四川省眉山市仁壽一中南校區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

四川省眉山市仁壽一中南校區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三梭柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為()A． B． C． D．2．設(shè)，是兩個(gè)不重合的平面，，是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．（2017新課標(biāo)全國I理科）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．84．已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值是()A．-2 B．-1 C．1 D．25．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°6．已知集合，則等于()A． B． C． D．7．函數(shù)的圖像大致為()A． B．C． D．8．隨機(jī)拋擲一枚骰子，則所得骰子點(diǎn)數(shù)的期望為（）A．0.6 B．1 C．3.5 D．29．已知集合,,則（）A． B． C． D．10．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中的記錄的產(chǎn)量與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如圖：根據(jù)下表數(shù)據(jù)可得回歸方程，那么表中的值為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則等于（）A．0 B．2 C．4 D．812．某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在極坐標(biāo)系中，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是____14．橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為___________．15．已知（為常數(shù)），在上有最小值，那么在上的最大值是16．已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，∠ABC=∠BCD=90°，E為PB的中點(diǎn)．（1）證明：CE∥面PAD.（2）若直線CE與底面ABCD所成的角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積．18．（12分）已知.（1）求及；（2）試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.19．（12分）某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品作為樣本來檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表，圖是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖．表甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2103638122（1）將頻率視為概率．若乙套設(shè)備生產(chǎn)了10000件產(chǎn)品，則其中的合格品約有多少件？（2）填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)．甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品不合格品合計(jì)附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知橢圓的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；21．（12分）如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長是是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的大??；22．（10分）已知函數(shù),．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）證明:；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：先還原幾何體，再根據(jù)棱柱各面形狀求面積.詳解：因?yàn)閹缀误w為一個(gè)以俯視圖為底面的三棱柱，底面直角三角形的兩直角邊長為2和，所以棱柱表面積為，選D.點(diǎn)睛：空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．2、D【解題分析】

選項(xiàng)逐一分析，得到正確答案.【題目詳解】A.正確，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；B.正確，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；C.正確，因?yàn)槠矫鎯?nèi)存在直線，使，若，則，則；D.不正確，有可能.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題重點(diǎn)考查了平行和垂直的概念辨析問題，屬于簡單題型.3、C【解題分析】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.點(diǎn)睛:求解等差數(shù)列基本量問題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.4、C【解題分析】作出可行域，如圖內(nèi)部（含兩邊），作直線，向上平移直線，增加，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，是最大值．故選C．5、B【解題分析】

“至少有一個(gè)”的否定變換為“一個(gè)都沒有”，即可求出結(jié)論.【題目詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)是假設(shè)三內(nèi)角都大于.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法的概念，注意邏輯用語的否定，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】分析：求出集合，，即可得到.詳解：故選D.點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)集合的交集運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．8、C【解題分析】

寫出分布列，然后利用期望公式求解即可．【題目詳解】拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)的分布列為123456所以．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】分析：先化簡集合P,Q，再求.詳解：由題得，，所以.故答案為：D.點(diǎn)睛：本題主要考查集合的化簡與交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

計(jì)算出、，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程可求出的值.【題目詳解】由題意得，，由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，所以，，解得，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線方程的應(yīng)用，解題時(shí)要熟悉回歸直線過樣本中心點(diǎn)這一結(jié)論的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，則由奇函數(shù)的性質(zhì)，又因?yàn)?，，即，，故，即，?yīng)選答案C．12、B【解題分析】

根據(jù)分布列的概率之和是，得到關(guān)于和之間的一個(gè)關(guān)系式，由變量的期望值，得到另一個(gè)關(guān)于和之間的一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程，解得的值.【題目詳解】由題意可知：，解得.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查期望和分布列的簡單應(yīng)用，通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，在學(xué)生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】試題分析：圓的直角坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為，圓心到直線的距離，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.考點(diǎn)：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)、距離公式.14、【解題分析】

利用定積分在幾何中的應(yīng)用解答；所求為計(jì)算可得．【題目詳解】解：由，得，將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分的應(yīng)用；將旋轉(zhuǎn)得到幾何體的體積為，屬于基礎(chǔ)題．15、57【解題分析】試題分析：單調(diào)增區(qū)間為減區(qū)間為，最大值為考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與最值16、0【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值.【題目詳解】解：由，得，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以的最大值為故答案：0【題目點(diǎn)撥】此題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和思維能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）取PA中點(diǎn)Q，連接QD，QE，可證四邊形CDQE為平行四邊形，從而CE∥QD，于是證得線面平行；（2）連接BD，取BD中點(diǎn)O，連接EO，CO，可證EO∥PD，從而得到直線CE與底面ABCD所成的角，求得EO也即能求得PD，最終可得棱錐體積．【題目詳解】解法一:(1)取PA中點(diǎn)Q，連接QD，QE，則QE∥AB，且QE=AB∴QE∥CD，且QE=CD.即四邊形CDQE為平行四邊形，CE∥QD.又∵CE平面PAD，QD平面PAD，∴CE∥平面PAD.(2)連接BD，取BD中點(diǎn)O，連接EO，CO則EO∥PD，且EO=PD.∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.則CO為CE在平面ABCD上的射影，即∠ECO為直線CE與底面ABCD所成的角，∠ECO=45°在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，則BD=2，則在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=BD=2PD=2E0=2，∴∴∴四棱錐P-ABCD的體積為.解法二：(1)取AB中點(diǎn)Q，連接QC，QE則QE∥PA∵PA平面PAD，QE平面PAD∴QE∥平面PAD，又∵AQ=AB=CD，AQ∥CD，∴四邊形AQCDカ平行四跡形，則CQ∥DA∵DA平面PAD，CQ平面PAD，∴CQ∥平面PAD，(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，證明其中一個(gè)即給2分)又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，∴平面CEQ∥平面PAD，又CE平面CQ，∴CE∥平面PAD.(2)同解法一.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積，考查直線與平面所成的角．涉及到直線與平面所成的角，必須先證垂直（或射影），然后才有直線與平面所成的角．18、（1），；（2）.【解題分析】分析：（1）令，則，，則，兩式做差得到結(jié)果；（2）要比較與的大小，只要比較與的大小，接下來應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法得到結(jié)果即可.詳解：（1）令，則，令，則，所以．（2）要比較與的大小，只要比較與的大?。孪耄海旅嬗脭?shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，,結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以所以，即時(shí)結(jié)論也成立．由①②可知，時(shí)，所以.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和問題，以及數(shù)學(xué)歸納法的證明的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法，注意假設(shè)n=k+1的證明過程中，一定要用到n=k的結(jié)論.19、（1）8600件；（2）列聯(lián)表見解析，不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下可以認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)．【解題分析】

（1）計(jì)算出不合格品率，和不合格品件數(shù)，由此求得合格品件數(shù).（2）根據(jù)題目所給表格和圖像數(shù)據(jù)，填寫好聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷出“不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下可以認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)．”【題目詳解】解：（1）由題圖1知，乙套設(shè)備生產(chǎn)的不合格品的概率約為，∴乙套設(shè)備生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格品約為（件），故合格品的件數(shù)為（件）．（2）由題中的表1和圖1得到2×2列聯(lián)表如下：甲套設(shè)備乙套設(shè)備合計(jì)合格品9686182不合格品41418合計(jì)100100200將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得的觀測值，因?yàn)?.105<6.635，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下可以認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查用頻率估計(jì)總體，考查聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）（2）線恒過定點(diǎn)，詳見解析【解題分析】

（1）根據(jù)焦距得到，根據(jù)圓心到直線的距離得到，由得到，從而得到橢圓方程；（2）直線，聯(lián)立得到，然后表示，代入韋達(dá)定理，得到和的關(guān)系，從而得到直線過的定點(diǎn).【題目詳解】(1)由題意可得，即，由直線與圓相切，可得，解得，即有橢圓的方程為；(2)證明：設(shè)，將直線代入橢圓，可得，即有，，由，即有，代入韋達(dá)定理，可得，化簡可得，則直線的方程為，即，故直線恒過定點(diǎn)；【題目點(diǎn)撥】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓中的定點(diǎn)問題，屬于中檔題.21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】分析：⑴設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得，利用線面平行的判定定理得到平面；⑵建立空間直角坐標(biāo)系，求出法向量，然后運(yùn)用公式計(jì)算二面角的大小詳解：（1）設(shè)與相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，PD//,又PD平面D，//平面D.（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（1，0，0），（