蘇科版2022～2023學年初三數學上冊期末綜合檢測【含答案】

蘇科版2022~2023學年初三數學上冊期末綜合檢測

一、選擇題（每小題3分，共30分）

I.下列方程是關于x的一元二次方程的是（)

A.X2+-y=0B.a^+bx+c—O

X

C.(x-1)(x+2)=1D.Sx3-2xy-5y2=O

2.一元二次方程X2—3X+4=。的根的情況是()

A.有兩個不相等的實根B.有兩個相等的實根

C.無實數根D.不能確定

3.三角形的外心是（）.

A.各內角的平分線的交點

B.各邊中線的交點

C.各邊垂線交點

D.各邊垂直平分線的交點

4.如果關于x一元二次方程公f-（2女+l）x+l=0有兩個不相等的實數根，那么人的取值范圍是

)

B.心一1且左。0D.心」且2/()

A.C.k<--

444

5.某廠一月份生產某機器300臺，計劃二、三月份共生產980臺.設二、三月份每月的平均增長率為x,根

據題意列出的方程是（）

A.300(1+x)2=980B.300(1+尤)+300(1+x)2=980

C.300(1-x)2=980D.300+300(1+幻+300(1+%)2=980

6.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上.點A、8的讀數分別為86。、30。,

則NACB的大小為（）

A.15°B.28°C.29°D.34°

7.下列四個命題中正確的是（）

①與圓有公共點的直線是該圓的切線；

②垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線；

③到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線；

④過圓直徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切線.

A.①②B.②③C.③④D.①④

8.平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形

9.如圖，半徑為1的四個圓兩兩相切，則圖中陰影部分的面積為（）

A.4一萬B.8—71C.4+萬D.4-2萬

10.如圖，在平面直角坐標系中，OP的圓心是（2,a）（a>2）,半徑為2,函數y=x的圖象被OP截得的弦

A.2夜B.2+26C.2GD.2+V2

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.將一元二次方程2Mx-3）=1化成一般形式為

12.已知x=-2是方程d+如一6=0的一個根，則的值是.

13.如圖，點A、B、C在。。上，若NBAC=24。，貝Ij/OBC

14.如圖，ABC。是。。的內接四邊形，A3為直徑，ZC=130°,則NADB的度數為.

15.如圖，直角坐標系中一條圓弧經過格點A,B,C,其中B點坐標為(3,4),則該弧所在圓心坐標是

16.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個根分別是m+1與2m—4,則2=

a

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A,B,C

中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是.

A1---------------X

18.如圖，在。。中，ZACB=ZD=60°,AC=3,則。。的直徑為.

A

三、解答題(共76分)

19解方程：

(1)(X-5)2-9=0;

⑵x2-5x+l=0(用配方法);

⑶3y2—l=6y

(4)9(X-2)2-6(X-2)+1=0

20.已知關于x的一元二次方程2/+收一&-3=0.

(1)求證:方程有兩個不相等的實數根；

(2)請你給定一個人值，使得方程的兩個根為有理數，并求出這兩個根.

21.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(AB).

(1)用直尺和圓規(guī)作出AB所在圓的圓心O；(要求保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)若AB的中點C到弦AB的距離為20帆，AB=80/n,求AB所在圓的半徑?

22.如圖，AB是。。的直徑，弦CO與A3相交于點E，NACD=52°,NAOC=26°.求NCE8的

度數.

23.為了幫助貧困家庭脫困，精準扶貧小組幫助一農戶建立如圖所示的長方形養(yǎng)雞場，長方形的面積為

45m2(分為兩片)，養(yǎng)雞場的一邊靠著一面長為14m的墻，另幾條邊用總長為22m的竹籬笆圍成，每片養(yǎng)

雞場的前面各開一個寬1m的門.求這個養(yǎng)雞場的長與寬.

I.14m

[//////////〃//////!

D

BL11[(C

24.如圖，四邊形OBCD中的三個頂點在00上，A是優(yōu)弧BD上的一個動點(不與點8、。重合).

(1)當圓心。在N班。內部，/430+乙4。0=60°時，ZBOD=

(2)當圓心。在內部，四邊形OBCO為平行四邊形時，求NA的度數;

(3)當圓心。在/明。外部，四邊形O8CO為平行四邊形時，請直接寫出NABO與NAOO的數量關系.

O

BDBD

25.某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月

如果單價不變，預計仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷售，根據市場調查，單價每降低

1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格；第二個月結束后，批發(fā)商將對剩余的T恤一次性清

倉銷售，清倉是單價為40元，設第二個月單價降低x元.

（1）填表：（不需化簡）

時間第一個月第二個月清倉時

單價（元）8040

銷售量（件）200

（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元?

26.如圖，在AABC中，ZACB=90°，。是A3的中點,

以0c為直徑的。。交A4BC的邊于點G、F、E

（1）求證:四邊形8M戶平行四邊形；

⑵若NA=35°,求OG的度數?

B

27.如圖，點C為△ABO外接圓上的一動點(點C不在5。上，且不與點B,。重合),

ZACB=ZABD=45°.

(1)求證：B。是該外接圓的直徑；

(2)連結CD,求證：yf2AC=BC+CD；

(3)若AABC關于直線A8的對稱圖形為△ABM,連接。M,

試探究DVT,402,5M2,三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論.

28.如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點B,C,經過B,C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另

一交點為A,頂點為P,且對稱軸是直線x=2.

(1)求該拋物線的函數表達式；

（2）請問在拋物線上是否存在點Q,使得以點B,C,Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，請求出

點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）過S（0,4）的動直線I交拋物線于M,N兩點，試問拋物線上是否存在定點T,使得不過定點T的

任意直線I都有NMTN=90。？若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

蘇科版2022~2023學年初三數學上冊期末綜合檢

測

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.下列方程是關于x的一元二次方程的是()

A.X2+-^7—0B.ajp+bx+c—O

x

C.(x-1)(x+2)=1D.^-2xy-5^=0

C

【分析】根據一元二次方程的定義，對選項逐個判斷即可，一元二次方程是指只含有一個

未知數并且未知數的最高次數為2的整式方程.

【詳解】解：A、不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合題意；

B、。=0時，不是一元二次方程，不符合題意；

C、是一元二次方程，符合題意；

D、含有兩個未知數，最高次數為3,不是一元二次方程，不符合題意；

故選：C

此題考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是掌握一元二次方程的定義.

2.一元二次方程d-3x+4=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實根B.有兩個相等的實根

C.無實數根D.不能確定

C

【詳解】△=(-3)2-4X1x4=9-l6=-7<0,

???方程沒有實數根.

故選C.

點睛：本題考查了一元二次方程以2+云+片0QW0)的根的判別式△斗2-4ac：當△>()

時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當△=()時，一元二次方程有兩個相等的實數

根；當△<()時，一元二次方程沒有實數根；

3.三角形外心是().

A.各內角的平分線的交點

B.各邊中線的交點

C.各邊垂線的交點

D.各邊垂直平分線的交點

D

【詳解】解：三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點.

故選D.

4.如果關于x的一元二次方程抬％2-(2Z+l)x+l=0有兩個不相等的實數根，那么么的

取值范圍是()

A.k>——B.抄一L且左。0C.k<-—1).k>—

444

—且Z。0

4

B

【分析】一元二次方程有兩個不相等的實數根必須滿足(D二次項系數不為零；(2)根的

判別式A=〃—4ac>0，由此即可求解.

【詳解】解：由題意知，原0,

???方程有兩個不相等的實數根，

即△=b1—4ac—(2k+1)2-4-k2=4-k+1>0.

解得：k>---,

4

:.k>且k^O.

4

故選B.

本題考查根據一元二次方程根的情況求參數，熟記判別式與根的關系是解題的關鍵.

5.某廠一月份生產某機器300臺，計劃二、三月份共生產980臺.設二、三月份每月的平均

增長率為x,根據題意列出的方程是()

A.300(1+x>=980B.300(1+x)+300(1+x)2=980

C300(1-x)2=980D.

300+300(1+x)+300(1+x)2=980

B

【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量x(1+增長率)，如果設

二、三月份每月的平均增長率為x,根據“計劃二、三月份共生產980臺”，即可列出方

程.

【詳解】根據等量關系：二月份的產量+三月份的產量=980,

可列方程300（1+力+300（1+4=98。-

故選B.

6.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上?點A、3的讀數分

別為86。、30°,則/AC8的大小為（）

【分析】先由題意求出圓心角/AOB的度數，再根據圓周角定理即可求得結果.

由題意得乙4。2=86。-30。=56。

故選B.

本題考查了圓周角定理，熟記圓周角的性質是解題關鍵.

7.下列四個命題中正確的是（）

①與圓有公共點的直線是該圓的切線；

②垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線；

③到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線；

④過圓直徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切線.

A.①②B.②@C.③④D.①④

【詳解】①中，與圓有兩個公共點的直線，是圓的割線，故錯誤;

②中，應經過此半徑的外端，故錯誤；

③中，根據切線的判定方法，正確；

④中，根據切線的判定方法，正確.

故選C.

點睛：要正確理解切線的定義：和圓有唯一公共點的直線是圓的切線.掌握切線的判定：

①經過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線，是圓的切線；②到圓心的距離等于半徑的

直線是該圓的切線.

8.平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯

形

C

【詳解】試題分析：因為圓內接四邊形的對角互補，即圓的內接四邊形對角和為180。，要

保證對角和為180。，A、C選項都符合，但正方形是特殊的矩形，所以該平行四邊形為矩

形.

故選C.

【考點】圓內接四邊形的性質；平行四邊形的性質；矩形的判定.

9.如圖，半徑為1的四個圓兩兩相切，則圖中陰影部分的面積為（）

A.4—7iB.8—71C.4+萬D.4—27r

A

【詳解】???半徑為1的四個圓兩兩相切，

???四邊形是邊長為2的正方形，圓的面積為必

陰影部分的面積=2x2-7r=4-7r,

故選A.

10.如圖，在平面直角坐標系中，OP的圓心是（2,a）（a>2）,半徑為2,函數y=x的圖象

被。P截得的弦AB的長為2g,則a的值是（）

B.2+273C.2百D.2+V2

【分析】作輔助線,根據垂徑定理得AE=0，勾股定理得PE=1,證明4PDE為等腰直角三角

形即可解題.

【詳解】解：如圖所示,過點P作PE±AB于E,點P作PC±x軸于C,交AB于D,連接PA.

???AB=2G

.?.AE=6

又PA=2,

根據勾股定理得PE=L

點D直線y=x上，故ND0C=45。，

又/DC0=90°,

ZODC=45°,

...NPDE=N0DC=45°,故NDPE=/PDE=45°,

?.DE=PE=1,PD=V^

又：0C=2,

；.DC=0C=2,

故a=PD+DC=2+J5.

故選D

本題考查了垂徑定理,勾股定理,等腰直角三角形的性質，中等難度，作輔助線,構造直角三角

形是解題關鍵.

二、填空題(每小題3分，共24分)

11.將一元二次方程2Mx-3)=1化成一般形式為

2x2-6x—1=()

【詳解】試題分析：直接去括號，得2/一6%=1，再將常數項移往左邊，化成一般式

*+for+c=0即可.

考點：一元二次方程的一般形式.

12.已知x=-2是方程/+如一6=0的一個根，則〃?的值是.

-1

【詳解】把％=-2代入:一6=0得

(-2)2-2/n-6=0,

解之得

m=-1.

13.如圖，點A、B、C在。O上，若NBAC=24。，則NOBC=—°.

【詳解】:NBOC、NBAC是同弧所對?的圓心角和圓周角，

.,.ZBOC=2ZBAC=48°.

14.如圖，ABCQ是。。的內接四邊形，A。為直徑，NC=130。，則NAC8的度數為

【分析】由是直徑，可得/ABO=90。，又由A8C。是。。的內接四邊形，ZC=

130°,可求得NA的度數，根據三角形內角和定理，即可求得答案.

【詳解】解：是直徑，

/.ZAB￡>=90°,

又：ABC。是。0的內接四邊形，ZC=130°,

=180°-130°=50°,

，NA￡>8=180°-90°-50°=40°.

故答案為40。.

此題考查了圓周角定理以及弧、弦與圓心角的關系，圓內接四邊形的性質.注意掌握數形

結合思想的應用.

15.如圖，直角坐標系中一條圓弧經過格點A,B,C,其中B點坐標為(3,4),則該弧所

在圓心的坐標是.

【詳解】試題分析：如圖所示，作弦AC和BC的垂直平分線，交點即為圓心.如圖所

示，則圓心D(1,1).

故答案為(1,1).

考點：L垂徑定理的應用；2.坐標與圖形性質；3.勾股定理.

16.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個根分別是m+1與2m—4,則2=.

4

【分析】利用直接開平方法得到X=,得到方程的兩個根互為相反數，所以

m+l+2m-4=0,解得m=l,則方程的兩個根分別是2與-2,則有J^=2,然后兩邊平方得

到2=4.

a

【詳解】由o?=伙a匕>0)得解得x=±J|,可知兩根互為相反數.

,一元二次方程ax?=b(ab>0)的兩個根分別是m+1與2m—4,

m+l+2m—4=0,解得m=l,

???一元二次方程ax?=b(ab>0)的兩個根分別是2和-2,

a

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三

個頂點A,B,C中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是

3<r<5.

【詳解】試題分析：根據勾股定理可求得BD=5,三個頂點A、B、C中至少有一個點在圓

內，點A與點D的距離最近，點A應該在圓內，所以r>3,三個頂點A、B、C中至少有一

個點在圓外，點B與點D的距離最遠，點B應該在圓外，所以r<5,所以r的取值范圍是

3<r<5.

考點：勾股定理：點和圓的位置關系.

18.如圖，在。。中，NACB=ND=60°,AC=3,則。。的直徑為.

2出

【詳解】如圖，作OE_LBC于E,連接OC.

A

VZA=ZD=60o,ZAC^=60°,

???△ABC是等邊三角形，

BC=AC=3,

'JOELBC,

,3

..BE=EC=—，

2

ZEOC=60°,

EC

sin60°=-----,

OC

OC-.y3，

???。直徑為2g.

點睛：本題考察了圓周角定理的推論，垂徑定理，解直角三角形.如圖，由圓周角定理可得

NA=NO=60。,從而△ABC是等邊三角形；作OELBC于E,連接。C.在RtZiOEC中，根

EC

據sin600=—，計算即可.

0C

三、解答題(共76分)

19.解方程：

(1)(X-5)2-9=0;

⑵%2-5x4-1=0(用配方法);

⑶3y2_i=6y

(4)9(X-2)2-6(X-2)+1=0

r_or_90、5+V215-V21...3+2百3-273

2-23-3

7

(4)%=%=§.

【詳解】試題分析：（1）移項后兩邊開方，求出方程的解即可；

（2）把常數項1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數-5的一半的平方;

（3）利用配方法解方程；

(4)設Ux-2,原方程轉化為加26+1=0,通過解該方程求得f的值；然后代入來求x的

值.

解:(1)(廠5)2-9=0,

(x-5>=9,

x-5=±3>

XI=8A2=2；

⑵N-5x+l=0,

x2-5x=-]

,2525

/-5》+—=-1+

4T

5,21

(^--)2=—

24

5+后

2

(3)3)心-1=6丹

y1-2y+1=g+1,

…2月

,一1=±----,

3

3+263-2百

yi=---------,>2=----------；

33

(4)設片廠2,原方程轉化為9/2-6z+l=0,

整理，得

(31)2=0,

解得片；,

3

所以廠2=工，

3

7

則X1=X2=-.

3

20.已知關于x的一元二次方程2f+乙一4一3=0.

(1)求證:方程有兩個不相等的實數根；

(2)請你給定一個Z值，使得方程的兩個根為有理數，并求出這兩個根.

見解析

【詳解】試題分析：(1)根據△=加-4收,求出△,從而可判定方程根的情況；

(2)本題答案不唯一，可讓常數項等于0求出左值，即芥3=0,"3

解：(1)E=k2-4x2(-k-3)

=k2+8k+24

=k2+8k+16+8

=(k+4)2+8

0(k+4)2>O,BP(k+4)2+8>0,

00>O

所以方程有兩個不等實根；

(2)當仁-3時，原方程變?yōu)?f—3x=0,

x(2x-3)=0,

,3

??11=0,X2~一

2

21.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(AB).

(1)用直尺和圓規(guī)作出AS所在圓的圓心0；(要求保留作圖痕跡，不寫作法)

⑵若48的中點C到弦A8的距離為2()m，AB^80m,求43所在圓的半徑?

【分析】(1)連結AC、BC,分別作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點

O,如圖1；

(2)連接OA,OC,0C交AB于D,如圖2,根據垂徑定理的推論，由C為RB的中點

得到OCLAB,AD=BD=-AB=40,則CD=20,設。。的半徑為r,在

2

RtOAD中利用勾股定理得到產=(r-20/+402,然后解方程即可.

【詳解】解：(1)如圖1,

圖1

點0為所求；

?.?C為的中點，

:.OC±AB,

：.AD=BD=-AB=40,

2

設。。的半徑為r,則。4=r，OD=OD-CD=r-M

在次A04。中，。42=。02+4/52,

/.r2=(r-20)2+402,解得r=5(),

即A8所在圓的半徑是50m.

本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用，在利用數學知識解決實際問題時，要善于把實際

問題與數學中的理論知識聯系起來，能將生活中的問題抽象為數學問題.

22.如圖，A8是。。的直徑，弦CO與相交于點￡，ZACD=52°,

ZADC=26°.求NCEB的度數.

DB

116°

【詳解】試題分析：首先連接8。由AB是。。直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可

得NAQB=90。，又由圓周角定理，可求得NB的度數，繼而求得的度數，然后由三

角形內角和定理，求得答案.

解：連接8D,

是。0直徑，

ZADB=90°,

"：NB=NACD=52°,

：.ZBAD=90°-ZB=3S°,

,?ZADC=26°,

：.ZCEB=ZAED=1800-ZBAD-ZADC=]l6°

23.為了幫助貧困家庭脫困，精準扶貧小組幫助一農戶建立如圖所示的長方形養(yǎng)雞場，長

方形的面積為45m2（分為兩片），養(yǎng)雞場的一邊靠著一面長為14m的墻，另幾條邊用總長

為22m的竹籬笆圍成，每片養(yǎng)雞場的前面各開一個寬1m的門.求這個養(yǎng)雞場的長與寬.

14m

1////////〃

D

B11葉-■]Im\C

AB=5BC=9

【分析】設雞場的寬為初?，則長為（22+2-3%）m,根據雞場的面積列出等量關系，解方程

組即可，注意雞場的長小于圍墻的長.

【詳解】設雞場的寬為"小則長為（22+2-3x）m,由題意可得：

x(22+2-3x)=45

解得：x=3或x=5.

當戶3時，22+2-3x=15>14,不合題意，舍去；

當x=5時，22+2-3x=9,經檢驗符合題意.

答：這個養(yǎng)雞場的長3C為9加，寬AB為5m.

根據實際問題中的條件列方程組時，要注意抓住題目中的一些關鍵性詞語，找出等量關

系，列出方程組.注意方程的解要符合題意.

24.如圖，四邊形OBCO中的三個頂點在。。上，A是優(yōu)弧8。上的一個動點(不與點

B、。重合).

(1)當圓心。在內部，NA8O+NADO=60°時，NBOD=.

(2)當圓心。在內部，四邊形為平行四邊形時，求NA的度數；

(3)當圓心。在的。外部，四邊形OBCD為平行四邊形時，請直接寫出NABO與

NADO的數量關系.

(1)120；(2)60；(3)\ZABO-ZADO\=60°.

【詳解】試題分析：(1)連接如圖1,根據等腰三角形的性質得

ZOAB=ZABO,ZOAD=ZADO,則/OAB+NOAZ)=/A8O+/AOO=60。，然后根據圓周

角定理易得NBOD=2/84O=120。；

(2)根據平行四邊形的性質得/BOD=/BCZ),再根據圓周角定理得/8OO=2/A,則

ZBCD=2ZA,然后根據圓內接四邊形的性質由/8CO+NA=180。，易計算出NA的度數;

(3)討論：當NOAB比/OD4小時，如圖2,與(1)一樣

ZOAB=ZABO,ZOAD=ZADO,則由(2)得

ZBAD=60°,

所以/AOO-NABO=60。；當/OAB比NOD4大時，用樣方法得到NABO-NAOO=60。.

解：⑴連接。4如圖1,

圖1

\'OA=OB,OA=OD,

"：ZOAB=ZABO,ZOAD^ZADO,

：.ZOAB+ZOAD^ZABO+ZADO=60",,BPZBAZ>60",

；?NBOD=2/BAD=120°；

故答案為120°；

(2)二?四邊形08co為平行四邊形，

NB0D=NBCD,

ZB0D=2ZA,

：.ZBCD=2ZA,

'：ZBCD+ZA=\S00,g[J3ZA=180°,

AZA=60°；

(3)當NQ48比NODA小時，如圖2,

圖2

,/OA=OB,OA=OD,

"：ZOAB^ZABO,ZOAD^ZADO,

：.ZOAD-ZOAB^ZADO-ZABO=ZBAD,

由(2)得/54。=60。，

AZADO-ZABO=60°；

當NOAB比N0D4大時，

同理可得/ABO-NA￡)O=60°,

綜上所述,|NAH9-NADq=60。.

25.某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200

件；第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷

售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格；第

二個月結束后，批發(fā)商將對剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉是單價為40元，設第二個月

單價降低x元.

(1)填表：(不需化簡)

時間第一個月第二個月清倉時

單價(元)8040

銷售量(件)200

(2)如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元?

解：(1)80-X,200+10%,800-200-(200+10%)；(2)70元.

【詳解】解：(1)由題意得80-x；200+1Ox；800-200-(200+10x);

(2)根據題意，得

80x200+(80-x)(200+10%)+40[800-200-(200+10%)J-50x800=9000.

整理，得r-20犬+100=0,解這個方程得加=足=10,

當410時，80-A-=70>50.

答：第二個月的單價應是70元.

26.如圖，在AABC中，ZACB=9Q°，。是A8的中點，以。。為直徑的。。交AABC

的邊于點G、F、E

(1)求證:四邊形BDER是平行四邊形；

(2)若NA=35°,求OG的度數.

(1)見解析；(2)40°

【詳解】試題分析：(1)連接。F,由直角三角形斜邊上的中線性質得出B￡>=CD=A。，由

圓周角定理可知。產J_8C,證出。E〃BC,證明。E是AABC的中位線，由三角形中位線定

理得出DE=&BC=BF,即可得出結論；

（2）連接0G,由等腰三角形的性質得出NDC4=/A=35。，由三角形的外角性質得出

ZODG=ZA+ZDCA=10°,由等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出N￡>OG=40。，即

可得出結果.

解：（1）連接逢F

因為44cB=90。，。是AB的中點

所以30=8=4）

又因為CO是。。的直徑

所以ZDEA=ZDEC=ZDFC=90°

所以NDEA=NACB,DF1BC

所以DE//BC,BF=CF

所以是AA8C的中位線

所以DE=LBC=BF

2

所以四邊形BO所是平行四邊形.

⑵連接OG

因為CD=A￡>

所以NDC4=ZA=35°

所以ZODG=ZA+ZDCA=70°

因為8=OG

所以ZOGD=ZODG=70°

所以ZDOG=180°—2x70°=40°

即J.麗的度數為40°.

27.如圖，點C為AAB。外接圓上的一動點（點C不在50上，且不與點B,。重合），

ZACB=ZABD=45°.

（1）求證：BO是該外接圓的直徑；

（2）連結CD,求證：”AC=BC+CD；

（3）若△ABC關于直線43的對稱圖形為△AB",連接。M,試探究

DM2,AM2,三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論.

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）0M2=8M2+2MA2,理由詳見解析

【分析】（1）易證AAB。為等腰直角三角形，即可判定8。是該外接圓的直徑；

（2）如圖所示作C4_LAE,延長C8交4E于點E,再證AACE為等腰直角三角形，可得

AC=AE,再由勾股定理即可得CE=0AC；利用SAS判定AABE絲△AOC,可得

BE=DC,所以CE=BE+BC,所以CE=DC+HC=近AC；

（3）延長MB交圓于點E,連結AE、DE,因/8E4=/4CB=/BMA=45。，AM4E中有

MA=AE,ZMAE=90°,由勾股定理可得十.2=2肱干="彥

M/T+AE2=2M42=ME"再證N8E￡>=90。，在Rt^MED中，有

222

ME+DE=MD，所以2M4?+MB^=MD\

【詳解】解：⑴?.?弧48=弧48,

/./ADB=NACB,

又ZACB=ZABD=45°,

：.乙480=乙4。2=45。，

：.ZBAD=90°,

：.MBD為等腰直角三角形，

???B。是該外接圓的直徑；

（2）如圖所示作CA_LAE,延長CB交AE于點E,

VZACB=45°,CALAE,

.二△ACE為等腰直角三角形，

C.AC^AE,

由勾股定理可知CE^=AC1+AE1=2AC1,

:.CE=gc，

由（1）可知為等腰直角三角形，

.'.AB=AD,ZBAD=90°,

又?.?/￡4C=90°,

/.ZEAB+ZBAC=ZDAC+NBAC,

；./EAB=NDAC,

AB=AD

...在AABE和AAOC中，ZEAB=ZDAC,

AE=AC

/./^ABE^AADC(SAS),

：.BE=DC,

：.CE=BE+BC^DC+BC^正AC，

延長MB交圓于點E,連結AE、DE,

?：NBEA=NACB=NBMA=45。,

：.在AMAE中有MA=AE,ZMAE=90°,

M^+AE2=2MA2=ME2>

又,.?AC=AM=AE,

?*-AC=AE>

又?AD=AB'

AC-AD+CE=AE-AB+CE>

即DE=BC，

:.DE=BC=MB,

???8。為直徑，

ZBED=90°,

在R/AMED中，有ME?+DE?=MD?，

2MA2+MB2=MD2-

28.如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點B,C,經過B,C兩點的拋物線

y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為A,頂點為P,且對稱軸是直線x=2.

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)請問在拋物線上是否存在點Q,使得以點B,C,Q為頂點的三角形為直角三角形？

若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)過S(0,4)的動直線I交拋物線于M,N兩點，試問拋物線上是否存在定點T,使

得不過定點T的任意直線I都有NMTN=90。？若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請

說明理由.

(1)y=x2-4x+3；(2)存在；(3)存在點T(4,3)使得不過定點T的任意直線I都有

ZMTN=90°.

【詳解】試題分析：(1)根據坐標軸