第二章 直線和圓的方程（公式、定理、結(jié)論圖表）-【口袋書】高考數(shù)學(xué)必背知識手冊

第二章

直線和圓的方程（公式、定理、結(jié)論圖表）一．直線的傾斜角1.傾斜角的定義（1）當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．（2）當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2.直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.二．直線的斜率1.斜率的定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即.2.斜率的計(jì)算公式：定義斜率的定義式兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)，的直線的斜率公式為【注意】任何直線都有傾斜角，但當(dāng)傾斜角等于時(shí)，直線的斜率不存在.3.傾斜角與斜率的關(guān)系圖示傾斜角斜率不存在三．直線的平行于垂直定義平行當(dāng)存在時(shí)，兩直線平行，則當(dāng)不存在時(shí)，則兩直線的傾斜角都為垂直當(dāng)存在時(shí)，兩直線垂直，則當(dāng)不存在時(shí)，則一條直線傾斜角為，另一條直線傾斜角為【注意】在計(jì)算兩直線平行的題時(shí)，注意考慮重合的情況.四．直線的方程直線方程適用范圍點(diǎn)斜式不能表示與軸垂直的直線斜截式不能表示與軸垂直的直線兩點(diǎn)式不能表示與軸、軸垂直的直線截距式不能表示與軸垂直、軸垂直以及過原點(diǎn)的直線一般式無局限性五．特殊的直線方程已知點(diǎn)，則類型直線方程與軸垂直的直線與軸垂直的直線六．方向向量與直線的參數(shù)方程除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.如圖1，設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)，是它的一個(gè)方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，則向量與共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使，即，所以.在①中，實(shí)數(shù)t是對應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡稱參數(shù).由上可知，對于直線l上的任意一點(diǎn)P(x,y)，存在唯一實(shí)數(shù)t使①成立；反之，對于參數(shù)t的每一個(gè)確定的值，由①可以確定直線l上的一個(gè)點(diǎn)P(x,y).我們把①稱為直線的參數(shù)方程.七．直線的平行與垂直斜截式一般式直線方程平行（注意可能重合）垂直八．利用平行與垂直解決問題斜截式一般式直線方程平行若直線，則可設(shè)的方程為：若直線，則可設(shè)的方程為：垂直若直線，則可設(shè)的方程為：若直線，則可設(shè)的方程為：九．兩條直線的交點(diǎn)對于直線，，求交點(diǎn)即解方程組，該方程組的解與兩直線的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)位置關(guān)系一個(gè)解相交無解平行無數(shù)解重合十．三個(gè)距離公式條件距離公式兩點(diǎn)之間的距離公式已知兩點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式已知一點(diǎn)，以及直線兩平行線的距離公式已知直線，以及十一．對稱條件方法兩點(diǎn)關(guān)于另外一點(diǎn)對稱，兩點(diǎn)關(guān)于對稱兩點(diǎn)關(guān)于一直線對稱，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱（斜率存在）1.兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上；2.兩點(diǎn)所在直線與直線垂直兩直線關(guān)于另一直線對稱（三直線不平行）1.三條直線交于同一點(diǎn)；2.到角公式十二．兩點(diǎn)關(guān)于一直線特殊的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)直線方程對稱點(diǎn)坐標(biāo)十三．到角公式設(shè)的斜率分別是，到的角為，則.十四．圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長為半徑).圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.十五．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心半徑十六．圓的一般方程圓的一般方程圓心半徑十七．二元二次方程與圓的方程1.二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：二元二次方程，對比圓的一般方程，，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.2.二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是&A=C≠0&B=0&(十八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一般方程為.平面內(nèi)一點(diǎn)到圓心的距離為.位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法（標(biāo)準(zhǔn)方程）代數(shù)法（一般方程）點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓內(nèi)十九．與圓有關(guān)的最值問題1.與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題類型方法圓外一定點(diǎn)到圓上一動點(diǎn)距離的最值最大值：；最小值：（為該定點(diǎn)到圓心的距離）圓上一動點(diǎn)到圓外一定直線距離的最值最大值：；最小值：（為圓心到直線的距離）過園內(nèi)一定點(diǎn)的弦的最值最大值：直徑；最小值：與過該點(diǎn)的直徑垂直的弦2.與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題類型代數(shù)表達(dá)方法截距式求形如的最值轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題斜率式求形如的最值轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題距離式求形如的最值轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題【注意】截距式與斜率式在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系后，都可轉(zhuǎn)化為動直線與圓相切時(shí)取得最值.同時(shí)，需要注意若是斜率式，則需考慮斜率是否存在.二十．直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示幾何法代數(shù)法相切（為圓心到直線的距離）相交（為圓心到直線的距離）相離（為圓心到直線的距離）二十一．相切→求切線方程過定點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為：與圓的位置關(guān)系切線條數(shù)切線方程（方法）在圓上1條在圓外2條【分兩種情況討論】：1.斜率存在，設(shè)為點(diǎn)斜式，再通過或求出斜率即可；2.斜率不存在.【說明】：若情況1有一解，則情況2必有一解；若情況1有兩解，則情況2必?zé)o解.二十二．相交→求弦長弦長公式：直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（為圓心到直線的距離）.二十三．圓與圓的位置關(guān)系兩圓的半徑分別為，兩圓的圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系及其判斷方法為：位置關(guān)系圖示幾何法公切線條數(shù)外離四條外切三條相交兩條內(nèi)切一條內(nèi)含無二十四．兩圓的公共弦1.公共弦方程：將兩圓的方程作差，所得到的直線方程就是兩圓的公共弦方程.2.公共弦長：取其中一個(gè)圓，利用圓的弦長公式即可求出.二十五、直線與圓的綜合應(yīng)用的一般步驟：步驟具體內(nèi)容第一步設(shè)直線方程，注意討論直線斜率是否存在第二步聯(lián)立直線與圓方程消元化簡第三步根據(jù)韋達(dá)定理寫出兩根之和與兩根之積第四步根據(jù)題中所給的條件，帶入韋達(dá)定理<解題方法與技巧>一.具有某種共同屬性的一類直線的集合，我們稱之為直線系，這一屬性可通過直線系方程體現(xiàn)出來，它們的變化存在于參數(shù)之中，常見的直線系有：(1)過已知點(diǎn)P(x0，y0)的直線系y－y0＝k(x－x0)(k為參數(shù))．(2)斜率為k的平行直線系方程y＝kx＋b(b為參數(shù))．(3)與已知直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋λ＝0(λ為參數(shù)，λ≠C)．(4)與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋λ＝0(λ為參數(shù))．(5)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程：l1：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為參數(shù))(但不包含直線A2x＋B2y＋C2＝0)．典例1：已知正方形中心為點(diǎn)M(－1,0)，一條邊所在直線的方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程．[思路點(diǎn)撥]已知正方形的中心坐標(biāo)和一條邊所在直線的方程，由正方形的性質(zhì)——中心到各邊的距離相等，用待定系數(shù)法列方程求解．[解析]正方形中心到直線x＋3y－5＝0的距離d＝eq\f(|－1×1＋3×0－5|,\r(12＋32))＝eq\f(6,\r(10))設(shè)與直線x＋3y－5＝0平行的直線方程為x＋3y＋C1＝0.由正方形的性質(zhì)，得eq\f(|－1＋C1|,\r(12＋32))＝eq\f(6,\r(10))，解得C1＝－5(舍去)或C1＝7.所以與直線x＋3y－5＝0相對的邊所在的直線方程為x＋3y＋7＝0.設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的邊所在的直線方程為3x－y＋C2＝0.由題意，得eq\f(|－1×3－0×1＋C2|,\r(32＋12))＝eq\f(6,\r(10))，解得C2＝9或C2＝－3.所以另兩邊所在直線的方程為3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.二.利用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟為：第一步：選擇圓的方程的某一形式；第二步：由題意得a，b，r(或D，E，F(xiàn))的方程(組)；第三步：解出a，b，r(或D，E，F(xiàn))；第四步：代入圓的方程．注：解題時(shí)充分利用圓的幾何性質(zhì)可獲得解題途徑，減少運(yùn)算量，例如：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦；兩圓相交時(shí)，連心線垂直平分兩圓的公共弦；兩圓相切時(shí)，連心線過切點(diǎn)等．典例2：已知圓的半徑為eq\r(10)，圓心在直線y＝2x上，圓被直線x－y＝0截得的弦長為4eq\r(2)，求圓的方程．[思路點(diǎn)撥]利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列式求解．[解析]法一：設(shè)圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.因?yàn)閳A心在直線y＝2x上，所以b＝2a.①由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x－a2＋y－b2＝10，))得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝eq\f(a2＋b2－10,2).由弦長公式得eq\r(2)·eq\r(a＋b2－2a2＋b2－10)＝4eq\r(2)，化簡得(a－b)2＝4.②解①②組成的方程組，得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝10，則圓心為(a，b)，半徑r＝eq\r(10)，圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離d＝eq\f(|a－b|,\r(2)).由半弦長、弦心距、半徑組成的直角三角形得d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),2)))2＝r2，即eq\f(a－b2,2)＋8＝10，所以(a－b)2＝4.又因?yàn)閎＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.三、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求直線方程．若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)應(yīng)注意斜率不存在的切線．2．求直線被圓所截得的弦長時(shí)，通?？紤]由弦心距垂線段作為直角邊的直角三角形，利用勾股定理來解決問題．典例3：已知點(diǎn)M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過M點(diǎn)的圓的切線方程；(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2eq\r(3)，求a的值．[思路點(diǎn)撥](1)分斜率存在與不存在兩種情況討論．(2)構(gòu)造直角三角形求解．[解析](1)圓心C(1,2)，半徑r＝2，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x＝3.由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時(shí)，直線與圓相切．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由題意知eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴圓的切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.故過M點(diǎn)的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0.(2)∵圓心到直線ax－y＋4＝0的距離為eq\f(|a＋2|,\r(a2＋1))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋2|,\r(a2＋1))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝4，解得a＝－eq\f(3,4).四、最值與范圍“數(shù)形結(jié)合”是把代數(shù)中的“數(shù)”與幾何上的“形”結(jié)合起來認(rèn)識問題、理解問題并解決問題的思維方法，是人們一種普遍思維習(xí)慣在數(shù)學(xué)上的具體表現(xiàn)．?dāng)?shù)形結(jié)合一般包括兩個(gè)方面，即以“形”助“數(shù)”，以“數(shù)”解“形”．形如u＝eq\f(y－b,x－b)的最值問題，可借助于圖形分析轉(zhuǎn)化為直線斜率的最值問題；形如t＝ax＋by的最值問題，可借助圖形分析轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可借助于圖形分析轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)距離平方的最值問題．典例4：已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝eq\r(3－x2)，則代數(shù)式eq\f(y＋1,x＋3)的取值范圍為________．解析：(1)如圖所示y＝eq\r(3－x2)化為x2＋y2＝3(y≥0)，表示的圖形為半圓弧，eq\f(y＋1,x＋3)的幾何意義為定點(diǎn)A(－3，－1)與半圓弧上任意一點(diǎn)M(x，y)的連線的斜率．利用數(shù)形結(jié)合法可知kAB≤eq\f(y＋1,x＋3)≤kAC.又B(eq\r(3)，0)，kAB＝eq\f(－1－0,－3－\r(3))＝eq\f(3－\r(3),6)，設(shè)直線