2024屆黑龍江省綏化市青岡縣數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆黑龍江省綏化市青岡縣數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．2．從甲、乙等10個同學(xué)中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有()（Ａ）種（Ｂ）種（Ｃ）種（Ｄ）種3．有位同學(xué)按照身高由低到高站成一列，現(xiàn)在需要在該隊列中插人另外位同學(xué)，但是不能改變原來的位同學(xué)的順序，則所有排列的種數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知O為坐標(biāo)原點,拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A,B兩點,則的值是A． B． C．3 D．35．從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中有放回地隨機抽取5次，每次抽取1張．則恰好有2次抽到奇數(shù)的概率是（）A． B．C． D．6．已知，，均為正實數(shù)，則，，的值（）A．都大于1 B．都小于1C．至多有一個不小于1 D．至少有一個不小于17．已知雙曲線的實軸長為16，左焦點分別為，是雙曲線的一條漸近線上的點，且，為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．8．已知雙曲線的一條漸近線恰好是圓的切線，且雙曲線的一個焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．9．已知某隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．10．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則在區(qū)間上是()A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且11．在長方形中，為的中點，為的中點，設(shè)則（）A． B． C． D．12．某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A．72 B．120 C．144 D．168二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個球的體積為，則該球的表面積為_________．14．觀察下列等式，，，，，從中可以歸納出一個一般性的等式是：__________.15．若拋物線上存在關(guān)于直線成軸對稱的兩點，則的取值范圍是__________．16．已知函數(shù)，若函數(shù)存在唯一零點，且，則實數(shù)a的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）將直線：（為參數(shù)）化為極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)是（1）中的直線上的動點，定點，是曲線上的動點，求的最小值.18．（12分）如圖，在正方體中，分別是的中點．求證：（1）求證：平面（2）求異面直線與所成角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時,討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，當(dāng)時,若對任意,存在使,求實數(shù)取值.20．（12分）如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點在平面上的射影恰好在上.（Ⅰ）當(dāng)時,證明:平面平面；（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.21．（12分）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代號t

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，22．（10分）2019年6月13日，三屆奧運亞軍，羽壇傳奇，馬來西亞名將李宗偉宣布退役，當(dāng)天有大量網(wǎng)友關(guān)注此事件，某網(wǎng)上論壇從關(guān)注此事件跟帖中，隨機抽取了100名網(wǎng)友進行調(diào)查統(tǒng)計，先分別統(tǒng)計他們在跟帖中的留言條數(shù)，再把網(wǎng)友人數(shù)按留言條數(shù)分成6組；，得到如下圖所小的頻率分布直方圖；并將其中留言不低于40條的規(guī)定為“強烈關(guān)注”，否則為“一般關(guān)注”，對這100名網(wǎng)友進一步統(tǒng)計，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下的列聯(lián)表.（1）在答題卡上補全2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關(guān)注”與性別有關(guān)？（2）該論壇欲在上述“強烈關(guān)注”的網(wǎng)友中按性別進行分層抽樣，共抽取5人，并在此5人中隨機抽取兩名接受訪談，記女性訪談?wù)叩娜藬?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：化簡復(fù)，利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可.詳解：因為，所以=，故選D.點睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.2、C【解題分析】∵從10個同學(xué)中挑選4名參加某項公益活動有種不同挑選方法；從甲、乙之外的8個同學(xué)中挑選4名參加某項公益活動有種不同挑選方法；∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有種不同挑選方法故選C；【考點】此題重點考察組合的意義和組合數(shù)公式；【突破】從參加“某項”切入，選中的無區(qū)別，從而為組合問題；由“至少”從反面排除易于解決；3、D【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為將這個同學(xué)中新插入的個同學(xué)重新排序，再利用排列數(shù)的定義可得出答案．【題目詳解】根據(jù)題意，原來有位同學(xué)，現(xiàn)在有插入位同學(xué)，一共有位同學(xué)，原問題可以轉(zhuǎn)化為在個位置中，任選個安排后來插入位同學(xué)，有種情況，即有種排列．故選：D．【題目點撥】本題考查排列問題，解題的關(guān)鍵就是將問題進行等價轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中等題．4、B【解題分析】拋物線的焦點為,當(dāng)直線l與x軸垂直時，,所以5、B【解題分析】

先求出每次抽到奇數(shù)的概率，再利用n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k的概率計算公式求出結(jié)果．【題目詳解】每次抽到奇數(shù)的概率都相等，為，故恰好有2次抽到奇數(shù)的概率是??，故選：B．【題目點撥】本題主要考查n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k的概率計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】分析:對每一個選項逐一判斷得解.詳解：對于選項A,如果a=1,b=2,則，所以選項A是錯誤的.對于選項B,如果a=2,b=1,則，所以選項B是錯誤的.對于選項C,如果a=4,b=2,c=1,則，所以選項C是錯誤的.對于選項D,假設(shè)，則，顯然二者矛盾，所以假設(shè)不成立，所以選項D是正確的.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)三個數(shù)至少有一個不小于1的否定是7、A【解題分析】由于焦點到漸近線的距離為,故,依題意有,所以離心率為.【題目點撥】本小題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線漸近線的幾何性質(zhì),考查三角形的面積公式和雙曲線離心率的求法.設(shè)雙曲線的焦點為,雙曲線的漸近線為,故雙曲線焦點到漸近線的距離為,故焦點到漸近線的距離為.8、D【解題分析】分析：根據(jù)題意，求出雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)焦點到漸近線的距離為，求得雙曲線的參數(shù)，即可確定雙曲線方程.詳解：圓，圓心，原點在圓上，直線的斜率又雙曲線的一條漸近線恰好是圓切線，雙曲線的一條漸近線方程的斜率為，一條漸近線方程為，且，即由題可知，雙曲線的一個焦點到漸近線的距離，解得又有，可得，，雙曲線的方程為.故選D.點睛：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，直線與圓位置關(guān)系和點到直線距離的求法，考查計算能力.9、A【解題分析】

直接利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解．【題目詳解】，且，．．故選：A．【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

先利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)在上的解析式，然后利用周期性求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合解析式對其單調(diào)性以及函數(shù)值符號下結(jié)論．【題目詳解】設(shè)，則，，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時，，則.所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且當(dāng)時，，，故選B.【題目點撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值符號的判斷，解決函數(shù)問題關(guān)鍵在于求出函數(shù)的解析式，本題的核心在于利用奇偶性與周期性求出函數(shù)的解析式，屬于中等題．11、A【解題分析】

由平面向量線性運算及平面向量基本定理，即可化簡，得到答案．【題目詳解】如圖所示，由平面向量線性運算及平面向量基本定理可得：．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的線性運算，以及平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運算法則和平面向量的基本定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】分兩類，一類是歌舞類用兩個隔開共種，第二類是歌舞類用三個隔開共種，所以N=+=120.種．選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意，根據(jù)球的體積公式，則，解得，又根據(jù)球的表面積公式，所以該球的表面積為.14、【解題分析】

通過觀察前幾個式子的變化規(guī)律，總結(jié)規(guī)律即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，第一個式子從1開始，左邊按順序加有1項；第二個式子從2開始，有3項；第三個式子從3開始，有5項，于是可歸納出，第n個式子從n開始，有項，于是答案為：.【題目點撥】本題主要考查歸納法，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)感，難度不大.15、【解題分析】

假設(shè)存在對稱的兩個點P，Q，利用兩點關(guān)于直線成軸對稱，可以設(shè)直線PQ的方程為，由于P、Q兩點存在，所以方程組有兩組不同的實數(shù)解，利用中點在直線上消去參數(shù)，建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求出變量的范圍．【題目詳解】設(shè)拋物線上關(guān)于直線對稱的兩相異點為、，線段PQ的中點為，設(shè)直線PQ的方程為，由于P、Q兩點存在，所以方程組有兩組不同的實數(shù)解，即得方程①判別式②．可得，，∵，∴?…③由②③可得，故答案為.【題目點撥】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，以及對稱問題，屬于中檔題．16、【解題分析】

利用分類討論思想的應(yīng)用和分類討論思想的應(yīng)用求出的取值范圍．【題目詳解】解：當(dāng)時，由，解得或，在，上是增函數(shù)，且，，所以在上有零點，由題意知，由故或，又．當(dāng)時，解得有兩個零點，不合題意．當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為和且，當(dāng)時，則由單調(diào)性及極值可知，有唯一零點，但零點大于0，當(dāng)時，則有三個零點，∴無論正負都不合適．所以．故答案為：.【題目點撥】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系式的的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再由可將直線的普通方程化為極坐標(biāo)方程；（2）將點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，點所在曲線的方程化為普通方程，可知該曲線為圓，利用當(dāng)、、與圓心四點共線且點為圓心與點連線線段與圓的交點時，取得最小值，可得出答案?！绢}目詳解】（1）消去參數(shù)得，即，∴直線的極坐標(biāo)方程為．（答案也可以化為）（2）∵的直角坐標(biāo)為，曲線是圓：（為圓心）．∴．∴的最小值為（這時是直線與直線的交點）．【題目點撥】本題第（1）問考查的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的互化，第（2）問考查圓的幾何性質(zhì)，考查折線段長度的最小值問題，做題時充分利用數(shù)形結(jié)合思想來求解，屬于中等題。18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取的中點，連接，證明四邊形是平行四邊形，從而，進而可得平面；（2）設(shè)出正方體的棱長，利用向量的加法和數(shù)量積求出，根據(jù)向量的夾角公式可求出異面直線與所成角的余弦值.【題目詳解】（1）取的中點，連接，則，又，∴四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，∴平面；（2）設(shè)正方體的棱長為2，異面直線與所成角為，則，，，所以異面直線與所成角的余弦值為.【題目點撥】本題考查線面平行的判定，以及異面直線所成的角，利用向量的夾角公式，可方便求出異面直線所成的角，不用建系，不用作圖.19、（1）當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）．【解題分析】分析：（1）先求定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，，令，分，，，，四種情況考慮h(x)零點情況及正負情況，得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。（2）因為,由于(I)知,在上的最小值為，由題意可知“對任意,存在,使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函數(shù)的“三點一軸”分類討論求得g(x)的最小值，再求得b范圍。詳解：(1)定義域因為所以令(i)當(dāng)時,所以當(dāng)時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增(ii)當(dāng)時,由,即,解得①當(dāng)時,，恒成立,此時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;②當(dāng)時,時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞減；時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增；時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞減；③當(dāng)時,由于時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞減；時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增；綜上所述:當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減(2)因為,由于(I)知,,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減:當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,所以在上的最小值為由于“對任意,存在,使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”又,,所以①當(dāng)時,因為,此時與矛盾②當(dāng)時,因為,同樣與矛盾③當(dāng)時,因為，解不等式可得綜上,的取值范圍是．點睛：本題綜合考查用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論思想求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及恒成立問題與存在性問題的理解，即轉(zhuǎn)化為最值問題，同時也考查了一元二次函數(shù)“三點一軸”求最值問題，題目綜合性較強，分類較多，對學(xué)生的能力要求較高。20、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解題分析】試題分析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，則，平面，，結(jié)合勾股定理可得，則平面，平面平面.（Ⅱ）由幾何關(guān)系，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面的法向量，平面的法向量.計算可得平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.試題解析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，，又，平面，利用勾股定理得，同理可得.在中，平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）連結(jié)，，，，又四邊形為長方形，.取中點為，得∥，連結(jié)，其中，，由以上證明可知互相垂直，不妨以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.，，設(shè)是平面的法向量，則有即，令得設(shè)是平面的法向量，則有即令得.則所以平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值為.21、（1）；（1）在1557至1512年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在逐年增加，平均每年增加千元；元.【解題分析】試題分析：本題主要考查線性回歸方程、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，先利用平均數(shù)的計算公式，由所給數(shù)據(jù)計算和，代入公式中求出和，從而得到線性回歸方程；第二問，利用第一問的結(jié)論，將代入即可求出所求的收入．試題解析：（1）由所給數(shù)據(jù)計算得＝（1＋1＋2＋3＋4＋6＋