重慶市三峽名校聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期12月月考試題數(shù)學

三峽名校聯(lián)盟2023年秋季聯(lián)考高2025屆數(shù)學試卷命題人：云陽中學：張偉林審題人：云陽中學：賈少軍數(shù)學測試卷共4頁，滿分150分、考試時間120分鐘．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（）A．B．C．D．不存在2．已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量是（）A．B．C．D．3．若雙曲線的焦點與橢圓的長軸端點重合，則的值為（）A．2B．4C．D．4．在三棱錐中，若為正三角形，且為其中心，等于（）A．B．C．D．5．希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作《數(shù)學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明，他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線：當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的圓錐曲線為（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．以上都不對6．已知圓與橢圓為橢圓的右頂點，由點作圓的兩條切線其夾角為，則橢圓的離心率的是（）A．B．C．D．7．已知點為圓上動點，且，則的最大值為（）A．0B．C．D．8．與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個三角形有三個旁心，如圖1所示，已知是雙曲線的左右焦點，是雙曲線右支上一點，是的一個旁心，如圖2所示，直線與軸交于點，若則該雙曲線的漸近線方程為（）圖1圖2A．B．C．D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知向量，則下列結論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．不存在實數(shù)，使得D．若，則10．已知圓與直線，下列選項正確的是（）A．圓的圓心坐標為B．直線過定點C．直線與圓相交目所截最短弦長為D．直線與圓可以相離11．如圖所示幾何體，是由正方形沿直線旋轉得到，是圓弧的中點，是圓弧上的動點（含端點），則（）A．存在點，使得B．存在點，使得C．存在點，使得平面D．存在點，使得平面12．拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點．一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點，則（）A．當時，延長交直線于點，則三點共線B．當時，若平分，則C．的大小為定值D．設該拋物線的準線與軸交于點則，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．拋物線的焦點到準線的距離為________．14．已知橢圓的左焦點為是上關于原點對稱的兩點，且則的周長為________．15．長方體中，為的中點則直線與所成角的余弦值為________．16．設是半徑為8的球體0表面上兩定點，且球體0表面上動點滿足則動點的軌跡為________（在直線，圓，橢圓，雙曲線，拋物線選擇）則點的軌跡長度為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標系中，設點的軌跡為曲線．點到的距離比到軸的距離大1．（1）求曲線的方程．（2）是曲線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，求．18．如圖，在正方體中，分別是的中點．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離．19．一個火山口的周圍是無人區(qū)，無人區(qū)分布在以火山口中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，一輛運輸車位于火山口的正東方向處準備出發(fā)，若運輸車沿北偏西方向以每小時的速度做勻速直線運動：（1）運輸車將在無人區(qū)經(jīng)歷多少小時？（2）若運輸車仍位于火山口的正東方向，且按原來的速度和方向前進，為使該運輸車成功避開無人區(qū)，求至少應離火山口多遠出發(fā)才安全？20．已知雙曲線的離心率為，且過．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點，是的右頂點，且直線與的斜率之積為，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．21．如圖甲，在矩形中，為線段的中點，沿直線折起，使得點為的中點，連接，如圖乙．（1）求證：；（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若不存在，說明理由；若存在，求出的長度．22．已知橢圓過點為橢圓的左右頂點，為橢圓上不同于的動點，直線的斜率為滿足（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的左焦點，過右焦點的直線交橢圓于兩點，記的內(nèi)切圓半徑為，求的取值范圍．

三峽名校聯(lián)盟2023年秋季聯(lián)考高2025屆數(shù)學參考答案一?單項選擇題1．B2．A3．A4．D5．C6．C7．B8．A8題詳解：雙曲線中，所以，則，由三角形得旁心的定義可知分別平分，在中，，在中，，因為，所以，所以，同理可得，所以，而，故．漸近線方程為：故選：A二、多項選擇題9．AC10．AC11．BC12．ABD12．【詳解】如圖所示：，由平行于x軸的，且過點，所以，把代入拋物線的方程，解得，即，由題知，直線經(jīng)過焦點，直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以，對于A選項：因為，所以，即點縱坐標為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點坐標為，由光學性質可知平行于x軸，則三點縱坐標都相同，所以三點共線，故選項B正確對于B選項：由光學性質可知平行于x軸，平行于x軸，則，有，平分，有，所以，即，得，故選項D正確．故選：BCD．C．，但的大小不是定值，設，而，則，則，而，并不是定值D．由消去x得：，設，則有，對于A，直線斜率，直線斜率，即，因此三、填空題13．114．1415．16．圓16題詳解：以所在的平面建立直角坐標系，為軸，的垂直平分線為軸，，則，設則點P的軌跡滿足，故軌跡是以為圓心，半徑3的圓，圓O的方程轉化到空間中：當繞為軸旋轉一周時，不變，依然滿足，故空間中的軌跡為以D為球心，半徑為3的球，同時在球上，故在兩球的交線上，為圓．球心距為，在中，等面積法得邊上的高為對應圓的半徑為，周長為．三、解答題17．（1）設動圓的圓心為，則，由圓與軸相切可得，即整理可得．（還可以直接用拋物線定義求解）（2）由拋物線方程得：，準線方程為：為中點，點在軸上，點的橫坐標為，由拋物線定義知：．18．（1）設直線與平面所成角為，平面的法向量為，則得取，則，得平面的一個法向量為，向量則（2）由（1）知，平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為19．解（1）以火山口的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向，建立平面直角坐標系，如圖所示，記運輸車從出發(fā)，點處開始進入無人區(qū)，到處離開無人區(qū)，則圓方程為，由運輸車沿北偏西方向運動，可得直線的斜率，則，即，因為到的距離為，則，所以經(jīng)歷時長為小時（2）設運輸車至少應離火山口出發(fā)才安全，此時運輸車的行駛直線剛好與圓相切，且直線方程為，即，則到直線的距離，解得，即運輸車至少應離火山口出發(fā)才安全．20．解（1）根據(jù)題意可得，解得，所以雙曲線的方程為．（2）設，聯(lián)立，得，，，又所以，所以，所以直線的方程為，恒過定點．21．解（1）取線段的中點，連接，在中，，，在中，，由余弦定理可得：，，在中，，；（2）因為平面，所以平面，