2024屆湖南省衡陽市衡陽縣六中數(shù)學高二第二學期期末預測試題含解析

2024屆湖南省衡陽市衡陽縣六中數(shù)學高二第二學期期末預測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調遞減，則（）A．B．C．D．2．拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是A． B． C． D．3．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．4．玲玲到保山旅游，打電話給大學同學姍姍，忘記了電話號碼的后兩位，只記得最后一位是6，8，9中的一個數(shù)字，則玲玲輸入一次號碼能夠成功撥對的概率是()A．13 B．110 C．15．在復平面內，復數(shù)對應的點分別為.若為線段的中點，則點對應的復數(shù)是()A． B． C． D．6．若圓錐的高為，底面半徑為，則此圓錐的表面積為（）A． B． C． D．7．根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農業(yè)經濟部門決定派出五位相關專家對三個貧困地區(qū)進行調研，每個地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為A．18 B．24 C．28 D．368．已知函數(shù)，若方程有三個實數(shù)根，且，則的取值范圍為（）A． B．C． D．9．在中，，，，則等于（）A． B． C． D．10．已知,為的導函數(shù)，則的圖象是（）A． B．C． D．11．某面粉供應商所供應的某種袋裝面粉質量服從正態(tài)分布（單位：）現(xiàn)抽取500袋樣本，X表示抽取的面粉質量在的袋數(shù)，則X的數(shù)學期望約為（）附：若，則，A．171 B．239 C．341 D．47712．如圖，在三棱錐中，面，是上兩個三等分點，記二面角的平面角為，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有3個興趣小組，甲?乙兩位同學各參加其中一個小組，且他們參加各個興趣小組是等可能的，則甲?乙兩位同學參加同一個興趣小組的概率為_______．14．若的展開式的第項的二項式系數(shù)為，則其展開式中的常數(shù)項為________.15．東漢·王充《論衡·宜漢篇》：“且孔子所謂一世，三十年也.”，清代·段玉裁《說文解字注》：“三十年為一世.按父子相繼曰世”.“一世”又叫“一代”，到了唐朝，為了避李世民的諱，“一世”方改為“一代”，當代中國學者測算“一代”平均為25年.另據(jù)美國麥肯錫公司的研究報告顯示，全球家庭企業(yè)的平均壽命其實只有24年，其中只有約的家族企業(yè)可以傳到第二代，能夠傳到第三代的家族企業(yè)數(shù)量為總量的，只有的家族企業(yè)在第三代后還能夠繼續(xù)為股東創(chuàng)造價值.根據(jù)上述材料，可以推斷美國學者認為“一代”應為__________年．16．若x,y滿足約束條件x+y-3≥0x-2y≤0，則函數(shù)z=x+2y的最小值為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線，直線（t為參數(shù)）.（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線的普通方程；（2）過曲線C上任意一點作與直線夾角為30°的直線，交于點A，求的最大值與最小值.18．（12分）質檢部門對某工廠甲、乙兩個車間生產的12個零件質量進行檢測．甲、乙兩個車間的零件質量（單位：克）分布的莖葉圖如圖所示．零件質量不超過20克的為合格．（1）質檢部門從甲車間8個零件中隨機抽取4件進行檢測，若至少2件合格，檢測即可通過，若至少3件合格，檢測即為良好，求甲車間在這次檢測通過的條件下，獲得檢測良好的概率；（2）若從甲、乙兩車間12個零件中隨機抽取2個零件，用X表示乙車間的零件個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．19．（12分）已知，函數(shù).（1）若，求的值；（2）若，求的單調遞增區(qū)間.20．（12分）我校食堂管理人員為了解學生在校月消費情況，隨機抽取了100名學生進行調查.如圖是根據(jù)調査的結果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖.已知，，金額段的學生人數(shù)成等差數(shù)列，將月消費金額不低于550元的學生稱為“高消費群”.（1）求m，n值，并求這100名學生月消費金額的樣本平均數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為“高消費群”與性別有關？高消費群非高消費群合計男女1050合計附：，其中0.100.050.0100.005K02.7063.8416.6357.87921．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，求證：.（為自然對數(shù)的底數(shù)）22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅱ）當時，在定義域內恒成立，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉化為同一個單調區(qū)間上，再比較大小．【題目詳解】是R的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調遞減，∴，，故選C．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性，解題關鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．2、B【解題分析】

由拋物線方程化標準方程為，再由焦半徑公式，可求得。【題目詳解】拋物線為，由焦半徑公式，得。選B.【題目點撥】拋物線焦半徑公式：拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。3、C【解題分析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點晴】（1）對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．（2）當兩個原理混合使用時，一般是先分類，在每類方法里再分步．4、D【解題分析】

由分步計數(shù)原理和古典概型求得概率．【題目詳解】由題意可知，最后一位有3種可能，倒數(shù)第2位有10種可能，根據(jù)分步計數(shù)原理總共情況為N=3×10=30，滿足情況只有一種，概率為P=1【題目點撥】利用排列組合計數(shù)時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏.在本題中，只有兩個號碼都拔完這種事情才完成，所以是分步計數(shù)原理．5、C【解題分析】

求出復數(shù)對應點的坐標后可求的坐標.【題目詳解】兩個復數(shù)對應的點坐標分別為，則其中點的坐標為，故其對應點復數(shù)為，故選：C.【題目點撥】本題考查復數(shù)的幾何意義，注意復數(shù)對應的點是由其實部和虛部確定的，本題為基礎題.6、B【解題分析】

根據(jù)圓錐的高和底面半徑求出母線長，分別求出圓錐側面積和底面積，加和得到結果.【題目詳解】由題意可得圓錐的母線長為：圓錐側面積為：；底面積為：圓錐表面積為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查圓錐表面積的求解，關鍵是熟練掌握圓錐側面積公式，屬于基礎題.7、D【解題分析】分析：按甲乙兩人所派地區(qū)的人數(shù)分類，再對其他人派遣。詳解：類型1：設甲、乙兩位專家需要派遣的地區(qū)有甲乙兩人則有，另外3人派往2個地區(qū)，共有18種。類型2：設甲、乙兩位專家需要派遣的地區(qū)有甲乙丙三人則有，另外2人派往2個地區(qū)，共有18種。綜上一共有36種，故選D點睛：有限制條件的分派問題，從有限制條件的入手，一般采用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，先分類后分步。8、B【解題分析】

先將方程有三個實數(shù)根，轉化為與的圖象交點問題，得到的范圍，再用表示，令，利用導數(shù)法求的取值范圍即可.【題目詳解】已知函數(shù)，其圖象如圖所示：因為方程有三個實數(shù)根，所以，令，得，令，所以，所以，令，所以，令，得，當時，，當時，，所以當時，取得極小值.又，所以的取值范圍是：.即的取值范圍為.故選：B【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與方程，導數(shù)與函數(shù)的單調性、極值最值，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于難題.9、D【解題分析】

根據(jù)正弦定理，將題中的數(shù)據(jù)代入，解之即可得到的大小.【題目詳解】由正弦定理,得解之可得.故選:D.【題目點撥】本題主要考查解三角形中的正弦定理，已知兩角和一邊求另一邊，通常用正弦定理求解.10、A【解題分析】

先求得函數(shù)的導函數(shù)，再對導函數(shù)求導，然后利用特殊點對選項進行排除，由此得出正確選項.【題目詳解】依題意，令，則.由于，故排除C選項.由于，故在處導數(shù)大于零，故排除B,D選項.故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查導數(shù)的運算，考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎題.11、B【解題分析】

先根據(jù)正態(tài)分布求得質量在的袋數(shù)的概率，再根據(jù)代數(shù)服從二項分布可得.【題目詳解】，且，，，，而面粉質量在的袋數(shù)服從二項分布，即，則.故選：B【題目點撥】本題考查了二項分布，解題的關鍵是求出質量在的袋數(shù)的概率，屬于基礎題.12、B【解題分析】

將三棱錐放入長方體中，設，，，計算，，則，得到答案.【題目詳解】將三棱錐放入長方體中，設，，，如圖所示：過作平面與，與，連接，則為二面角的平面角，設為，則，，故.同理可得：設二面角的平面角為，.，當，即時等號成立.故選：.【題目點撥】本題考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查學生的計算能力，空間想象能力和綜合應用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由題意可知：.考點：隨機事件的概率.14、【解題分析】

根據(jù)第項的二項式系數(shù)可知，求出，進而得到展開式的通項公式；令的冪指數(shù)為零可知；代入通項公式可求得常數(shù)項.【題目詳解】由二項式定理可知，第項的二項式系數(shù)：，解得：展開式通項公式為：令，解得：常數(shù)項為：本題正確結果：【題目點撥】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)的問題，關鍵是能夠明確二項式系數(shù)的定義、二項展開式的通項公式的形式.15、20【解題分析】

設美國學者認為的一代為年，然后可得出壽命在、、、的家族企業(yè)的頻率分別為、、、，然后利用平均數(shù)公式列方程解出的值，即可得出所求結果．【題目詳解】設美國學者認為的一代為年，然后可得出壽命在、、、的家族企業(yè)的頻率分別為、、、，則家族企業(yè)的平均壽命為，解得，因此，美國學者認為“一代”應為年，故答案為.【題目點撥】本題考查平均數(shù)公式的應用，解題的關鍵要審清題意，將題中一些關鍵信息和數(shù)據(jù)收集起來，結合相應的條件或公式列等式或代數(shù)式進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題．16、5.【解題分析】分析：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，結合圖象，得到目標函數(shù)經過點B時，目標函數(shù)取得最小值，即可求解．詳解：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)z=x+2y，則y=-1由圖象可知當取可行域內點B時，目標函數(shù)取得最小值，由x+y-3=0x-2y=0，解得B(1,2)此時函數(shù)的最小值為z=1+2×2=5．點睛：本題主要考查簡單線性規(guī)劃．解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數(shù)賦予幾何意義；求目標函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義．常見的目標函數(shù)有：（1）截距型：形如z=ax+by.求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)z=ax+by轉化為直線的斜截式：y=-abx+zb，通過求直線的截距zb的最值間接求出z的最值；（2）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（為參數(shù)），；（2）最小值為，最大值為.【解題分析】

（1）令，進而可求出曲線的參數(shù)方程；消去參數(shù)，整理即可.（2）根據(jù)題意可知是點P到直線的距離的兩倍，利用點到直線的距離公式以及輔助角公式，借助三角函數(shù)的性質即可求解.【題目詳解】（1）曲線（為參數(shù)），直線.（2）易知是點P到直線的距離的兩倍，所以：，最小值為，最大值為.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的相互轉化、點到直線的距離公式、輔助角公式以三角函數(shù)的最值，屬于基礎題.18、（1）（2）見解析【解題分析】分析：（1）設事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“檢測通過”；事件表示“檢測良好”.通過，P（E）=P（B）+P（C），．求解概率即可．

（2）由題意知，的所有可能取值為0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．詳解：（1）設事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“檢測通過”；事件表示“檢測良好”.∴∴.故所求概率為.（2）可能取值為分布列為所以，.點睛：本題考查條件概率的應用，離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）由得，解出即可（2）用三角函數(shù)的和差公式和二倍角公式將化為，然后求出即可【題目詳解】（1）又，.（2），，，的單調遞增區(qū)間為【題目點撥】解決三角函數(shù)性質的有關問題時應先將函數(shù)化為基本型.20、（1），（2）沒有90%的把握【解題分析】分析：（1）由題意知且，得，用每個矩形的中點值乘以面積求和可得平均值；（2）由題知數(shù)據(jù)完善2×2列聯(lián)表，計算，查表下結論即可.詳解：（1）由題意知且解得所求平均數(shù)為：(元)（2）根據(jù)頻率分布直方圖得到如下2×2列聯(lián)表：高消費群非高消費群合計男153550女104050合計2575100根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得所以沒有90%的把握認為“高消費群”與性別有關．點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查獨立性檢驗，意在考查學生對統(tǒng)計概率的基礎知識的掌握情況.（2）頻率分布直方圖中，一般利用平均數(shù)的公式計算.其中代表第個矩形的橫邊的中點對應的數(shù)，代表第個矩形的面積.21、（1）當時，只有增區(qū)間為，當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解題分析】分析：⑴求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間⑵問題等價于，令，根據(jù)函數(shù)的單調性即可判斷出結果詳解：（1），當時，，函數(shù)在單