2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊(cè) 1-6解三角形1-6-1余弦定理 學(xué)案

1.6.1余弦定理教材要點(diǎn)要點(diǎn)一解三角形從已知三角形的某些元素出發(fā)求這個(gè)三角形其他元素的過程叫作解三角形．要點(diǎn)二余弦定理文字語(yǔ)言三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍符號(hào)語(yǔ)言a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________．推論cosA＝________________，cosB＝________________，cosC＝________________．狀元隨筆對(duì)余弦定理的理解(1)余弦定理對(duì)任意的三角形都成立．(2)在余弦定理中，每一個(gè)等式都包含四個(gè)量，因此已知其中三個(gè)量，利用方程思想可以求得未知的量．(3)余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．()(2)余弦定理只適用于銳角三角形．()(3)已知三角形的三邊求三個(gè)內(nèi)角時(shí)，解是唯一的．()(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形．()2．在△ABC中，已知b＝8，c＝3，∠A＝60°，則a＝()A．73B．49C．73D．73．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cosB等于()A．14B．C．24D．4．在△ABC中，已知a＝23，b＝3，∠C＝30°，則c＝________．題型1已知兩邊及一角解三角形例1(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，則BC的長(zhǎng)為()A．19B．13C．3D．7(2)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c＝2，b＝6，∠B＝120°，則邊a等于()A．6B．3C．2D．2方法歸納(1)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的方法用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運(yùn)用解方程的方法求出此邊長(zhǎng)．(2)已知兩邊及其夾角解三角形的方法首先用余弦定理求出第三邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝14，則c＝________；sinA(2)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝________．題型2已知三角形三邊及關(guān)系解三角形例2(1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，則△ABC的最小角為()A．π3B．π6C．π(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求此三角形的最大邊長(zhǎng)．方法歸納(1)余弦定理及其推論在結(jié)構(gòu)上有所不同，因此在應(yīng)用它們解三角形時(shí)要根據(jù)條件靈活選擇；(2)由于余弦函數(shù)在區(qū)間(0，π)內(nèi)是單調(diào)的，因此由余弦定理的推論可知，由任意一個(gè)內(nèi)角的余弦值確定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形內(nèi)角時(shí)不必進(jìn)行分類討論．跟蹤訓(xùn)練2(1)在△ABC中，若a2＋c2＝b2－3ac，則∠B＝()A．π6B．π3C．2(2)△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，則其最大內(nèi)角等于________．題型3判斷三角形的形狀例3在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sinA＝2sinBcosC．試判斷△ABC的形狀．方法歸納利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，需要從“統(tǒng)一”入手，即用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，一般有兩個(gè)思路：(1)化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三個(gè)角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，則要考慮用余弦定理．跟蹤訓(xùn)練3在△ABC中，若滿足acosA＝bcosB，則△ABC一定為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形易錯(cuò)辨析忽略構(gòu)成三角形的條件出錯(cuò)例4已知2a＋1，a，2a－1是鈍角三角形的三邊，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三邊∴2a+1解得a>12要使2a＋1，a，2a－1構(gòu)成三角形，需滿足2a+1+a解得a>2.由題知2a＋1是三角形的最大邊，設(shè)其對(duì)應(yīng)的角為θ(鈍角)，則cosθ＝a2∴a2＋(2a－1)2－(2a＋1)2<0，即a2－8a<0，解得0<a<8.又a>2，∴a的取值范圍為(2，8)．答案：(2，8)易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得a>12只能保證2a＋1，a，2a由于余弦定理的變形較多，且涉及平方和開方等運(yùn)算，易因不細(xì)心而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在利用余弦定理求三角形的三邊時(shí)，除了要保證三邊長(zhǎng)均為正數(shù)，還要判斷一下三邊能否構(gòu)成三角形．課堂十分鐘1．在△ABC中，已知∠B＝120°，a＝3，c＝5，則b等于()A．43B．7C．7D．52．在△ABC中，a＝23，b＝22，c＝6+2，則A．30°B．60°C．120°D．150°3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若∠B＝60°，b2＝ac，則△ABC一定是()A．銳角三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形4．在△ABC中，a2＝2bc，b＝2c，cosA＝________．5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA＝14.若a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b，c1．6.1余弦定理新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)二b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos60°＝82＋32－2×8×3×12＝49.∴a答案：D3．解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cosB＝a2+c2-答案：B4．解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋9－2×23×3×32∴c＝3.答案：3題型探究·課堂解透例1解析：(1)由題意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋9－6＝7，則BC＝7，故選D.(2)根據(jù)余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accosB，∴6＝a2＋2－22a×-12，∴a＝答案：(1)D(2)C跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)根據(jù)余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×14＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝b2+c2-a22bc(2)根據(jù)余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC所以13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1(負(fù)值舍去)．答案：(1)2158例2解析：(1)因?yàn)閏<b<a，所以最小角為角C.所以cosC＝a2+b2-所以∠C＝π6(2)已知a－b＝4，則a>b，且a＝b＋4.又a＋c＝2b，則b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，則b>c，從而a>b>c.因此a為最大邊，∠A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大邊長(zhǎng)為14.答案：(1)B(2)見解析跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)因?yàn)閍2＋c2＝b2－3ac，所以a2＋c2－b2＝－3ac，所以cosB＝a2+c2-b2所以B＝5π(2)由于c最大，故C最大，cosC＝32+5由于0<C<π，所以C＝2π答案：(1)D(2)2例3解析：因?yàn)?a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝12.又因?yàn)?°<A<180°，所以A因?yàn)閟inA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，且sinA＝2sinBcosC，所以sinBcosC＝cosBsinC，則sin(B－C)＝0.因?yàn)椋?80°<B－C<180°，所以B－C＝0°，即B＝C.又因?yàn)锳＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，故△ABC為等邊三角形．跟蹤訓(xùn)練3解析：因?yàn)閍cosA＝bcosB，所以由余弦定理得a·b2+c2所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)a2b2＋a2c2－a4＝b2a2＋b2c2－b4(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．答案：D[課堂十分鐘]1．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋25－2×3×5cos120°＝49∴b＝7.答案：C2．解析：由余弦定理得cosA＝b2+c2∴∠A＝60°.答案：B3．解析：∵△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，∴cosB＝a2+c2-b22ac＝12，∴a2＋