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文檔簡介

三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二節(jié)洛必達(dá)法則

第三章微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)本節(jié)研究:洛必達(dá)法則若兩個函數(shù)時都趨于零或趨于那么，可能存在，也可能不存在。此種極限稱為未定式。分別簡記為“商的極限等于極限的商”的法則來計算。此外，還有等共七種類型。未定式等僅是一個習(xí)慣記號，沒有運算意義。通常這種極限不能用一、存在(或為)定理1.型未定式(洛必達(dá)法則)(

在x,a之間)證:無妨假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取則在以x,a為端點的區(qū)間上滿足柯故定理條件:西定理條件,存在(或為)推論1.定理1中換為下列過程之一:推論2.若理1條件,則條件2)作相應(yīng)的修改,定理1仍然成立.洛必達(dá)法則例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達(dá)法則!洛洛例2.

求解:

原式＝本題第二步也可用等價無窮小替換來做，在求極限時將洛必達(dá)法則與等價無窮小替換結(jié)合起來，會大大提高解題效率.例3.求解:注意到原式洛例4.求解:原式思考:

如何求

(n為正整數(shù))?洛解：練習(xí)二、型未定式存在(或為∞)定理2.(洛必達(dá)法則)說明:定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.例5.求解:原式例6.求解:

(1)n為正整數(shù)的情形.原式洛洛洛(2)

n

不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼準(zhǔn)則存在正整數(shù)k,使當(dāng)x>1時,例6.例5.說明:1)例5,例6表明時,后者比前者趨于更快.例如,事實上用洛必達(dá)法則2)在滿足定理條件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決計算問題.3)若例如,極限不存在不能用洛必達(dá)法則!即你還打算做下去嗎?這樣做,分母中x的次數(shù)將越來越高,而分子不變,極限始終無法求出.練習(xí)解：將原極限稍加變形:練習(xí)解：三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例7.求解:原式洛解:原式例8.求通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化洛例9.求解:

利用例7通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例10.解：例11.解：例5例12.求法1.直接用洛必達(dá)法則.下一步計算很繁!法2.利用例5結(jié)果.原式例5注對數(shù)列極限不能直接用洛必達(dá)法則.如：×正確解：內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則思考與練習(xí)1.設(shè)是未定式極限,如果是否的極限也不存在?

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