湖南省寧鄉(xiāng)縣一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

湖南省寧鄉(xiāng)縣一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．隨機變量，且，則（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.802．若函數(shù)在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A．≥3 B．=3 C．≤3 D．0<<33．把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面⊥平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()A． B．C． D．4．在的展開式中的系數(shù)是（）A．40 B．80 C．20 D．105．用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個零點”時，要做的假設(shè)是（）A．在上沒有零點 B．在上至少有一個零點C．在上恰好有兩個零點 D．在上至少有兩個零點6．一個袋中裝有大小相同的個白球和個紅球，現(xiàn)在不放回的取次球，每次取出一個球，記“第次拿出的是白球”為事件，“第次拿出的是白球”為事件，則事件與同時發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．7．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則A． B． C． D．8．等于()A． B．2 C．-2 D．+29．若曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)，，.在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點分別為，，若，其中是坐標(biāo)原點，則函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．11．6名同學(xué)安排到3個社區(qū)，，參加志愿者服務(wù)，每個社區(qū)安排兩名同學(xué)，其中甲同學(xué)必須到社區(qū)，乙和丙同學(xué)均不能到社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．5 B．6 C．9 D．1212．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某天有10名工人生產(chǎn)同一零部件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a、b、c從小到大的關(guān)系依次是________14．已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，若，則的______.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）15．已知實數(shù)，滿足不等式組且的最大值為，則=_____．16．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，（其中，且），（1）若，求實數(shù)的值；（2）能否從（1）的結(jié)論中獲得啟示，猜想出一個一般性的結(jié)論并證明你的猜想．18．（12分）2016年底某購物網(wǎng)站為了解會員對售后服務(wù)(包括退貨、換貨、維修等)的滿意度，從2016年下半年的會員中隨機調(diào)查了個會員，得到會員對售后服務(wù)的滿意度評分如下：958875829094986592100859095778770899390848283977391根據(jù)會員滿意度評分,將會員的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于分分到分不低于分滿意度等級不滿意比較滿意非常滿意（1）根據(jù)這個會員的評分，估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率；（2）以(1)中的頻率作為概率，假設(shè)每個會員的評價結(jié)果相互獨立.（i）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員,求恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意的概率；（ii）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員，記評分非常滿意的會員的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.21．（12分）已知二次函數(shù),且,是否存在常數(shù),使得不等式對一切實數(shù)恒成立?并求出的值.22．（10分）為降低養(yǎng)殖戶養(yǎng)鴨風(fēng)險，某保險公司推出了鴨意外死亡保險，該保單合同規(guī)定每只幼鴨投保2元，若生長期內(nèi)鴨意外死亡，則公司每只鴨賠付12元.假設(shè)鴨在生長期內(nèi)的意外死亡率為0.15，且每只鴨是否死亡相互獨立.若某養(yǎng)殖戶養(yǎng)鴨3000只，都投保該險種.（1）求該保單保險公司賠付金額等于保費時，鴨死亡的只數(shù)；（2）求該保單保險公司平均獲利多少元.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：由及可得．詳解：∵，∴．故選B．點睛：本題考查正態(tài)分布，若隨機變量中，則正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，因此有，（）．2、A【解題分析】

由題可得：在恒成立.整理得：在恒成立.求得：，即可得：，問題得解．【題目詳解】由題可得：在恒成立.即：在恒成立．又，所以.所以故選A【題目點撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，還考查了恒成立問題解決方法，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】取BD的中點E，連結(jié)CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱錐的側(cè)視圖，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面積S=××=，故選C.4、A【解題分析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數(shù).【題目詳解】解：由的展開式中，，令，可得，可得的展開式中的系數(shù)是：，故選：A.【題目點撥】本題主要考查二項式展開式及二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解題分析】分析：利用反證法證明，假設(shè)一定是原命題的完全否定，從而可得結(jié)果.詳解：因為“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，所以用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調(diào)，則在上至多有一個零點”時，要做的假設(shè)是在上至少有兩個零點，故選D.點睛：反證法的適用范圍是，（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少．6、D【解題分析】

將事件表示出來，再利用排列組合思想與古典概型的概率公式可計算出事件的概率．【題目詳解】事件：兩次拿出的都是白球，則，故選D.【題目點撥】本題考查古典概型的概率計算，解題時先弄清楚各事件的基本關(guān)系，然后利用相關(guān)公式計算所求事件的概率，考查計算能力，屬于中等題．7、D【解題分析】

利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值.【題目詳解】由題得，故答案為：D【題目點撥】(1)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)奇函數(shù)f(-x)=-f(x).8、D【解題分析】∵.故選D9、A【解題分析】分析：設(shè)公共點，求導(dǎo)數(shù)，利用曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，建立方程組，即可求出a的值.詳解：設(shè)公共點，，，曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，，解得.故選：A.點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查學(xué)生的計算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.10、B【解題分析】

根據(jù)向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)運算和三角函數(shù)的最值求解.【題目詳解】據(jù)條件，，，且，所以，，化簡得，，當(dāng)時，取得最大值為.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】分析：該題可以分為兩類進(jìn)行研究，一類是乙和丙之一在A社區(qū)，另一在B社區(qū)，另一類是乙和丙在B社區(qū)，計算出每一類的數(shù)據(jù)，然后求解即可.詳解：由題意將問題分為兩類求解：第一類，若乙與丙之一在甲社區(qū)，則安排種數(shù)為種；第二類，若乙與丙在B社區(qū)，則A社區(qū)還缺少一人，從剩下三人中選一人，另兩人去C社區(qū)，故安排方法種數(shù)為種；故不同的安排種數(shù)是種，故選C.點睛：該題考查的是有關(guān)分類加法計數(shù)原理，在解題的過程中，對問題進(jìn)行正確的分類是解題的關(guān)鍵，并且需要將每一類對應(yīng)的數(shù)據(jù)正確算出.12、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】z=，故選：C.【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

分析：將數(shù)據(jù)由小到大排列好，根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的概念得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可.詳解：根據(jù)提干得到中位數(shù)為b=15，眾數(shù)為c=17，平均數(shù)為=a.故.故答案為.點睛：這個題目考查了中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的概念和計算，較為基礎(chǔ),眾數(shù)即出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)即最中間的數(shù)據(jù)，平均數(shù)即將所有數(shù)據(jù)加到一起，除以數(shù)據(jù)個數(shù).14、【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式得到答案.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)單調(diào)遞增.故答案為【題目點撥】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.15、【解題分析】作出可行域，目標(biāo)函數(shù)可變?yōu)椋?，作出，由平移可知直線過時取最大值，則．則．故本題應(yīng)填．16、2【解題分析】

根據(jù)直接求解即可.【題目詳解】本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)模的求解，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）猜想：；證明見解析【解題分析】

（1）分別代入并化簡，可得，即可求出答案；（2）猜想：；分別代入表達(dá)式，化簡并整理即可證明.【題目詳解】解：（1）.因為函數(shù)與具有相同的單調(diào)性，且都是單調(diào)函數(shù)，所以是單調(diào)函數(shù)..（2）由，猜想：.證明:.所以.【題目點撥】本題考查了歸納推理，考查了學(xué)生的推理能力，屬于中檔題.18、(1)可估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率分別為和.(2)（i）；（ii）分布列見解析，0.6.【解題分析】試題分析：（1）由給出的個數(shù)據(jù)可得，非常滿意的個數(shù)為，不滿意的個數(shù)為，比較滿意的個數(shù)為，由此可估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率；（2）記“恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意”為事件，則.（ii）的可能取值為，由題意，隨機變量由此能求出的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差.試題解析：（1）由給出的個數(shù)據(jù)可得，非常滿意的個數(shù)為，不滿意的個數(shù)為，比較滿意的個數(shù)為，，可估算該購物網(wǎng)店會員對售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率分別為和，（2）（i）記“恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意”為事件，則.（ii）的可能取值為，，，，，則的分布列為由題可知.19、（1）；（2）不存在.【解題分析】

（1）由已知，利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求，利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為，由不等式的傳遞性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值為，而，故不存在．【題目詳解】（1）由，得，且當(dāng)時取等號．故，且當(dāng)時取等號．所以的最小值為；（2）由（1）知，．由于，從而不存在，使得成立．【考點定位】基本不等式．20、（1）的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為（2）【解題分析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，分別求導(dǎo)數(shù)大于零小于零的范圍，得到單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)區(qū)間得到最大值.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時，，或；當(dāng)時，．∴的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為．（2）分析可知的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是，當(dāng)時，；當(dāng)時，．由于，所以當(dāng)時，．【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最大值，意在考查學(xué)生的計算能力.21、【解題分析】

由，令可得，結(jié)合，又利用恒成立可得，從而可得結(jié)果.【題目詳解】存在常數(shù)使恒成立，因為，所以，即，又=0，所以，代人恒成立，得恒成立，得.故，.【題目點撥】本題主要考查二次函數(shù)的解析式以及一元二次不等式恒成立問題，屬于難題.一元二次不等式恒成立問題主要方法：（1）若實數(shù)集上恒成立，考慮判別式小于零即可；（2