，

：?BE=AE=CF.

9：BE//CF,

???四邊形BEFC是平行四邊形，

,.?A3=2,

24

：.EF=BC=AB=2.

22.(2019秋?梁平區(qū)期末)如圖，nABCD中，CG_LAB于點(diǎn)G,NA8F=45°,/在C￡)

上，BF交CG于點(diǎn)E,連接AE,AELAD.

(1)若BG=1,BC=回,求EF的長(zhǎng)度；

(2)求證：AB->/2BE^CF.

【分析】(1)根據(jù)BG=1,BC=v'TO,利用勾股定理可以得到CG的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)可以得到GE的長(zhǎng)，從而可以得到EF的長(zhǎng)；

(2)要證明結(jié)論成立，只要作輔助線于點(diǎn)H,利用勾股定理得到BH=V2BE,

再利用三角形的全等和平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論成立.

【解析】(1)'：CG±AB,BG=1,BC=\T0,

：.CG=v'BC--=J(VIO)=-1-=3.

VZABF=45°,

...△BGE是等腰直角三角形，

:.EG=BG=1,

:.EC=CG-EG=3-1=2,

;在平行四邊形中，ABHCD,N4BF=45°,CGA.AB,

：.ZCFE=ZABF=^,NFCE=NBGE=9G°,

A￡CF是等腰直角三角形，

；.EF=\!ECZ+CF2=v'2:+2:=2、②

(2)證明：過(guò)E作EH_L8E交AB于H,

「/AB尸=45°,NBEH=90°,

25

，/\BEH是等腰直角三角形,

：.BH=7BEXEH二=迎BE,BE=HE,

:./BHE=45°,

AZAHE=180°-ZBH￡=180°-45°=135°,

由（1）知，AiBGE和都是等腰直角三角形,

：.ZBEG=45°,CE=CF,

AZBEC=180°-ZBEG=180°-45°=135°,

/AHE=NCEB,

AZDAE=90°,

ZBAD=ZDAE+ZEAB=90Q+ZEAB,

由（1）知，NFCE=90°,

???/BCD=NFCE+NBCG=90°+NBCG,

??,在平行四邊形48co中，/BAD=NBCD,

/.90°+NEAB=90°+NBCG,

:?/EAB=/BCG,

即NE4”=NBCE,

在△△￡：4”和△3CE中，

\cEAH=乙BCE

Z.EHA=乙BEC

\EH=BE

：./\EAH^ABCE（AAS）,

:.AH=CE=CF,

??.AB-y/2BE=AB-BH=AH=CF,

即AB-\r2BE=CF.

26

BGHA

23.(2020春?文山州期末)如圖1,己知點(diǎn)B、C、。在同一條直線上，ZXA8C和△CDE都

是等邊三角形，8E交AC于點(diǎn)F,AZ)交CE于點(diǎn)H.

(1)求出/ACE的度數(shù)；

(2)請(qǐng)?jiān)趫D1中找出一對(duì)全等的三角形，并說(shuō)明全等的理由；

(3)若將aCQE繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖2所示的位置，其余條件不變，(2)中的結(jié)論是否

還成立，試說(shuō)明理由.

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)得出NAC8=NECQ=60°,則可求出NACE=60°；

(2)依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到BE=AD,CE=CD,N4CB=/ECD=60°,然后

可證明NACD=NBCE=120°,依據(jù)SAS可證明△BCEZZiAC。；

(3)(2)中的結(jié)論還成立.證明方法同(2).

【解析】(1)?.?△48C和△CDE都是等邊三角形，

...NACB=NEC￡>=60°,

?.?點(diǎn)B、C、。在同一條直線上，

；./ACE=180°-ZACB-Z￡CZ)=180°-60°-60°=60°；

(2)ABCE^AACD.

理由：「△ABC和△CEO都是等邊三角形，

ZBC4=ZDC￡=60°,BC=AC,CE=CD,

：.ZBCE=ZACD,

在△BCE和△AC。中,

27

BC=AC

乙BCE=乙4CD，

(CE=CD

：./\BCE^/\ACD(SAS)；

(3)(2)中的結(jié)論還成立.

*/匕ABC和△(7￡)￡：都是等邊三角形，

AZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC.

：.ZBCE=ZACD,

.?.△BCEW4ACD(SAS).

24.(2020?豐臺(tái)區(qū)二模)如圖，矩形A3CO,延長(zhǎng)CO至點(diǎn)￡使OE=C￡),連接AC,AE,

過(guò)點(diǎn)。作C/〃AE交AQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接E?

(1)求證：四邊形AC正是菱形；

(2)連接8E交A。于點(diǎn)G.當(dāng)A8=2,ZACB=30°時(shí)，求8G的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到N4QC=90°,求得AE=AC,EF=CF,根據(jù)平行線

的性質(zhì)得到N￡4￡>=NAFC,求得AE=E/=AC=CR于是得到結(jié)論；

(2)如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NA5C=NBCE=90°,CD=AB,根據(jù)直角三角形的

性質(zhì)得到5。=2、6，CE=4,由勾股定理得到BE=、歸。二+CE[=2\7根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】(1)證明：???四邊形ABCQ是矩形，

AZADC=90°,

AAF1CE,

?；CD=DE,

：.AE=ACfEF=CF,

：.ZEAD=ZCAD,

9：AE//CF,

:?/EAD=NAFC,

28

：.ZCAD=ZCFA,

：.AC^CF,

：.AE=EF^AC^CF,

，四邊形4CFE是菱形；

(2)解：如圖，???四邊形ABC。是矩形，

AZABC=ZBCE=90°,CD=AB,

；A8=2,CD=DE,

:.BC=23CE=4,

：.BE=7BL+CE：=2、7

'：AB=CD=DE,ZBAE=ZEDG=90°,ZAGB=ZDGE,

：./\ABG^/\DEG(A4S),

：.BG=EG,

:.BG=