八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)資料(全套)

八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)資料（全套）目錄第01講全等三角形的性質(zhì)與判定 1經(jīng)典·考題·賞析 1演練鞏固·反饋提高 5培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè) 7第02講角平分線的性質(zhì)與判定 10經(jīng)典·考題·賞析 10培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè) 13第3講軸對(duì)稱及軸對(duì)稱變換 15經(jīng)典·考題·賞析 15演練鞏固·反饋提高 18培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè) 20第4講等腰三角形 23經(jīng)典·考題·賞析 23培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè) 30第五講等邊三角形 33經(jīng)典考題賞析 33鞏固練習(xí)反饋提高 36第06講實(shí)數(shù) 38經(jīng)典·考題·賞析 38演練鞏固反饋提高 39培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 41第7講變量與函數(shù) 43經(jīng)典·考題·賞析 43演練鞏固·反饋提高 46第8講一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 48經(jīng)典·考題·賞析 48演練鞏固·反饋提高 52培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè) 55第9講一次函數(shù)與方程、不等式 56經(jīng)典·考題·賞析 56演練鞏固·反饋提高 59第10講一次函數(shù)的應(yīng)用 61經(jīng)典·考題·賞析 61演練鞏固反饋提高 68第11講冪的運(yùn)算 71經(jīng)典·考題·賞析 71演練鞏固反饋提高 72培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 73第12講整式的乘除 75經(jīng)典·考題·賞析 75演練鞏固·反饋提高 77第13講因式分解及其應(yīng)用 80經(jīng)典·考題·賞析 80演練鞏固反饋提高 83培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 83第14講分式的概念?性質(zhì)與運(yùn)算 85經(jīng)典?考題?賞析 85演練鞏固反饋提高 89培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 90第15講分式的化簡(jiǎn)求值與證明 92經(jīng)典?考題?賞析 92演練鞏固反饋提高 96培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 98第16講分式方程及其應(yīng)用 99經(jīng)典·考題·賞析 100演練鞏固·反饋提高 103培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè) 105第17講反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 106經(jīng)典·考題·賞析 107演練鞏固·反饋提高 112培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè) 115第18講反比例函數(shù)的應(yīng)用 118經(jīng)典·考題·賞析 118演練鞏固反饋提高 121培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 123第19講勾股定理 125經(jīng)典·考題·賞析 125演練鞏固·反饋提高 130培優(yōu)升級(jí)?奧賽檢測(cè) 132第20講平行四邊形 135經(jīng)典?考題?賞析 135演練鞏固反饋提高 139培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 141第21講菱形與矩形 143經(jīng)典·考題·賞析 143演練鞏固反饋提高 147培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 150第22講正方形 154經(jīng)典?考題?賞析 154演練鞏固·反饋提高 159培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè) 161第23講梯形 163經(jīng)典?考題?賞析 163演練鞏固反饋提高. 165培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 167第24講數(shù)據(jù)的分析 171經(jīng)典·考題·賞析 171演練鞏固·反饋提高 175培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè) 177模擬測(cè)試卷（一） 180模擬測(cè)試卷(二) 183模擬測(cè)試卷（三） 186===教育資料分享，讓每個(gè)人平等的提高自我===完整版學(xué)習(xí)資料分享第01講全等三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)·方法·破譯1．能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；2．全等三角形性質(zhì)：①全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；②全等三角形對(duì)應(yīng)高、角平分線、中線相等；③全等三角形對(duì)應(yīng)周長相等，面積相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，對(duì)于兩個(gè)直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有HL法；4．證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個(gè)三角形滿足判定方法中的三個(gè)條件，具體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊或角，再根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設(shè)法對(duì)它們進(jìn)行證明；5．．證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)條件，有時(shí)能直接進(jìn)行證明，有時(shí)要證的兩個(gè)三角形并不全等，這時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長線中線、截取等等.經(jīng)典·考題·賞析【例１】如圖，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么圖中有全等三角形（）BACDEFA．5對(duì) B．4對(duì) C．3對(duì) BACDEF【解法指導(dǎo)】從題設(shè)題設(shè)條件出發(fā)，首先找到比較明顯的一對(duì)全等三角形，并由此推出結(jié)論作為下面有用的條件，從而推出第二對(duì)，第三對(duì)全等三角形.這種逐步推進(jìn)的方法常用到.解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90.∴∠DCB＝90.在△ABC和△DCB中∴△ABC≌∴△DCB（SAS）∴∠A＝∠D⑵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌∴△DCE∴BE＝CE⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中AFCAFCEDB∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故選C.【變式題組】01．（天津）下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A．有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D．有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等02．（麗水）已知命題：如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，則△ABC≌△DEF.判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題，并加以證明.03．(上海)已知線段AC與BD相交于點(diǎn)O,連接AB、DC，E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)，連接EF（如圖所示）.⑴添加條件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求證：AB＝DC；ABCDOFE⑵分別將“∠A＝∠D”記為①，“∠OEF＝∠OFE”ABCDOFE【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求證：AF＝DE.ACEFBD【解法指導(dǎo)】想證AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需證明△ABF≌△DCE或△AEF≌△ACEFBD證明：∵FB＝CE∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF在△ABE和△DCF中, ∴△ABE≌△DCF（SSS）∴∠B＝∠C在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE∴AF＝DE【變式題組】01．如圖，AD、BE是銳角△ABC的高，相交于點(diǎn)O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，則AO的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5AAE第1題圖ABCDEBCDO第2題圖02.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是過A點(diǎn)的一條直線，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，則BD＝__________.\03．（北京）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CE＝BC，過點(diǎn)E作AC的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)F.求證：AB＝FC.AAFECBD【例３】如圖①，△ABC≌△DEF，將△ABC和△DEF的頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E重合，把△DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O.⑴當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點(diǎn)B（E）、C、D在同一直線上時(shí)，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是________________;⑵當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí)，⑴中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)說明理由_____________.BB（E）OCF圖③FABCDEFAB(E)CDDA圖②圖①【解法指導(dǎo)】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF,∠ABC＝∠DEF,∠BAC＝∠EDF∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,∴∠ABF＝∠DEC在△ABF和△DEC中, ∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA∴∠AFD＝∠DCA【變式題組】01．（紹興）如圖，D、E分別為△ABC的AC、BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P∠CDE＝48°，則∠APD等于（）A．42° B．48° C．52° D．58°02．如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．EC＝CFEEFBABPDEC第1題圖ACDG第2題圖03．一張長方形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上.⑴求證：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，并證明.BBFACENMPDDACBFE【例４】（第21屆江蘇競(jìng)賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB邊上的高，點(diǎn)P在BD的延長線，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB.求證：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指導(dǎo)】證明線段或角相等，也就是證線段或角所在的兩三角形全等.經(jīng)觀察，證AP＝AQ,也就是證△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知條件BP＝AC，CQ＝AB，應(yīng)該證△APB≌△QAC，已具備兩組邊對(duì)應(yīng)相等，于是再證夾角∠1＝∠2即可.證AP⊥AQ，即證∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.221ABCPQEFD證明：⑴∵BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQ⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ,∴∠P＋∠PAD＝90°∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ【變式題組】ABCDFE01．如圖，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，點(diǎn)F是CDABCDFE02．（湖州市競(jìng)賽試題）如圖，在一個(gè)房間內(nèi)有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am，此時(shí)梯子的傾斜角為75°，如果梯子底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面的墻上，此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm，梯子傾斜角為45°，這間房子的寬度是（）A． B． C．bm D．a(chǎn)mAAECBA75°C45°BNM第2題圖第3題圖D03．如圖，已知五邊形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，則五邊形ABCDE的面積為__________演練鞏固·反饋提高01．（海南）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α度數(shù)是（）A．72° B．60° C．58° D．50°第第3題圖第1題圖CAODBP第2題圖ACA/BB/aαcca50°b72°58°02．如圖，△ACB≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，則∠ACA/的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．35° D．40°03．（牡丹江）尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP，由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS04．（江西）如圖，已知AB＝AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90°EE21NABDC第5題圖ABCDEABCD第4題圖第6題圖M05．有兩塊不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，如圖，當(dāng)A、B、D不在一條直線上時(shí)，下面的結(jié)論不正確的是（）A.△ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBDC.∠ABC＝∠EBD＝45°D.AC∥BE06．如圖，△ABC和共頂點(diǎn)A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.BC交AD于M，DE交AC于N，小華說：“一定有△ABC≌△AED.”小明說：“△ABM≌△AEN.”那么（）A.小華、小明都對(duì)B.小華、小明都不對(duì)C.小華對(duì)、小明不對(duì)D.小華不對(duì)、小明對(duì)07．如圖，已知AC＝EC,BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度數(shù)是___________.08．如圖，△ABC≌△ADE，BC延長線交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，則∠DFB的度數(shù)為_______.09．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,DE⊥AB于D,BC＝BD.AC＝3，那么AE＋DE＝______第第10題圖ABCDE第9題圖EABCDABCDEFOCAEBD第7題圖第8題圖10．如圖，BA⊥AC,CD∥AB.BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2,CD＝6，則AE＝_____.11．如圖,AB＝CD,AB∥CD.BC＝12cm，同時(shí)有P、Q兩只螞蟻從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向爬行，Pcm/s,Qcm/s.求爬行時(shí)間t為多少時(shí)，△APB≌△QDC.DDAC.QP.BDBACEF12．如圖,△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BCDBACEF⑴求證：AE＝CD；⑵若AC＝12cm,求BD的長. AEBFDC13．（吉林）如圖，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD等于AE，AB平分∠DAEAEBFDC14．如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線l上，從另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別作l的垂線，垂足分別為D、E.BDBDEClA⑵若DE＝a，求梯形DABE的面積.（溫馨提示：補(bǔ)形法）AEFBDC15．如圖，AC⊥BC,AD⊥BD,AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別是E、FAEFBDC16．我們知道，兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會(huì)全等？⑴閱讀與證明：對(duì)于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)?；?duì)于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證明它們?nèi)龋ㄗC明略）；對(duì)于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下；已知△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求證：△ABC≌△A1B1C1.（請(qǐng)你將下列證明過程補(bǔ)充完整）AABCDA1B1C1D1⑵歸納與敘述：由⑴可得一個(gè)正確結(jié)論，請(qǐng)你寫出這個(gè)結(jié)論.培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01．如圖，在△ABC中，AB＝AC，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AE＝AF，BF、CE相交于點(diǎn)O，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，則圖中全等三角形有（）A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．7對(duì)FF第6題圖21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1題圖B第2題圖第3題圖02．如圖，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列結(jié)論中：①∠A＝∠B②DE＝CE，③連接DE,則OE平分∠AOB，正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③03．如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且AC＝CE,∠1=∠2=∠3,則DE的長等于（）A．DCB.BCC.ABD.AE＋AC04．下面有四個(gè)命題，其中真命題是（）A．兩個(gè)三角形有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等B．兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C.有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D.兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等05．在△ABC中，高AD和BE所在直線相交于H點(diǎn),且BH＝AC，則∠ABC＝_______.06．如圖，EB交AC于點(diǎn)M,交FC于點(diǎn)D,AB交FC于點(diǎn)N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C,AE＝AF.給出下列結(jié)論：①∠1＝∠2；②BE＝CF;③△ACN≌△ABM;④CD＝DB，其中正確的結(jié)論有___________.（填序號(hào)）07．如圖，AD為在△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F,且有BF＝AC，F(xiàn)D＝CD.⑴求證：BE⊥AC；⑵若把條件“BF＝AC”和結(jié)論“BE⊥AC”互換，這個(gè)命題成立嗎？證明你的判定.AAEFCDB08．如圖，D為在△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線.求證：AC＝2AE.AABEDC09．如圖，在凸四邊形ABCD中，E為△ACD內(nèi)一點(diǎn)，滿足AC＝AD，AB＝AE,∠BAE＋∠BCE＝90°,∠BAC＝∠EAD.求證：∠CED＝90°.AAEBDC10．（沈陽）將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F.⑴求證：AF＋EF＝DE;⑵若將圖①中△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出變換后的圖形，并直接寫出（1）中結(jié)論是否仍然成立；⑶若將圖①中△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°,其他條件不變，如圖③你認(rèn)為（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)寫出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明AFAFDFCBEDACBEACB圖①圖②圖③ABCDE11．（嵊州市高中提前招生考試）⑴閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：在△ABC中，AB＝5，AC＝13,求BCABCDE小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4.感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮中線加倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.ABEFCD⑵問題解決：受到⑴的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交ACABEFCD求證：BE＋CF＞EF；AEBFCD⑶問題拓展：如圖，在四邊形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、AEBFCD12．（北京）如圖，已知△ABC.⑴請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D、E（BC的中點(diǎn)除外），連接AD、AE，寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；CBA⑵請(qǐng)你根據(jù)使⑴成立的相應(yīng)條件，證明：AB＋AC＞AD＋CBAADEGCHB13．如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°.AH⊥AH于H，HA的延長線交DE于G.ADEGCHB14．已知，四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°,∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC（或它們的延長線）于E、F.當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)，如圖1，易證：AE＋CF＝EF；（不需證明）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，如圖2和圖3中這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.DDABCFNEMD圖1ABCFNEMDABCFNEM圖2圖3第02講角平分線的性質(zhì)與判定考點(diǎn)·方法·破譯1．角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2．角平分線的判定定理：角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.3．有角平分線時(shí)常常通過下列幾種情況構(gòu)造全等三角形.經(jīng)典·考題·賞析【例１】如圖，已知OD平分∠AOB，在OA、OB邊上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求證：PM＝PN【解法指導(dǎo)】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲證PM＝PN只需∠3＝∠4，證∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD與△OAD全等即可.證明：∵OD平分∠AOB∴∠1＝∠2在△OBD與△OAD中，∴△OBD≌△OAD∴∠3＝∠4∵PM⊥BD，PN⊥AD所以PM＝PN【變式題組】01．如圖，CP、BP分別平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求證：點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.02．如圖，BD平分∠ABC，AB＝BC，點(diǎn)P是BD延長線上的一點(diǎn)，PM⊥AD，PN⊥CD.求證：PM＝PN【例２】（天津競(jìng)賽題）如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點(diǎn)E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度數(shù)【解法指導(dǎo)】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，聯(lián)想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可證△CFD≌△CEB，則∠B＝∠CDF＝60°.或者在AE上截取AM＝AD從而構(gòu)造全等三角形.解：過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，點(diǎn)C是AC上一點(diǎn)，∴CE＝CF在Rt△CFA和Rt△CEA中，∴Rt△ACF≌Rt△ACE∴AF＝AE又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD∴∠B＝∠CDF又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.【變式題組】01．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC02．(河北競(jìng)賽)在四邊形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，對(duì)角線AC平分∠BAD，問a與b的大小符合什么條件時(shí)，有∠B＋∠D＝180°，請(qǐng)畫圖并證明你的結(jié)論.【例３】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求證：CE＝BD【解法指導(dǎo)】由于BE平分∠ABC，因而可以考慮過點(diǎn)D作BC的垂線或延長CE從而構(gòu)造全等三角形.證明：延長CE交BA的延長線于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE＝EF，∴CE＝CF∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，∴∠1＝∠3在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF∴BD＝CF∴CE＝BD【變式題組】01．如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證：AB＝AC＋BD.02．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F.⑴請(qǐng)你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；⑵求證：AE＋CD＝AC.演練鞏固·反饋提高01．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，則△ABD的面積是（）A．mn B．mn C．mn D．2mn02．如圖，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四個(gè)結(jié)論：=1\*GB3①BP＝CP；=2\*GB3②AD⊥BC；=3\*GB3③AE平分∠BAC；=4\*GB3④∠PBC＝∠PCB.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè)A． 1 B．2 C．3 D．403．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列結(jié)論：=1\*GB3①AS＝AR；=2\*GB3②PQ∥AR；=3\*GB3③△BRP≌△CSP.其中正確的是（）A． =1\*GB3①=3\*GB3③ B．=2\*GB3②=3\*GB3③ C．=1\*GB3①=2\*GB3② D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③04．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論中：=1\*GB3①AD上任意一點(diǎn)到B、C的距離相等；=2\*GB3②AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；=3\*GB3③AD⊥BC且BD＝CD；=4\*GB3④∠BDE＝∠CDF.其中正確的是（）A．=2\*GB3②=3\*GB3③ B．=2\*GB3②=4\*GB3④ C．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④ D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④05．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于E點(diǎn)，則∠AEB的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．35°06．如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，給出下列結(jié)論：=1\*GB3①AD＝AF；=2\*GB3②AB＋EC＝AC＋BE；=3\*GB3③BC＋CF＝AB＋AF；=4\*GB3④點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn).其中正確的序號(hào)是（）A．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④ B．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③ C．=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④ D．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④07．如圖，點(diǎn)P是△ABC兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（）A．點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等 B．點(diǎn)P在∠ABC的平分線上C．∠P與∠B的關(guān)系是：∠P＋∠B＝90° D．∠P與∠B的關(guān)系是：∠B＝∠P08．如圖，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD與CD相交于D.給出下列結(jié)論：=1\*GB3①點(diǎn)D到AB、AC的距離相等；=2\*GB3②∠BAC＝2∠BDC；=3\*GB3③DA＝DC；=4\*GB3④DB平分∠ADC.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)09．如圖，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，下列結(jié)論中：=1\*GB3①AD平分∠CDE；=2\*GB3②∠BAC＝∠BDE；=3\*GB3③DE平分∠ADB；=4\*GB3④AB＝AC＋BE.其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．4個(gè)10．如圖，已知BQ是∠ABC的內(nèi)角平分線，CQ是∠ACB的外角平分線，由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別為M、N、K，則QM、QN、QK的關(guān)系是_________11．如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求證：BE＝CF12．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：AD⊥EF.培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01．如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有（）A．一處 B．二處 C．三處 D．四處02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，則D到AB邊的距離為（）A．18 B．16 C．14 D．1203．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分線，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從A向B運(yùn)動(dòng).已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的長為x(cm)，那么x的范圍是__________04．如圖，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分別為E、F、G，且PF＝PG＝PE，則∠BPD＝__________05．如圖，已知AB∥CD，O為∠CAB、∠ACD的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC，且OE＝2，則兩平行線AB、CD間的距離等于__________06．如圖，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足為P，EF的延長線于BC的延長線相交于點(diǎn)G.求證：∠G＝(∠ACB－∠B)07．如圖,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分線,P為AC上任意一點(diǎn).求證:AB－AC＞DB－DC08．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別為∠BAC、∠ABC的角平分線上.求證：BQ＋AQ＝AB＋BP第3講軸對(duì)稱及軸對(duì)稱變換考點(diǎn)·方法·破譯1．軸對(duì)稱及其性質(zhì)把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，這條直線叫對(duì)稱軸.軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形有如下性質(zhì)：①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；②對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.2．線段垂直平分線線段垂直平分線也叫線段中垂線，它反映了與線段的兩種關(guān)系：①位置關(guān)系——垂直；②數(shù)量關(guān)系——平分.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.3．當(dāng)已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高（或垂線）、或求幾條折線段的最小值等情況時(shí)，通?？紤]作軸對(duì)稱變換，以“補(bǔ)齊”圖形，集中條件.經(jīng)典·考題·賞析【例１】（蘭州）如圖所示，將一張正方形紙片對(duì)折兩次，然后在上面打3個(gè)洞，則紙片展開后是（）【解法指導(dǎo)D.【變式題組】01．將正方形紙片兩次對(duì)折，并剪出一個(gè)菱形小洞后鋪平，得到的圖形是（）02．（荊州）如圖，將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)G上，點(diǎn)D落在點(diǎn)H上；然后再沿虛線GH折疊，使B落在點(diǎn)E上，點(diǎn)C落在點(diǎn)F上，疊完后，剪一個(gè)直徑在BC上的半圓，再展開，則展開后的圖形為（）【例2】（襄樊）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，將△ABC向右平移兩個(gè)單位長度得到△A’B’C’，則與點(diǎn)B’關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【解法指導(dǎo)】在△ABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，1），將△ABC向右平移兩個(gè)單位長度得到△A’B’C’，由點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律可得點(diǎn)B’關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，－1），故應(yīng)選D.【變式題組】01．若點(diǎn)P（－2，3）與點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a、b的值分別是（）A．－2，3B．2，3C．－2，－3D．2，－302．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（－3，2），點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，將點(diǎn)Q向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)R，則點(diǎn)R的坐標(biāo)是___________.03．（荊州）已知點(diǎn)P（a＋1，2a－1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍為___________.【例3】如圖，將一個(gè)直角三角形紙片ABC（∠ACB＝90°），沿線段CD折疊，使點(diǎn)B落在B1處，若∠ACB1＝70°，則∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【解法指導(dǎo)】由折疊知∠BCD＝∠B1CD.設(shè)∠ACD＝x，則∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70°＋x）＝90°，故x＝10°.故選D.【變式題組】01．（東營）如圖，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)D’、C’∠EFB＝65°，則∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°02．如圖，△ABC中，∠A＝30°，以BE為邊，將此三角形對(duì)折，其次，又以BA為邊，再一次對(duì)折，C點(diǎn)落在BE上，此時(shí)∠CDB＝82°，則原三角形中∠B＝___________.03．（江蘇）⑴觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片（如圖①）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖②）.小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說明理由.⑵實(shí)踐與運(yùn)用：將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖③）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D’處，折痕為EG（如圖④）；再展平紙片（如圖⑤）.求圖⑤中∠α的大小.【例4】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF交BC的延長線于點(diǎn)F，求證：∠B＝∠CAF．【解法指導(dǎo)】∵EF是AD的中垂線，則可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．從而利用角平分線的定義與三角形的外角轉(zhuǎn)化即可．證明：∵EF是AD的中垂線，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4【變式題組】01．如圖，點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，且BC＝BD＋AD，則點(diǎn)D在__________的垂直平分線上．02．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，則DC＝___________cm．03．如圖，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則∠EAG＝___________．04.△ABC中，AB＝AC，AB邊的垂直平分線交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周長為20cm，則△ABC的周長是___________cm．【例5】（眉山）如圖，在3×3的正方形格點(diǎn)圖中，有格點(diǎn)△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谙旅娴膫溆脠D中畫出所有這樣的△DEF．【解法指導(dǎo)】在正方形格點(diǎn)圖中，如果已知條件中沒有給對(duì)稱軸，在找對(duì)稱軸時(shí)，通常找圖案居中的水平直線、居中的豎直直線或者斜線作為對(duì)稱軸．若以圖案居中的水平直線為對(duì)稱軸，所作的△DEF如圖①②③所示；若以圖案居中的豎直直線為對(duì)稱軸，所作的△DEF如圖④所示；若以圖案居中的斜線為對(duì)稱軸，所作的△DEF如圖⑤⑥所示．【變式題組】01．（泰州）如圖，在2×2的正方形格點(diǎn)圖中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，請(qǐng)你找出格點(diǎn)圖中所有與△ABC成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有___________個(gè)．02．（紹興）如圖甲，正方形被劃分成16個(gè)全等的三角形，將其中若干個(gè)三角形涂黑，且滿足下列條件：⑴涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；⑵涂黑部分成軸對(duì)稱圖形．如圖乙是一種涂法，請(qǐng)?jiān)趫D1－3中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法．（在所設(shè)計(jì)的圖案中，若涂黑部分全等，則認(rèn)為是同一種不同涂法，如圖乙與圖丙）【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家，試問在何處飲水，所求路程最短？【解法指導(dǎo)】⑴所求問題可轉(zhuǎn)化為CD上取一點(diǎn)M，使其AM＋BM為最小；⑵本題利用軸對(duì)稱知識(shí)進(jìn)行解答．解:先作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’B交CD于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，下面證明此時(shí)的AM＋BM最小．證明：在CD上任取與M不重合的點(diǎn)M’，∵AA’關(guān)于CD對(duì)稱，∴CD為線段AA’的中垂線，∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜A’M’＋BM’，∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，即AM＋BM最?。咀兪筋}組】01．（山西）設(shè)直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站向P、Q兩地供水．現(xiàn)在如下四種鋪設(shè)管道方案，圖中的實(shí)線表示輔設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（）02．若點(diǎn)A、B是銳角∠MON內(nèi)兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贠M、ON上確定點(diǎn)C、點(diǎn)D，使四邊形ABCD周長最小，寫出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點(diǎn)．演練鞏固·反饋提高01．（黃岡）如圖，△ABC與△A’B’C’關(guān)于直線l對(duì)稱，且∠A＝78°，∠C’＝48°，則∠B的度數(shù)是（）．A．48°B．54°C．74°D．78°02．（泰州）如圖，把一張長方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形03．圖1是四邊形紙片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若將其右下角向內(nèi)折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如圖2所示，則∠C＝（）A．80°B．85°C．95°D．110°04．如圖，陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的圖形又是關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的圖形，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，3），則點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別是（）A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）05．點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)P’的坐標(biāo)是（－3，5），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）06．已知M（1－a，2a＋2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)在第二象限，則a的取值范圍是（）A．－1＜a＜1B．－1≤a≤1C．a(chǎn)＞1D．a(chǎn)＞－107．（杭州）如圖，鏡子中號(hào)碼的實(shí)際號(hào)碼是___________．08．（貴陽）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，則圖中陰影部分的面積為___________cm2.09．已知點(diǎn)A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a＋b＝___________.10．如圖，在△ABC中，OE、OF分別是AB、AC中垂線，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度數(shù)．11．如圖，C、D、E、F是一個(gè)長方形臺(tái)球桌的4個(gè)頂點(diǎn)，A、B是桌面上的兩個(gè)球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請(qǐng)畫出A球經(jīng)過的路線，并寫出作法．12．如圖，P為∠ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點(diǎn)，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延長線于N．求證：AN＝MC．13．（荊州）有如圖“”的8張紙條，用每4張拼成一個(gè)正方形圖案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形僅為2個(gè)，且使每個(gè)正方形圖案都是軸對(duì)稱圖形，在網(wǎng)格中畫出你拼成的圖．（畫出的兩個(gè)圖案不能全等）培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01．（浙江競(jìng)賽試題）如圖，直線l1與直線l2相交，∠α＝60°，點(diǎn)P在∠α內(nèi)（不在l1l2上）．小明用下面的方法作P的對(duì)稱點(diǎn)：先以l1為對(duì)稱軸作點(diǎn)P關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P1,再以l2為對(duì)稱軸作P1關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P2，然后再以l1為對(duì)稱軸作P2關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P3，以l2為對(duì)稱軸作P3關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P4，……如此繼續(xù)，得到一系列P1、P2、P3……Pn與P重合，則n的最小值是（）A．5B．6C．7D．802．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸．⑴如果△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（－2，0），B（－1，0），C（－1，2），△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1，△A1B1C1關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形是△A2B2C2，寫出△A2B2C2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；⑵如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是（－a，0），其中a＞0，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P1，點(diǎn)P1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)是P2，求PP2的長．03．（荊州）某住宅小區(qū)擬栽種12棵風(fēng)景樹，若想栽成6行，每行4棵，且6行樹所處位置連成線后能組成精美的對(duì)稱圖案，請(qǐng)你仿照舉例在下面方框中再設(shè)計(jì)兩種不同的栽樹方案．04．（宜昌）已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，PB分別與線段CF、AF相交于P、M．⑴求證：AB＝CD；⑵若∠BAC＝2∠MPC，請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．05．在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A關(guān)于BC邊的對(duì)稱點(diǎn)為A’，點(diǎn)B關(guān)于AC邊的對(duì)稱點(diǎn)為B’，點(diǎn)C關(guān)于AB邊的對(duì)稱點(diǎn)為C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．06．（湖州市競(jìng)賽試題）小王同學(xué)在小組數(shù)學(xué)活動(dòng)中，給本小組出了這樣一道“對(duì)稱跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫一條直線l，在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B，使線段AB長a厘米，并關(guān)于直線l對(duì)稱，在圖中P1處有一粒跳棋子，P1距A點(diǎn)b厘米、與直線l的距離C厘米，按以下程序起跳：第1次，從P1點(diǎn)以A為對(duì)稱中心跳至P2點(diǎn)；第2次，從P2點(diǎn)以l為對(duì)稱軸跳至P3點(diǎn)；第3次，從P3點(diǎn)以B為對(duì)稱中心跳至P4點(diǎn)；第4次，從P4以l為對(duì)稱軸跳至P1點(diǎn)；⑴畫出跳棋子這4次跳過的路徑并標(biāo)注出各點(diǎn)字母；（畫圖工具不限）⑵棋子按上述程序跳躍2011次后停下，假設(shè)a＝8，b＝6，c＝3，計(jì)算這時(shí)它與A的距離是多少？07．（湖州）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，－3），B（4，－1）．⑴若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p＝___________時(shí)，△PAB的周長最短；⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a＝___________時(shí)，四邊形ABCD的周長最短；⑶設(shè)M、N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請(qǐng)求出m＝___________，n＝___________（不必寫解答過程）；若不存在，請(qǐng)說明理由．第4講等腰三角形考點(diǎn)·方法·破譯1．等腰三角形及其性質(zhì)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，因此它的性質(zhì)有：⑴等腰三角形的兩個(gè)底角相等（即等邊對(duì)等角）；⑵等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一）2．等腰三角形的判定證明一個(gè)三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴從定義入手，證明一個(gè)三角形有兩條邊相等；⑵從角入手，證明一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，依據(jù)是等腰三角形判定定理；等角對(duì)等邊．3．構(gòu)造等腰三角形的常用方法⑴角平分線＋平行線＝等腰三角形⑵角平分線＋垂線（或高）＝等腰三角形⑶線段中垂線構(gòu)造等腰三角形⑷將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形經(jīng)典·考題·賞析等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400，則這個(gè)等腰三角形的底角為________________.【解法指導(dǎo)】若問題中涉及到三角形的高，則要分別考慮三角形的高是在三角形的外，三角形內(nèi)的情況．解：如圖1，當(dāng)一腰上的高在三角形內(nèi)時(shí)，∠ACD＝400，∴∠A＝500∴∠B＝∠ACB＝如圖2，當(dāng)一腰上的高在三角形外時(shí)，∠ACD＝400，∠DAC＝500∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.【變式題組】01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長為（）A.7B.11C.7或11D．7或1002.（黃岡）在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500，則∠B＝___________度．03.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，那么當(dāng)t＝_________秒時(shí)，過D、P兩點(diǎn)的直線將⊿ABC的周長分成兩個(gè)部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度數(shù)．【解法指導(dǎo)】圖中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性質(zhì)，用方程的思想求角的度數(shù)．解：設(shè)∠A＝x,

∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x，∵在△ABC中,∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，∴∠A＝36°．【變式題組】01．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度數(shù)．02．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的大?。纠场恳阎鴺?biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（2，－2），B是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)．若⊿AOB是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)B一共有（）個(gè)A．4B．5C．6D．8【解法指導(dǎo)】⊿AOB是等腰三角形，但不能確定哪條邊是等腰三角形的底，因而要分三種情況進(jìn)行說明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∵B是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)．要考慮x軸與y軸兩種情況．解：①如圖1，當(dāng)OA是底邊時(shí)，B在OA的中垂線上，又B在坐標(biāo)軸上，因而B是OA中垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；②如圖2，當(dāng)OA為腰時(shí)，若O為頂點(diǎn)，則B在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，又B在坐標(biāo)軸上，因而B是圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；③如圖3，當(dāng)OA為腰時(shí)，若A為頂點(diǎn)，則B在以A為圓心，OA為半徑的圓上，又B在坐標(biāo)軸上，因而BD.【變式題組】01．(海南競(jìng)賽試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知A（3，－3），點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，則使⊿AOP為等腰三角形的點(diǎn)P共有（）A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)02．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，），點(diǎn)C在坐標(biāo)平面內(nèi)．若以A、B、C為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形，且底角為30度，則滿足條件的點(diǎn)C有_________個(gè)．ABABCDPE第2題圖第2題圖第4題圖第3題圖03.（南昌）如圖，已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上一點(diǎn)，∠BEG＞600，現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點(diǎn)B落在紙片中的點(diǎn)H處，連接AH，則與∠BEG相等的角的個(gè)數(shù)為（）A．4B．3C．2D．1ACBMDE(例4題圖)04．（濟(jì)南）如圖所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，點(diǎn)E是折線段A－D－C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)．在點(diǎn)ACBMDE(例4題圖)A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)【例４】（棗莊）兩個(gè)全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由．【解法指導(dǎo)】判斷⊿MEC為等腰直角三角形，M為直角頂點(diǎn)，即想證∠EMC＝900，而⊿ABD為等腰三角形，M是BD的中點(diǎn)，若連接AM則有∠AMD＝900,因而只需證∠DME＝∠AMC,利用全等三角形即可．解：的形狀是等腰直角三角形，理由如下：連接，由題意得：．．又，．．．．又，．．所以的形狀是等腰直角三角形．【變式題組】01．如圖，在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC的中點(diǎn),以P為直角頂點(diǎn)的兩邊分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合)，⊿PEF也始終是等腰三角形，請(qǐng)你說明理由．02．如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF交AD于G．⑴求證：AD⊥CF;⑵連接AF，試判斷⊿ACF的形狀，并說明理由．03．如圖，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO為中線．現(xiàn)將一直角三角板頂點(diǎn)放在點(diǎn)O上并繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，若三角板的兩直角邊分別交AC、CB的延長線于點(diǎn)G、H．⑴試寫出圖中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的線段；⑵請(qǐng)選一組你寫出的相等線段給予證明．【例５】我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形．⑴請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱；⑵如圖，在中，點(diǎn)分別在上，設(shè)相交于點(diǎn)，若，．請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形；⑶在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論．【解法指導(dǎo)】證明兩條線段相等時(shí)，若兩條線段在同一三角形中，可證明它們所對(duì)的角相等．若兩條線段在不同的三角形中，則證它們所在的兩個(gè)三角形全等，若三角形不全等，即可通過構(gòu)造全等三角形或等腰三角形解決問題．解：⑴如：平行四邊形、等腰梯形等⑵答：與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形；⑶答：此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形DBCE．證法一：如圖1，作CG⊥BE于G點(diǎn)，作BF⊥CD交CD延長線于F點(diǎn)．圖1∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC為公共邊，圖1∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠BEC，可證△BDF≌△CEG，∴BD＝CE∴四邊形DBCE是等邊四邊形．圖2證法二：如圖2，以C為頂點(diǎn)作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F圖2∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC為公共邊，∴△BDC≌△CFB，∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∴∠ADC＝∠CFE，∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠CFE，∴CF＝CE，∴BD＝CE，∴四邊形DBCE是等邊四邊形．【變式題組】01．如圖，在ABC中，∠B＝2∠C，AD為∠BAC的平分線．求證：AC＝AB＋BD.02．(天津初賽試題)如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，若AB＝2，求CD的長．03．如圖，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F(xiàn)在AC延長線上，BD＝CF．求證DE＝EF.【變式題組】01．(重慶)已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A．200B．1200C．200或1200D．360002．（云南）已知等腰三角形的兩邊分別為6和3，則此等腰三角形周長為（）A．9B．15C．15D．12或1503.（云南）如圖，等腰ABC的周長為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則BEC的周長為（）A．13B．14C．15D．1604．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，則∠GEF的度數(shù)是（）A．800B．900C．1000D．108005．如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠ACD＝∠BB.CH＝CE＝EFC.CH＝HDD.AC＝AF06．如圖，ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,那么下列結(jié)論：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF.其中正確的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①07.（武漢）如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OA＝OB＝OC,∠ABC＝∠ADC＝700,則∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．700B．1100C．1400D．150008．（濱州）已知等腰ABC的周長為10，若設(shè)腰長為x，則x的取值范圍是____________.09．如圖所示，在ABC中，已知AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分線，則AD＝___________.10．(威海)如圖，AB＝AC，BD＝BC,若∠A＝400，則∠ABD的度數(shù)是_________.11．(烏魯木齊)在一次數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上畫出圖6，并寫下了四個(gè)等式：①，②，③，④．要求同學(xué)從這四個(gè)等式中選出兩個(gè)作為條件，推出是等腰三角形．請(qǐng)你試著完成王老師提出的要求，并說明理由．（寫出一種即可）已知：BEDABEDAC證明：12．（泰安）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)．⑴請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；⑵證明：．圖圖1圖2DCEAB13.（包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．⑴如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請(qǐng)說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？⑵若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？AAQCDBP14.（臨沂）如圖1，已知中，，，把一塊含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），將直角三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．⑴在圖1中，交于，交于．①證明；②在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板與的重疊部分為四邊形，請(qǐng)說明四邊形的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；⑵繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；圖1圖2圖3⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？請(qǐng)寫出結(jié)論，不用證明．圖1圖2圖3培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01．如圖，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，BE＝BC,PB與CE交于點(diǎn)H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA＝GP;②③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正確的判斷有（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．只有①②③④02．如圖，點(diǎn)A是網(wǎng)格圖形中的一個(gè)網(wǎng)格圖形中的一個(gè)格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，以A為其中的一個(gè)頂點(diǎn)，面積等于的格點(diǎn)等腰直角三角形（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是（）A.10個(gè)B.12個(gè)C.14個(gè)D.16個(gè)03．如圖，在ABC中，AB＝BC,MN＝NA,∠BAM＝∠NAC,則∠MAC＝_________.04．如圖，AA’、BB’分別是∠EAB、∠DBC的平分線，若AA’＝BB’＝AB.則∠BAC的度數(shù)為______________.05．(全國聯(lián)賽)在等腰RtABC中，AC＝BC＝1，M是BC的中點(diǎn)，CE⊥AM于E,交AB于F．則＝_____________06．如圖，在ABC中，AB＝AC,EF為過點(diǎn)A的任意一條直線，CF⊥BC,BE⊥BC.求證：AE＝AF.07．（湖州市競(jìng)賽試題）如圖，在RtABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC,交CD于K，交BC于E，F(xiàn)是BE上一點(diǎn)，且BF＝CE，求證：FK∥AB08.(四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)有一等腰鈍角三角形紙片，若能從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，求等腰三角形紙片的頂角的度數(shù)．09.如圖，在ABC中，∠ABC＝460，D是邊BC上一點(diǎn)，DC＝AB,∠DAB＝210，求∠CAD的度數(shù)．10.（浙江省杭州市中考試題）如圖，在等腰△中，是底邊上的高線，點(diǎn)是線段上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).(1)證明：；(2)證明：；(3)以線段和為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形（點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)），記△和△的面積分別為和，如果存在點(diǎn)，能使得,求∠的取值范圍.11．如圖，已知在△中，AB＝AC，∠BAC＝900，AD＝AE,AF⊥BE交BC于F，過F作FG⊥CD交BE的延長線于G．求證：BG＝AF＋FG第五講等邊三角形考點(diǎn)方法破譯1．等邊三角形及其性質(zhì)：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是頂角平分線或底邊上的高、中線所在直線；2．等邊三角形的判定：三邊都相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；3．在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，反之也成立．經(jīng)典考題賞析【例1】如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，A、C、B三點(diǎn)在一條直線上．AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N．(1)求證：△ACE≌△DCB;(2)求∠AFD的度數(shù)；(3)判斷△CMN的形狀【解法指導(dǎo)】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用全等三角形中邊角的關(guān)系可解決問題．解：(1)∵等邊三角形DAC與等邊三角形EBC∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°∴∠ACE＝∠DCB∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB(2)∵∠ACE≌∠DCB,∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD∴∠AFD＝∠ACD＝60°(3)在△ACM和△DCN中,∴△ACM≌△DCN∴CM＝CN又∵∠DCN＝60°∴△CMN是等邊三角形．【變式題組】01．(天津)如圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，則∠BAC的大小等于__________度02．(荊州)如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由．03．如圖，在正△ABC中，D,E分別是BC、AC上的一點(diǎn)，且AE＝CD．AD與BE相交于點(diǎn)P，且BQ⊥AD于Q．求證BP＝2PQ04．(黃岡)如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q是BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連接PQ交AC于D，求DE的長．【例2】P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度數(shù)【解法指導(dǎo)】由于∠PAB＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根據(jù)角平分線的特點(diǎn)可構(gòu)造全等三角形，其方法一：在AB邊上截取；方法二：延長AC邊，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考慮∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延長AC到D，使AD＝AB，連接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB＝22°∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP∴∠APB＝∠APD＝150°，BP＝DP,∠PBA＝∠APD＝8°∴∠BPD＝60°,∴△BPD是正三角形∵∠PBC＝30°∴∠PBC＝∠DBC在△PBC和△DBC中，∴△PBC≌△DBC,∴PC＝CD∴∠CPD＝∠CDP＝8°∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°【變式題組】01．如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為ABC外部一點(diǎn)，滿足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度數(shù)．02．如圖．D是△ABC外一點(diǎn)．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度數(shù)．【例3】如圖(1)，△ABC等邊三角形，△BDC是頂角120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作60°的角，它的兩邊分別與AB、AC交于點(diǎn)M和N，連接MN．(1)探究：MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明;(2)若點(diǎn)M、N分別在射線AB、CA上，其他條件不變，再探究線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖(2)中畫出相應(yīng)的圖形．并就結(jié)論說明理由【解法指導(dǎo)】對(duì)于(1)，這時(shí)在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°為了把BM，MN，NC集中到一個(gè)三角形中去，將△DMB繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DGC．如圖(3)．從而有MB＝GC．而此時(shí)恰又有△MND≌△GND·得MN＝NG＝NC＋CG＝NC＋BM．對(duì)于(2)，此時(shí)的圖形(4)，仍作(1)中的旋轉(zhuǎn)，類似地可以推得MN＝CN一BM解(1)關(guān)系為MN＝BM＋NC證明：延長AC到G，使CG＝BM，連接DG，如圖(3)∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°在△DMB和△DGC中；DB＝DC．BM＝CG∴△DMB≌△DGC∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°∴△MND≌△GND∴MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC(2)此時(shí)．圖形如圖(4)，有關(guān)系式MN＝CN—BM理由如下：在CN上截取GG＝BM．連接DG，如圖(4)與(1)中情況類似．可推得∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC仍與(1)中情況婁似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．【變式題組】01．用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成四邊形ABCD，把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)四邊形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合．兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).(1)當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，(如圖1)，通過觀察或測(cè)量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD的延長線相交于點(diǎn)F時(shí)(如圖2)，你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎，簡(jiǎn)要說明理由．02．如圖．四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°求證：AC＝BC＋DC．鞏固練習(xí)反饋提高01．如圖．△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，點(diǎn)E在AC上，且AE＝AD，則∠DEC＝()A105°B85°C95°D75°第1題圖第2題圖02．如圖，等邊△ABC，D在AC上，延長BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，給出下列結(jié)論：①BD平分∠ABC②AD＝AB③CE＝BC④∠A＝2∠E，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．4個(gè)B3個(gè)C2個(gè)D1個(gè)03．(河北)如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，將△ABC沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在A’處，且A’在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為_______cm第3第3題圖第4題圖第5題圖04．在等邊△ABC中，AC＝9，點(diǎn)O在AC上，且AO＝3，點(diǎn)P