（人教A版2019選修第一冊(cè)）高二數(shù)學(xué)同步備課系列 3.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教學(xué)課件）

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第3

章圓錐曲線(xiàn)的方程人教A版2019選修第一冊(cè)我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線(xiàn)(截面與圓錐側(cè)面的交線(xiàn))是一個(gè)圓.如果改變圓錐的軸與截平面所成的角，那么會(huì)得到怎樣的曲線(xiàn)呢?如圖，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線(xiàn)，它們分別是橢圓、拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn).我們通常把橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn).本章我們繼續(xù)采用坐標(biāo)法，在探究圓錐曲線(xiàn)幾何特征的基礎(chǔ)上，建立它們的方程，通過(guò)方程研究它們的性質(zhì)，并解決與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會(huì)坐標(biāo)法的魅力與威力.01不同方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程02不同方法判斷軌跡03求軌跡方程目錄學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn))3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題．(難點(diǎn))情境與問(wèn)題

橢圓是圓錐曲線(xiàn)的一種具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研生產(chǎn)和人類(lèi)生活中具有廣泛的應(yīng)用，那么橢圓到底有怎樣的幾何性質(zhì)，我們?cè)撊绾卫眠@些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。探究取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩,把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn),套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出的軌跡是一個(gè)圓.如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離,分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1,F2,套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖,畫(huà)出的軌跡是什么曲線(xiàn)?在這一過(guò)程中,移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿(mǎn)足的幾何條件是什么?通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示可知，畫(huà)出的軌跡是橢圓.在這一過(guò)程中,移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿(mǎn)足的幾何條件是：

移動(dòng)的筆尖M(動(dòng)點(diǎn))到固定在圖板上的兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和是定值,并且這個(gè)定值大于兩定點(diǎn)間的距離，即由此可得橢圓的定義.動(dòng)畫(huà)演示平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距.焦距的一半稱(chēng)為半焦距.1.橢圓的定義:思考動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？①在平面內(nèi)----(這是前提條件)；②動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和是常數(shù)；

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線(xiàn)段F1F2

；動(dòng)點(diǎn)M沒(méi)有軌跡.F1F2M??③下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,建立橢圓的方程.

下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，推導(dǎo)橢圓方程，并通過(guò)方程研究橢圓的性質(zhì).F1F2M??xyO

如圖示,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點(diǎn),橢圓的焦距為2c(c>0),M與F1,F2的距離的和等于常數(shù)2a(a>0),則(x,y)由定義知：化簡(jiǎn)整理得由橢圓定義知：為了使方程形式更簡(jiǎn)單：①我們把方程①叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.思考1

觀(guān)察圖,你能從中找出表示a,b,c的線(xiàn)段嗎？由圖可知，2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:F1F2M??xyO(x,y)

如圖示,若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－c,0),F2(c,0),c2＝a2－b2.F1F2P??xyOcab思考2

如圖示,如果焦點(diǎn)F1,F2在y軸上,且F1,F2的坐標(biāo)分別為(0,－c),(0,c),a,b的意義同上,那么橢圓的方程是什么?F1F2M??xyOF1F2M??xyO(x,y)(焦點(diǎn)在x軸上)(焦點(diǎn)在y軸上)定義焦點(diǎn)位置圖形方程特點(diǎn)共同點(diǎn)不同點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:F1F2M??xyOF1F2M??xyO焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上1.不同方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1解1:(定義法)解2:(待定系數(shù)法)例1【方法說(shuō)明】(3)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要先定“位”，1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法有：a,b,c滿(mǎn)足的關(guān)系有：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)方程，代入計(jì)算出待定字母的值.

用定義尋找a,b,c的方程；(1)定義法：(2)待定系數(shù)法：待定系數(shù)法更為常用，是解此類(lèi)問(wèn)題的通法.即求a,b

的大小.即確定焦點(diǎn)的位置；其次是定“量”，2.不同方法判斷軌跡

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,

y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,

y0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,0).

由點(diǎn)M是線(xiàn)段PD的中點(diǎn)，得

例2如圖，在圓

上任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線(xiàn)段PD中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？xyPMO?D?

尋求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)中x,y與x0,y0之間的關(guān)系,然后消去x0,y0,得到點(diǎn)M的軌跡方程.這是解析幾何中求點(diǎn)的軌跡方程常用的方法.

利用信息技術(shù),可以更方便地探究點(diǎn)M的軌跡的形狀.解1：(相關(guān)點(diǎn)代入法)xyPMO?D?解2：(參數(shù)法)∵

P

在圓x2+y2=4上，∴可設(shè)P(2cosθ,2sinθ),消去參數(shù)θ，得∴點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題意有

例2如圖，在圓

上任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線(xiàn)段PD中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說(shuō)明：橢圓的參數(shù)方程是橢圓方程的另外一種表現(xiàn)形式，它的優(yōu)越性在于將曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫,縱坐標(biāo)(兩個(gè)變量)用同一個(gè)參數(shù)θ表示，這樣就能將橢圓上點(diǎn)的很多問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決，很好地將幾何問(wèn)題代數(shù)化.橢圓的參數(shù)方程：橢圓的參數(shù)方程(1)橢圓的參數(shù)方程是

參數(shù)方程：(2)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程是

(3)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程是

思考由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過(guò)“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過(guò)“拉伸”得到橢圓嗎?如何“拉伸”?由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?xyPMO?D?xyPMO?D?動(dòng)畫(huà)演示動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)3.求軌跡方程例3xyBMOA?解:設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由A(-5,0),

B(5,0)，可得總結(jié)：解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的三種方法1.直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿(mǎn)足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)為f(x，y)＝0.2.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是先觀(guān)察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．3.相關(guān)點(diǎn)法：有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法．

課本練習(xí)14yOF1F2xAB(1)由題意

故△AF1B的周長(zhǎng)為：

(2)如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長(zhǎng)不會(huì)有變化.仍然成立.解：??∴△AF1B的周長(zhǎng)為：

4.已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1,0),(1,0),直線(xiàn)AM,BM相交于點(diǎn)M,且直線(xiàn)AM的斜率與直線(xiàn)BM的斜率的商是2,點(diǎn)M的軌跡是什么?為什么?解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由已知,得直線(xiàn)AM的斜率為直線(xiàn)BM的斜率為隨堂檢測(cè)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)5.如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0).Q為圓C上任意一點(diǎn),線(xiàn)段AQ的垂直平分線(xiàn)與C,Q的連線(xiàn)交于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求