中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點(diǎn)32尺規(guī)作圖含解析

2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)32尺規(guī)作圖

一.選擇題（共13小題）

1.（2018?襄陽(yáng)）如圖，在aABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧,

兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN分別交BC,AC于點(diǎn)D,E.若AE=3cm,ZXABD的周長(zhǎng)為13cm,

則4ABC的周長(zhǎng)為（）

A.16cmB.19cmC.22cmD.25cm

【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：；DE垂直平分線段AC,

.'.DA=DC,AE=EC=6cm,

VAB+AD+BD=13cm,

.".AB+BD+DC=13cm,

，AABC的周長(zhǎng)=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm,

故選：B.

2.（2018?河北）尺規(guī)作圖要求：I、過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；II、作線段的垂直

平分線；

IIL過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；IV、作角的平分線.

如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：

A.①-M②-n,③-1,④-inB.①-iv,②-in,③-n,i

c.①-n,②-w,③-in,iD.①-iv,②-i,③-n,?-in

【分析】分別利用過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線作法以及線段垂直平分線的作法和過直線

上一點(diǎn)作這條直線的垂線、角平分線的作法分別得出符合題意的答案.

【解答】解：I、過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；n、作線段的垂直平分線；

III、過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；IV、作角的平分線.

如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：

則正確的配對(duì)是：①-W,②-I,③-II,?-III.

故選：D.

3.（2018?河南）如圖，已知QAOBC的頂點(diǎn)0（0,0）,A（-1,2）,點(diǎn)B在x軸正半軸上

按以下步驟作圖：①以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交邊0A,0B于點(diǎn)D,E；②

分別以點(diǎn)D,E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NAOB內(nèi)交于點(diǎn)F；③作射線0F,

A.（遙-1,2）B.（代，2）C.（3-遙，2）D.（依-2,2）

【分析】依據(jù)勾股定理即可得到RtAAOH中,A0=^，依據(jù)/AGO=NAOG,即可得到AG=AQ=店,

進(jìn)而得出HG=^-1,可得G（遙-1,2）.

【解答】解：..FAOBC的頂點(diǎn)0(0,0),A(-1,2),

.".AH=1,H0=2,

RtAAOH中，A0=遙,

由題可得，OF平分NA0B,

ZA0G=ZE0G,

又...AG〃OE,

AZAGO=ZEOG,

???ZAGO=ZAOG,

?*.AG=AO=

???HG=V5-b

AG（V5-1,2）,

4.(2018?宜昌)尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是

【分析】根據(jù)過直線外一點(diǎn)向直線作垂線即可.

【解答】已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C.

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.

作法：(1)任意取一點(diǎn)K,使K和C在AB的兩旁.

(2)以C為圓心，CK的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E.

(3)分別以D和E為圓心，大于24)E的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F,

(4)作直線CF.

直線CF就是所求的垂線.

故選：B.

5.(2018?濰坊)如圖，木工師傅在板材邊角處作直角時(shí)，往往使用“三弧法”，其作法是:

(1)作線段AB,分別以A,B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧的交點(diǎn)為C；

(2)以C為圓心，仍以AB長(zhǎng)為半徑作弧交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D；

(3)連接BD,BC.

下列說法不正確的是()

A"------------

A.ZCBD=30°B.SABK=^X\B2

4

C.點(diǎn)C是4ABD的外心D.sin2A+cos2D=l

【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等邊三角形的性質(zhì)，直角

三角形的性質(zhì)一一判斷即可；

【解答】解：由作圖可知:AC=AB=BC,

AABC是等邊三角形，

由作圖可知：CB=CA=CD,

...點(diǎn)C是AABD的外心，ZABD=90°,

2

VAC=CD,

SABDC=-^^AB2,

4

故A、B、C正確，

故選:D.

6.（2018?郴州）如圖，ZA0B=60°,以點(diǎn)0為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交0A,0B于C,

D兩點(diǎn)；分別以C,D為圓心，以大于氏1）的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；以0為端點(diǎn)

作射線OP,在射線OP上截取線段OM=6,則M點(diǎn)到0B的距離為（）

【分析】直接利用角平分線的作法得出0P是NA0B的角平分線，再利用直角三角形的性質(zhì)

得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)M作ME±OB于點(diǎn)E,

由題意可得：0P是/AOB的角平分線，

則/P0B=LX60。=30°,

2

，ME=ZM=3.

2

故選：C.

7.（2018?臺(tái)州）如圖，在。ABCD中，AB=2,BC=3.以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交

大于氏Q的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于

BC于點(diǎn)P,交CD于點(diǎn)Q,再分別以點(diǎn)P,Q為圓心,

點(diǎn)N,射線CN交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)是（）

E

D

B

A.—B.1

2I

【分析】只要證明BE二BC即可解決問題;

【解答】解：,??由題意可知CF是NBCD的平分線,

???NBCE=NDCE.

???四邊形ABCD是平行四邊形,

AAB/7CD,

.\ZDCE=ZE,ZBCE=ZAEC,

ABE=BC=3,

VAB=2,

AAE=BE-AB=1,

故選：B.

8.（2018?嘉興）用尺規(guī)在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD,下列作法中錯(cuò)誤的是（）

【分析】根據(jù)菱形的判定和作圖根據(jù)解答即可.

【解答】解：A、由作圖可知，ACLBD,且平分BD,即對(duì)角線平分且垂直的四邊形是菱形,

正確;

B、由作圖可知AB=BC,AD=AB,即四邊相等的四邊形是菱形，正確；

C、由作圖可知AB=DC,AD=BC,只能得出ABCD是平行四邊形，錯(cuò)誤;

D、由作圖可知對(duì)角線AC平分對(duì)角，可以得出是菱形，正確；

故選：C.

9.（2018?昆明）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y—區(qū)（x>0）上，過點(diǎn)A作AB^x軸，垂足為點(diǎn)B,

X

分別以點(diǎn)0和點(diǎn)A為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D,E兩點(diǎn)，作直線DE

交x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)F(0,2),連接AC.若AC=1,則k的值為()

W32y+2

------Un.-----------

55

【分析】如圖，設(shè)0A交CF于K.利用面積法求出0A的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)求出

AB、0B即可解決問題;

由作圖可知，CF垂直平分線段0A,

.?.OC=CA=1,OK=AK,

在中，22=

RSOFCCF=7OF-+OCV5-

V55

.\0A=-^-,

5

由—OBA,可得需需能

91氓

..麗一加±^，

5

84

.\0B=—,AB=—,

55

AA《當(dāng),

55

故選：B.

10.（2018?湖州）尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無數(shù)人沉湎其中.傳說拿破侖通過下列尺規(guī)作

圖考他的大臣：

①將半徑為r的。。六等分，依次得到A,B,C,D,E,F六個(gè)分點(diǎn)；

②分別以點(diǎn)A,D為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，G是兩弧的一個(gè)交點(diǎn)；

③連結(jié)OG.

問：OG的長(zhǎng)是多少？

大臣給出的正確答案應(yīng)是（）

（rD.y[2r

【分析】如圖連接CD,AC,DG,AG.在直角三角形即可解決問題;

?AD是。0直徑,

AZACD=90°,

在RtZkACD中,AD=2r,ZDAC=30°,

**?AC=^3r，

VDG=AG=CA,OD=OA,

A0G1AD,

AZG0A=90°,

OG=VAC2-OA2"7（V3r）2-r2LV2r,

故選：D.

11.（2018?臺(tái)灣）如圖，銳角三角形ABC中，BC>AB>AC,甲、乙兩人想找一點(diǎn)P,使得

/BPC與NA互補(bǔ)，其作法分別如下：

（甲）以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于P點(diǎn)，則P即為所求；

（乙）作過B點(diǎn)且與AB垂直的直線1,作過C點(diǎn)且與AC垂直的直線，交1于P點(diǎn)，則P即

為所求

對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？（）

A.兩人皆正確B.兩人皆錯(cuò)誤

C.甲正確，乙錯(cuò)誤D.甲錯(cuò)誤，乙正確

【分析】甲：根據(jù)作圖可得AC=AP,利用等邊對(duì)等角得：ZAPC=ZACP,由平角的定義可知:

/BPC+/APC=180°,根據(jù)等量代換可作判斷；

乙：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得：ZBPC+ZA=180°.

【解答】解：甲：如圖1,VAC=AP,

ZAPC=ZACP,

ZBPC+ZAPC=180°

.,.ZBPC+ZACP=180°,

...甲錯(cuò)誤;

乙：如圖2,VAB±PB,AC1PC,

.\ZABP=ZACP=900,

.,.ZBPC+ZA=180°,

，乙正確，

故選：D.

12.（2018?安順）已知△ABC（ACVBC）,用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)P,使PA+PC=BC,

則符合要求的作圖痕跡是

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)分別分得出即可.

【解答】解：A、如圖所示：此時(shí)BA=BP,則無法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC,故此

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、如圖所示：此時(shí)PA=PC,則無法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、如圖所示：此時(shí)CA=CP,則無法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、如圖所示：此時(shí)BP=AP,故能得出PA+PC=BC,故此選項(xiàng)正確；

故選：D.

13.（2017?南寧）如圖，△ABC中，AB>AC,NCAD為AABC的外角，觀察圖中尺規(guī)作圖的

痕跡，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

A.ZDAE=ZBB.ZEAC=ZCC.AE〃BCD.ZDAE=ZEAC

【分析】根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得/DAE=/B,進(jìn)而判定AE〃BC,再根據(jù)平行線的性

質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得NDAE=NB,故A選項(xiàng)正確，

...AE〃BC,故C選項(xiàng)正確，

.\ZEAC=ZC,故B選項(xiàng)正確，

VAB>AC,

.\ZC>ZB,

ZCAE>ZDAE,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤,

故選：D.

二.填空題（共7小題）

14.（2018?南京）如圖，在AABC中，用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，分別交AB、

AC于點(diǎn)D、E,連接DE.若BC=10cm,則DE=5cm.

【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出DE是aABC的中位線，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：???用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，

...D為AB的中點(diǎn),E為AC的中點(diǎn)，

；.DE是aABC的中位線，

.?.DE=^-BC=5cm.

2

故答案為：5.

15.（2018?淮安）如圖，在RtaABC中，NC=90°,AC=3,BC=5,分別以點(diǎn)A、B為圓心，

大于寺鉗的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q,過P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D,則

【分析】連接AD由PQ垂直平分線段AB,推出DA=DB,設(shè)DA=DB=x,在RtAACD中，ZC=90°,

根據(jù)ADJAC2+CD?構(gòu)建方程即可解決問題；

【解答】解：連接AD.

.?.DA=DB,設(shè)DA=DB=x,

在RtZ\ACD中，ZC=90°,ADMC2+CD2,

.\X2=32+(5-x)2,

解得x=^,

5

172

???CD二BC-DB=5-,

55

故答案為

5

16.（2018?山西）如圖，直線MN〃PQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點(diǎn)A,B.小宇同學(xué)利

用尺規(guī)按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交AN于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D；

②分別以C,D為圓心，以大于氏口長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NNAB內(nèi)交于點(diǎn)E；③作射線AE

交PQ于點(diǎn)F.若AB=2,ZABP=60°,則線段AF的長(zhǎng)為2b.

【分析】作高線BG,根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：BG=1,AG=y反，可得AF的長(zhǎng).

【解答】解：：MN〃PQ,

...NNAB=NABP=60°,

由題意得：AF平分NNAB,

AZ1=Z2=3O°，

VZABP=Z1+Z3,

AZ3=30°，

AZ1=Z3=3O°,

AAB=BF,AG二GF,

VAB=2,

???BG』B=1,

2

**?AG二

AAF=2AG=2A/3,

故答案為：2?.

B

17.（2018?東營(yíng)）如圖，在RtZ\ABC中，ZB=90°,以頂點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,

分別交AC,BC于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,F為圓心，大于合卜'的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于

點(diǎn)P,作射線CP交AB于點(diǎn)D.若BD=3,AC=10,則AACD的面積是15.

【分析】作DQLAC,由角平分線的性質(zhì)知DB=DQ=3,再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算可得.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DQJ_AC于點(diǎn)Q,

由作圖知CP是/ACB的平分線，

VZB=90°,BD=3,

；.DB=DQ=3,

VAC=10,

.".SAACD—^6-00=—X10X3=15,

22

故答案為：15.

18.（2018?通遼）如圖，在aABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，以

大于向AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)；②作直線MN交BC于點(diǎn)D,連接AD.若

AB=BD,AB=6,ZC=30°,則4ACD的面積為9JQ.

【分析】只要證明aABD是等邊三角形，推出BD=AD=DC,可得SAADC=SA?即可解決問題;

【解答】解：由作圖可知，MN垂直平分線段AC,

???DA=DC,

.\ZC=ZDAC=30°,

/.ZADB=ZC+ZDAC=60°,

VAB=AD,

/.△ABD是等邊三角形，

???BD=AD=DC,

=返

SAADC=SAABDX62=9我,

4

故答案為973.

19.（2018?成都）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和C為圓心，以

大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN交CD于點(diǎn)E.若DE=2,CE=3,

則矩形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為J不.

【分析】連接AE,如圖，利用基本作圖得到MN垂直平分AC,則EA=EC=3,然后利用勾股定

理先計(jì)算出AD,再計(jì)算出AC.

【解答】解：連接AE,如圖，

由作法得MN垂直平分AC,

.\EA=EC=3,

22b

在RtZXADE中，AD=^3-2V5>

在Rt^ADC中，AC=^(A/5)2+52=730.

故答案為5/否.

20.（2018?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格

點(diǎn).以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直

角頂點(diǎn)E,F,G,H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖.例

如,在如圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為屈,此時(shí)正方形EFGH的而積為5.問：

當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為J同，正方形EFGH的面積的所有可能值是13或

49或9（不包括5）.

【分析】當(dāng)DG=g互，CG=2后時(shí)，滿足DG'+CG^CD?,此時(shí)HG=g互，可得正方形EFGH的面

積為13.當(dāng)DG=8,CG=1時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2,此時(shí)HG=7,可得正方形EFGH的面積為49.當(dāng)

DG=7,CG=4時(shí),滿足DG2+CG23,此時(shí)HG=3,可得正方形EFGH的面積為9.

【解答】解：當(dāng)DG=岳，CG=2近酬，滿足DG2+CG2=CD:此時(shí)HG=JF，可得正方形EFGH

的面積為13.

當(dāng)DG=8,CG=1時(shí),滿足DG'CG'CD'此時(shí)HG=7,可得正方形EFGH的面積為49.

當(dāng)DG=7,CG=4時(shí),滿足DG2+CG2=CD2,此時(shí)HG=3,可得正方形EFGH的面積為9.

故答案為13或49或9.

三.解答題（共21小題）

21.（2018?廣州）如圖，在四邊形ABCD中,ZB=ZC=90°,AB>CD,AD=AB+CD.

（1）利用尺規(guī)作/ADC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E,連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，

①證明:AE1DE；

②若CD=2,AB=4,點(diǎn)M,N分別是AE,AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值.

【分析】（1）利用尺規(guī)作出NADC的角平分線即可；

（2）①延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F.只要證明AD=AF,DE=EF,利用等腰三角形三線合一的

性質(zhì)即可解決問題；

②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)K,連接EK,作KHLAB于H,DGJ_AB于G.連接MK.由MB=MK,

推出MB+MN=KM+MN,根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)K、M、N共線，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最

小，最小值為KH的長(zhǎng)；

【解答】解：（1）如圖，/ADC的平分線DE如圖所示.

(2)①延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F.

：CD〃AF,

NCDE=/F,NCDE=NADE,

.\ZADF=ZF,

；.AD=AF,

VAD=AB+CD=AB+BF,

；.CD=BF,

VZDEC=ZBEF,

AADEC^AFEB,

.\DE=EF,

VAD=AF,

???AEJ_DE.

②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)K,連接EK,作KHLAB于H,DGLAB于G.連接MK.

VAD=AF,DE=EF,

JAE平分NDAF,則△AEKgZ\AEB,

AAK=AB=4,

在RtZ\ADG中，DGTADZ_AG^W^，

VKHZ/DG,

.KH_AK

一元而，

,KH=4

**4726，

.KH_8V2

3

VMB=MK,

???MB+MN=KM+MN,

???當(dāng)K、M、N共線，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小,最小值為KH的長(zhǎng),

ABM+MN的最小值為竺巨

3

22.（2018?廣東）如圖，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，ZCBD=75°,

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F；（不要求寫作法,

保留作圖痕跡）

（2）在（1）條件下，連接BF,求/DBF的度數(shù).

【分析】（1）分別以A、B為圓心，大于"B長(zhǎng)為半徑畫弧，過兩弧的交點(diǎn)作直線即可;

(2)根據(jù)NDBF=/ABD-NABF計(jì)算即可；

【解答】解：(1)如圖所示，直線EF即為所求;

(2)I?四邊形ABCD是菱形,

AZABD=ZDBC=—ZABC=75°，DC〃AB,ZA=ZC.

2

AZABC=150°,ZABC+ZC=180°,

AZC=ZA=30°,

：EF垂直平分線線段AB,

；.AF=FB,

.,.ZA=ZFBA=30°,

ZDBF=ZABD-ZFBE=45°.

23.(2018?安徽)如圖，。。為銳角AABC的外接圓，半徑為5.

(1)用尺規(guī)作圖作出NBAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧前的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡，不寫

作法)；

(2)若(1)中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長(zhǎng).

【分析】(1)利用基本作圖作AE平分/BAC；

(2)連接OE交BC于F,連接0C,如圖，根據(jù)圓周角定理得到前=在，再根據(jù)垂徑定理得

到0E1BC,則EF=3,0F=2,然后在RtAOCF中利用勾股定理計(jì)算出CFf后，在RtACEF

中利用勾股定理可計(jì)算出CE.

【解答】解：（1）如圖，AE為所作;

（2）連接0E交BC于F,連接0C,如圖,

：AE平分NBAC,

ZBAE=ZCAE,

??BErCE'

AOEIBC,

；.EF=3,

.\0F=5-3=2,

在RtaOCF中，CF=452_2&亞,

在RAEF中，CE=732+（721）^755.

24.（2018?自貢）如圖，在aABC中,ZACB=90°.

（1）作出經(jīng)過點(diǎn)B,圓心0在斜邊AB上且與邊AC相切于點(diǎn)E的。0（要求：用尺規(guī)作圖,

保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）設(shè)（1）中所作的。0與邊AB交于異于點(diǎn)B的另外一點(diǎn)D,若。。的直徑為5,BC=4；

求DE的長(zhǎng).（如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形，可畫出草圖完成（2）問）

【分析】（1）作NABC的角平分線交AC于E,作E0LAC交AB于點(diǎn)0,以0為圓心，0B為

半徑畫圓即可解決問題；

（2）作0HLBC于H.首先求出0H、EC、BE,利用△BCEs^BED,可得嘰地，解決問題;

ECBE

【解答】解：（1）。。如圖所示;

(2)作OH_LBC于H.

〈AC是。0的切線，

A0E1AC,

AZC=ZCE0=Z0HC=90°,

???四邊形ECHO是矩形，

53

.\OE=CH=—,BH=BC-CH=—,

22

在RtZSOBH中,?產(chǎn)2,

；.EC=0H=2,

BE^EC2+BC2=2^T

VZEBC=ZEBI),ZBED=ZC=90°,

.?.△BCE<^ABED,

.DE_BD

"EC'BE'

.DE_5

TWT

；.DE=依.

25.（2018?北京）下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過

程.

己知：直線1及直線1外一點(diǎn)P.

求作：直線PQ,使得PQ〃1.

作法：如圖，

①在直線1上取一點(diǎn)A,作射線PA,以點(diǎn)A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫弧，交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

B；

②在直線1上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），作射線BC,以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫弧，

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q；

③作直線PQ.所以直線PQ就是所求作的直線.

根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：；AB=AP,CB=CQ,

；.PQ〃1（三角形中位線定理）（填推理的依據(jù)）.

【分析】（1）根據(jù)題目要求作出圖形即可；

（2）利用三角形中位線定理證明即可；

【解答】（1）解：直線PQ如圖所示；

（2）證明：VAB=AP,CB=CQ,

；.PQ〃1（三角形中位線定理）.

故答案為：AP,CQ,三角形中位線定理;

26.（2018?白銀）如圖，在△ABC中，ZABC=90°.

（1）作NACB的平分線交AB邊于點(diǎn)0,再以點(diǎn)0為圓心，0B的長(zhǎng)為半徑作。0；（要求:

不寫做法，保留作圖痕跡）

（2）判斷（1）中AC與00的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果.

【分析】（1）首先利用角平分線的作法得出CO,進(jìn)而以點(diǎn)0為圓心，0B為半徑作。0即可;

（2）利用角平分線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)而求出即可.

【解答】解：（1）如圖所示：

（2）相切；過。點(diǎn)作0DLAC于D點(diǎn)，

?10平分NACB,

OB=OD,即d=r,

.?.00與直線AC相切，

27.（2018?無錫）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,4）.

（1）請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作一條直線AC,它與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A

和點(diǎn)C,且使NABC=90°,AABC與AAOC的面積相等.（作圖不必寫作法，但要保留作圖

痕跡.）

（2）問：（1）中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，請(qǐng)說明理由；若不唯一，請(qǐng)?jiān)趫D中畫

出所有這樣的直線AC,并寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

【分析】（1）①作線段0B的垂直平分線AC,滿足條件，②作矩形0A'BC',直線A'C',

滿足條件；

(2)分兩種情形分別求解即可解決問題;

【解答】(1)解：如圖AABC即為所求；

(2)解：這樣的直線不唯一.

①作線段0B的垂直平分線AC,滿足條件，此時(shí)直線的解析式為y=-^|x+號(hào).

②作矩形OA'BC',直線A'C',滿足條件，此時(shí)直線A'C'的解析式為y=-1+4.

28.(2018?孝感)如圖，AABC中，AB=AC,小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作:

①作NBAC的平分線AM交BC于點(diǎn)D；

②作邊AB的垂直平分線EF,EF與AM相交于點(diǎn)P；

③連接PB,PC.

請(qǐng)你觀察圖形解答下列問題：

(1)線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系是PA=PB=PC；

(2)若/ABC=70°，求NBPC的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：PA=PB=PC；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：ZABC=ZACB=70°,由三角形的內(nèi)角和得：ZBAC=180°-

2X70°=40。，由角平分線定義得：ZBAD=ZCAD=20°,最后利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)

論.

【解答】解：(1)如圖,PA=PB=PC,理由是：

VAB=AC,AM平分NBAC,

???AD是BC的垂直平分線，

APB=PC,

YEP是AB的垂直平分線，

APA=PB,

APA=PB=PC；

故答案為：PA=PB=PC；

(2)VAB=AC,

AZABC=ZACB=70°,

AZBAC=180°-2X70°=40°,

YAM平分NBAC,

AZBAD-ZCAD=20°,

VPA=PB=PC,

AZABP=ZBAP=ZACP=20°,

???NBPC=NABP+NBAC+NACP=20°+40°+20°=80°.

29.(2018?深圳)已知菱形的一個(gè)角與三角形的一個(gè)角重合，然后它的對(duì)角頂點(diǎn)在這個(gè)重

合角的對(duì)邊上，這個(gè)菱形稱為這個(gè)三角形的親密菱形，如圖，在4CFE中，CF=6,CE=12,

ZFCE=45°,以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作AD,再分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于*AD

長(zhǎng)為半徑作弧，交EF于點(diǎn)B,AB/7CD.

(1)求證：四邊形ACDB為AFEC的親密菱形；

(2)求四邊形ACDB的面積.

【分析】(1)根據(jù)折疊和已知得出AC=CD,AB=DB,ZACB=ZDCB,求出AC=AB,根據(jù)菱形的

判定得出即可；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出菱形的邊長(zhǎng)和高，根據(jù)菱形的面積公式求出

即可.

【解答】(1)證明：；由已知得：AC=CD,AB=DB,

由已知尺規(guī)作圖痕跡得：BC是NFCE的角平分線，

ZACB=ZDCB,

XVAB/7CD,

.,.ZABC=ZDCB,

.\ZACB=ZABC,

.\AC=AB,

又?.?AC=CD,AB=DB,

；.AC=CD=DB=BA...四邊形ACDB是菱形，

VZACD與AFCE中的/FCE重合，它的對(duì)角/ABD頂點(diǎn)在EF上，

四邊形ACDB為aFEC的親密菱形；

(2)解：設(shè)菱形ACDB的邊長(zhǎng)為x,

?.?四邊形ABCD是菱形,

，AB〃CE,

/.ZFAB=ZFCE,NFBA=NE,

△EAB^AFCE

則,券警

解得：x=4,

過A點(diǎn)作AHLCD于H點(diǎn),

:在RSACH中，/ACH=45°，

，四邊形ACDB的面積為：4X2加=8圾.

30.（2018?貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）.如圖，已知Na和線

段a,求作△ABC,使NA=Na,ZC=90°,AB=a.

a?

【分析】根據(jù)作一個(gè)角等于已知角，線段截取以及垂線的尺規(guī)作法即可求出答案.

【解答】解：如圖所示，

△ABC為所求作

31.（2018?江西）如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AB=2CD,E為AB的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無

刻度直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）.

（1）在圖1中，畫出4ABD的BD邊上的中線；

（2）在圖2中，若BA=BD,畫出AABD的AD邊上的高.

【分析】（1）連接EC,利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可;

(2)連接EC,ED,FA,利用三角形重心的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：（1）如圖1所示，AF即為所求:

（2）如圖2所示，BH即為所求.

32.（2018?青島）已知：如圖，ZABC,射線BC上一點(diǎn)D.

求作：等腰△PBD,使線段BD為等腰△PBD的底邊，點(diǎn)P在/ABC內(nèi)部，且點(diǎn)P到NABC兩

邊的距離相等.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：???點(diǎn)P在/ABC的平分線上，

.?.點(diǎn)P到/ABC兩邊的距離相等（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），

?.?點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上，

.?.PB=PD（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），

33.（2018?寧波）在5X3的方格紙中，^ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

B

圖2

（1）在圖1中畫出線段BD,使BD〃AC,其中D是格點(diǎn);

（2）在圖2中畫出線段BE,使BEJ_AC,其中E是格點(diǎn).

【分析】（1）將線段AC沿著AB方向平移2個(gè)單位，即可得到線段BD；

（2）利用2X3的長(zhǎng)方形的對(duì)角線，即可得到線段BE,AC.

【解答】解：（1）如圖所示，線段BD即為所求；

（2）如圖所示，線段BE即為所求.

34.（2018?河南）如圖，反比例函數(shù)y=K（x>0）的圖象過格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）P.

x

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個(gè)矩形（不寫畫法），要求每個(gè)矩形均需滿足下列兩個(gè)

條件：

①四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)。，點(diǎn)P;

②矩形的面積等于k的值.

【分析】（1）將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=K,利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式;

X

（2）根據(jù)矩形滿足的兩個(gè)條件畫出符合要求的兩個(gè)矩形即可.

【解答】解：(1)???反比例函數(shù)尸上(x>0)的圖象過格點(diǎn)P(2,2),

x

???k二2X2=4,

.??反比例函數(shù)的解析式為y=-；

x

(2)如圖所不：

矩形OAPB、矩形OCDP即為所求作的圖形.

35.(2018?金華)如圖，在6X6的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)A在格點(diǎn)(小正

方形的頂點(diǎn))上.試在各網(wǎng)格中畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，面積為6,且符合相應(yīng)條件的圖形.

A

圖1：以A為頂點(diǎn)的圖2：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)圖3：以點(diǎn)A為對(duì)角穌點(diǎn)

三角形的平行四邊形的平行四邊形

【分析】利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可;

【解答】解：符合條件的圖形如圖所示：

圖1:以A為頂點(diǎn)的圖2：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)圖3：以點(diǎn)A為對(duì)角皎點(diǎn)

三角形的平行四邊形的平行四邊形

36.（2018?濟(jì)寧）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，某數(shù)學(xué)小組探究求環(huán)形花壇（如圖所示）面積的

方法，現(xiàn)有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直線垂直平分線段AB）.

（1）在圖1中，請(qǐng)你畫出用T形尺找大圓圓心的示意圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）；

（2）如圖2,小華說：“我只用一根直棒和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積，具體做

法如下:

將宜棒放置到與小圓相切，用卷尺量出此時(shí)直棒與大圓兩交點(diǎn)M,N之間的距離，就可求出

環(huán)形花壇的面積”如果測(cè)得MN=10m,請(qǐng)你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面積.

【分析】（1）直線CD與C'D，的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)0.

（2）設(shè)切點(diǎn)為C,連接0M,0C.旅游勾股定理即可解決問題;

【解答】解：（1）如圖點(diǎn)0即為所求；

(2)設(shè)切點(diǎn)為C,連接0M,0C.

是切線，

.\0C±MN,

；.CM=CN=5,

AOM2-0C2=CM2=25,

AS網(wǎng)環(huán)=h?()、/-Jt,0C2=25n.

37.（2018?廣安）下面有4張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的

邊長(zhǎng)都是1,請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉蟹謩e畫出符合要求的圖形，所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中小正

方形的頂點(diǎn)重合，具體要求如下：

（1）畫一個(gè)直角邊長(zhǎng)為4,面積為6的直角三角形.

（2）畫一個(gè)底邊長(zhǎng)為4,面積為8的等腰三角形.

（3）畫一個(gè)面積為5的等腰直角三角形.

（4）畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2&,面積為6的等腰三角形.

【分析】（1）利用三角形面積求法以及直角三角形的性質(zhì)畫即可；

（2）利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可.

（3）利用三角形面積求法以及等腰直角三角形的性質(zhì)畫出即可；

（4）利用三角形面積求法以及等腰三角形的性質(zhì)畫出即可.

【解答】解：（1）如圖（1）所示

（2）如圖（2）所示:

（3）如圖（3）所示;

（4）如圖（4）所示.

38.（2018?青島）問題提出：用若干相同的一個(gè)單位長(zhǎng)度的細(xì)直木棒，按照如圖1方式搭

建一個(gè)長(zhǎng)方體框架，探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律.

問題探究:

我們先從簡(jiǎn)單的問題開始探究，從中找出解決問題的方法.

探究一

用若干木棒來搭建橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n的矩形框架(m、n是正整數(shù))，需要木棒的條數(shù).

如圖①，當(dāng)m=l時(shí),橫放木棒為IX(1+1)條，縱放木棒為(1+1)XI條，共需4

條;

如圖②，當(dāng)m=2,n=l時(shí),橫放木棒為2X(1+1)條，縱放木棒為(2+1)XI條，共需7

條;

如圖③，當(dāng)m-2,n=2時(shí),橫放木棒為2X(2+1))條，縱放木棒為(2+1)X2條，共需

12條；如圖④，當(dāng)m=3,n=l時(shí)，橫放木棒為3義(1+1)條，縱放木棒為(3+1)X1條,

共需10條;

如圖⑤，當(dāng)m=3,n=2時(shí)，橫放木棒為3X(2+1)條，縱放木棒為(3+1)X2條，共需17

問題(一)：當(dāng)m=4,n=2時(shí)，共需木棒22條.

問題(二)：當(dāng)矩形框架橫長(zhǎng)是m,縱長(zhǎng)是n時(shí)，橫放的木棒為m(n+1)條,

縱放的木棒為n(m+1)條.

探究二

用若干木棒來搭建橫長(zhǎng)是m,縱長(zhǎng)是n,高是s的長(zhǎng)方體框架(m、n、s是正整數(shù))，需要

木棒的條數(shù).

如圖⑥，當(dāng)m=3,n=2,s=l時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3X(2+1)+(3+1)X2]X(1+1)

=34條，豎放木棒為(3+1)X(2+1)X1=12條，共需46條；

如圖⑦，當(dāng)m=3,n=2,s=2時(shí),橫放與縱放木棒之和為[3X