高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 3-1-4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

3.1.4雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘1．對(duì)于空間中的三個(gè)向量a，b，2a－b.它們一定是A．共面向量B．共線向量C．不共面向量D．以上均不對(duì)答案A2．若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A，B，C互不重合且無三點(diǎn)共線，則能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成為空間一組基底的關(guān)系是()．A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))解析對(duì)于選項(xiàng)A，由結(jié)論eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面；對(duì)于B，D選項(xiàng)，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，故只有選項(xiàng)C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面．答案C3．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，則C的坐標(biāo)是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))解析設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x，y，z)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y，z)．又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－4)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(6,5)，y＝－eq\f(4,5)，z＝－eq\f(8,5).答案A4．設(shè){i，j，k}是空間向量的一個(gè)單位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，則向量a，b的坐標(biāo)分別為____________．解析a，b的坐標(biāo)即為i，j，k前面的系數(shù)，故a的坐標(biāo)為(2，－4，5)，b的坐標(biāo)為(1，2，－3)．答案(2，－4，5)(1，2，－3)5．設(shè)命題p：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，命題q：a、b、c是三個(gè)非零向量，則命題p是q的________條件．解析{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則a，b，c不共面，所以a，b，c是三個(gè)非零向量，但反之不成立，故p是q的充分不必要條件．答案充分不必要6．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別以射線OB，OC，AA1的指向?yàn)閤軸、y軸、z試寫出正方體八個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解設(shè)i，j，k分別是與x軸、y軸、z軸的正方向方向相同的單位坐標(biāo)向量．因?yàn)榈酌嬲叫蔚闹行臑镺，邊長(zhǎng)為2，所以O(shè)B＝eq\r(2).由于點(diǎn)B在x軸的正半軸上，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\r(2)i，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(eq\r(2)，0，0)．同理可得C(0，eq\r(2)，0)，D(－eq\r(2)，0，0)，A(0，－eq\r(2)，0)．又eq\o(OB1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\r(2)i＋2k，所以eq\o(OB1,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，2)．即點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(eq\r(2)，0，2)．同理可得C1(0，eq\r(2)，2)，D1(－eq\r(2)，0，2)，A1(0，－eq\r(2)，2)．綜合提高（限時(shí)25分鐘）7．已知空間四邊形OABC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))為()．A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c解析如圖所示，連接ON，AN，則eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－2a＋b＋c)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案C8．已知點(diǎn)A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為()．A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)解析8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k∴點(diǎn)A在{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12，14，10)．答案A9．設(shè)a，b，c是三個(gè)不共面的向量，現(xiàn)在從①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中選出使其與a，b構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則可以選擇的向量為________．解析構(gòu)成基底只要三向量不共面即可，這里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以選擇的．答案③④⑤(答案不唯一，也可以有其它的選擇)10．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點(diǎn)，若記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))＝c，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)(a＋b－c)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b11．如圖所示，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA′＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).解連接AC，AD′.(1)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋2b＋c)．(3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.12．(創(chuàng)新拓展)已知{i，j，k}是空間的一個(gè)基底設(shè)a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.試問是否存在實(shí)數(shù)λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，