重慶市江津區(qū)高2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

重慶市江津區(qū)高2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在極坐標(biāo)系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標(biāo)系是A． B． C．(1,0) D．(1，)2．已知復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等.如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．94．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．5．函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA．關(guān)于直線x=π12對(duì)稱 B．關(guān)于直線C．關(guān)于點(diǎn)π12，0對(duì)稱 D．6．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．7．用反證法證明命題“若，則全為”，其反設(shè)正確的是（）A．至少有一個(gè)不為 B．至少有一個(gè)為C．全不為 D．中只有一個(gè)為8．小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B為“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|B)＝（）A． B．C． D．9．如圖所示的流程圖中，輸出的含義是（）A．點(diǎn)到直線的距離B．點(diǎn)到直線的距離的平方C．點(diǎn)到直線的距離的倒數(shù)D．兩條平行線間的距離10．如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是()A．420 B．210 C．70 D．3511．某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，則在抽到第個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第個(gè)同學(xué)也是男生的概率為（）A． B． C． D．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由時(shí)的假設(shè)到證明時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中2只白球，2只紅球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率是_____________．14．若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是_____，最大值是______．15．某林場(chǎng)有樹苗3000棵，其中松樹苗400棵．為調(diào)查樹苗的生長(zhǎng)情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的棵數(shù)為．16．某學(xué)校為了了解住校學(xué)生每天在校平均開銷情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，他們的每天在校平均開銷都不低于20元且不超過60元，其頻率分布直方圖如圖三所示，則其中每天在校平均開銷在元的學(xué)生人數(shù)為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，圓的方程為.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線的普通方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，圓錐的軸截面為等腰為底面圓周上一點(diǎn)．（1）若的中點(diǎn)為，求證：平面；（2）如果，求此圓錐的體積；（3）若二面角大小為，求.19．（12分）如圖,在四面體中,在平面的射影為棱的中點(diǎn),為棱的中點(diǎn),過直線作一個(gè)平面與平面平行,且與交于點(diǎn),已知,.(1)證明:為線段的中點(diǎn)(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20．（12分）已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件需另投入萬(wàn)元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬(wàn)元，且.（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大？（注：年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本）21．（12分）某中學(xué)開設(shè)了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學(xué)生選學(xué)，每個(gè)學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程.假設(shè)每個(gè)學(xué)生選學(xué)每門課程的概率均為，對(duì)于該校的甲、乙、丙名學(xué)生，回答下面的問題.（1）求這名學(xué)生選學(xué)課程互不相同的概率；（2）設(shè)名學(xué)生中選學(xué)乒乓球的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由題圓，則可化為直角坐標(biāo)系下的方程,，，，圓心坐標(biāo)為（0，-1），則極坐標(biāo)為，故選B.考點(diǎn)：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化.2、D【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的乘法求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出復(fù)數(shù)，即可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所處的象限．【題目詳解】，，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法，考查共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖，解題的關(guān)鍵是讀懂流程圖各個(gè)變量的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

分析：作圖，D為MO與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得．詳解：如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心中，有故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型．5、B【解題分析】

求出函數(shù)的解析式，然后判斷對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸即可．【題目詳解】函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期為π2，可得ω函數(shù)f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=π故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，周期的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題6、D【解題分析】

首先解出集合，，由集合基本運(yùn)算的定義依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判定?！绢}目詳解】由題可得，；所以，則選項(xiàng)正確；故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程、絕對(duì)值不等式的解法以及集合間基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。7、A【解題分析】由反證法的定義：證明命題“若，則全為”，其反設(shè)為至少有一個(gè)不為.本題選擇A選項(xiàng).8、A【解題分析】

這是求小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的前提下，4

個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個(gè)數(shù)，按照公式計(jì)算，即可得出結(jié)論．【題目詳解】小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有4×3×3×3＝108種情況，即n(B)＝108,4個(gè)人去的景點(diǎn)不同的情況有種，即n(AB)＝24，.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．9、A【解題分析】

將代入中,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得.【題目詳解】因?yàn)?,所以,故的含義是表示點(diǎn)到直線的距離.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖以及點(diǎn)到直線的距離公式,屬基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【題目詳解】按照的順序：當(dāng)相同時(shí)：染色方案為當(dāng)不同時(shí)：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A【題目點(diǎn)撥】本題考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分為相同和不同兩種情況是解題的關(guān)鍵.11、C【解題分析】

設(shè)事件A表示“抽到個(gè)同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第個(gè)同學(xué)也是男生”，則，，由此利用條件概率計(jì)算公式能求出在抽到第個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第個(gè)同學(xué)也是男生的概率.【題目詳解】設(shè)事件A表示“抽到個(gè)同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第個(gè)同學(xué)也是男生”，則，，則在抽到第個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第個(gè)同學(xué)也是男生的概率.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了條件概率的求法、解題的關(guān)鍵是理解題干，并能分析出問題，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，等式的左邊是，所以當(dāng)時(shí)，等式的左邊是，多增加了，應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項(xiàng)是什么，使得問題獲解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．【題目詳解】解：由題意，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．14、39【解題分析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為求解在軸截距的最大值和最小值，由圖象可知過時(shí)，最?。贿^時(shí)，最大，求出坐標(biāo)，代入可得結(jié)果.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：令，則求的最大值和最小值即為求在軸截距的最大值和最小值由平移可知，當(dāng)過時(shí)，最小；過時(shí)，最大由得：；由得：，本題正確結(jié)果：；【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃中的最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值問題的求解，屬于?？碱}型.15、20【解題分析】試題分析：由分層抽樣的方法知樣本中松樹苗的棵數(shù)應(yīng)為150的，所以樣本中松樹苗的棵數(shù)應(yīng)為.考點(diǎn)：分層抽樣.16、1【解題分析】分析：由頻率分布直方圖，得每天在校平均開銷在[50，60]元的學(xué)生所點(diǎn)的頻率為0.3，由此能求出每天在校平均開銷在[50，60]元的學(xué)生人數(shù)．詳解：由頻率分布直方圖，得：每天在校平均開銷在[50，60]元的學(xué)生所點(diǎn)的頻率為：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均開銷在[50，60]元的學(xué)生人數(shù)為500×0.3=1．故答案為1點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）?！窘忸}分析】試題分析：（1）由得，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的參數(shù)方程為，由得，代入得：，整理得：；（2）直線與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，圓心到直線：距離，根據(jù)直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)公式，所以，由題意，所以得，即，整理得：，即，解得：。試題解析：（1）的直角坐標(biāo)方程為，在直線的參數(shù)方程中消得：；（2）要滿足弦及圓的半徑為可知只需圓心到直線的距離即可。由點(diǎn)到直線的距離公式有：,整理得：即解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)；2.參數(shù)方程。18、（1）證明見解析（2）（3）60°【解題分析】

（1）連接、，由三角形中位線定理可得，由圓周角定理我們可得，由圓錐的幾何特征，可得，進(jìn)而由線面垂直的判定定理，得到平面，則，結(jié)合及線面垂直的判定定理得到平面；（2）若，易得，又由，我們求出圓錐的底面半徑長(zhǎng)及圓錐的高，代入圓錐體積公式，即可得到圓錐的體積；（3）作于點(diǎn)，由面面垂直的判定定理可得平面，作于點(diǎn)，連，則為二面角的平面角，根據(jù)二面角的大小為，設(shè)，，進(jìn)而可求出的大小【題目詳解】（1）如圖：連接、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)闉閳A的直徑，所以，．因?yàn)槠矫妫?，所以平面，．又，，所以平面．?），，，又，，．（3）作于點(diǎn)，平面平面且平面平面平面．再作于點(diǎn)，連，為二面角的平面角如圖：，．設(shè)，，，，，，，．，解得，【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的判定定理，圓錐體積的求法，二面角的作法與求法，解題關(guān)鍵（1）在于能利用線面垂直與線線垂直相互轉(zhuǎn)化，（2）在于結(jié)合幾何關(guān)系求出底面半徑，（3）在于能正確作出二面角，能用三角函數(shù)基本定義表示基本線段關(guān)系，屬于中檔題19、（1）見解析（2）【解題分析】分析：(1)根據(jù)題中兩面平行的條件，結(jié)合面面平行的性質(zhì)，得到線線平行，其中一個(gè)點(diǎn)是中點(diǎn)，那就是三角形的中位線，從而得到一定為中點(diǎn)；(2)利用題中所給的相關(guān)的垂直的條件，建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得到對(duì)應(yīng)二面角的余弦值.詳解：(1)證明:平面平面，平面平面，平面平面，，為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).(2)解:為的中點(diǎn),，以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,則，，，易求得，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，又平面平面，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面平行的性質(zhì)、三角形中位線的平行性以及應(yīng)用空間向量求二面角的余弦值，在求解的過程中，需要對(duì)定理的條件和結(jié)論要熟悉，以及空間角的向量求法要掌握.20、（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝生產(chǎn)中獲利最大【解題分析】試題分析：解：（Ｉ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)關(guān)系式為（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，即年利潤(rùn)在上單增，在上單減∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，且（萬(wàn)元）．當(dāng)時(shí)，，僅當(dāng)時(shí)取“=”綜上可知，當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大，最大值為萬(wàn)元．考點(diǎn)：本試題考查了函數(shù)模型在實(shí)際生活中的的運(yùn)用。點(diǎn)評(píng)：解決應(yīng)用題，首先是審清題意，然后利用已知的關(guān)系式表述出利潤(rùn)函數(shù)：收入-成本=利潤(rùn)。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，或者均值不等式來(lái)求解最值，但是要注明定義域，屬于中檔題。21、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解題分析】分析：（1）每個(gè)學(xué)生必須且只能選學(xué)其中門課程，每一個(gè)人都有4種選擇，共有，名學(xué)生選學(xué)課程互不相同，則有種，從而求解；（2）的所有可能取值為，，，，分別算出對(duì)應(yīng)的概率，再利