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3.1.4雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘1.對(duì)于空間中的三個(gè)向量a,b,2a-b.它們一定是A.共面向量B.共線向量C.不共面向量D.以上均不對(duì)答案A2.若向量eq\o(MA,\s\up6(→)),eq\o(MB,\s\up6(→)),eq\o(MC,\s\up6(→))的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A,B,C互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線,則能使向量eq\o(MA,\s\up6(→)),eq\o(MB,\s\up6(→)),eq\o(MC,\s\up6(→))成為空間一組基底的關(guān)系是().A.eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))=eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))=2eq\o(MB,\s\up6(→))-eq\o(MC,\s\up6(→))解析對(duì)于選項(xiàng)A,由結(jié)論eq\o(OM,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))(x+y+z=1)?M,A,B,C四點(diǎn)共面知,eq\o(MA,\s\up6(→)),eq\o(MB,\s\up6(→)),eq\o(MC,\s\up6(→))共面;對(duì)于B,D選項(xiàng),易知eq\o(MA,\s\up6(→)),eq\o(MB,\s\up6(→)),eq\o(MC,\s\up6(→))共面,故只有選項(xiàng)C中eq\o(MA,\s\up6(→)),eq\o(MB,\s\up6(→)),eq\o(MC,\s\up6(→))不共面.答案C3.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→)),則C的坐標(biāo)是().A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(6,5),-\f(4,5),-\f(8,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5),-\f(4,5),-\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(6,5),-\f(4,5),\f(8,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5),\f(4,5),\f(8,5)))解析設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y,z),則eq\o(OC,\s\up6(→))=(x,y,z).又eq\o(AB,\s\up6(→))=(-3,-2,-4),eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→)),∴x=-eq\f(6,5),y=-eq\f(4,5),z=-eq\f(8,5).答案A4.設(shè){i,j,k}是空間向量的一個(gè)單位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,則向量a,b的坐標(biāo)分別為_(kāi)___________.解析a,b的坐標(biāo)即為i,j,k前面的系數(shù),故a的坐標(biāo)為(2,-4,5),b的坐標(biāo)為(1,2,-3).答案(2,-4,5)(1,2,-3)5.設(shè)命題p:{a,b,c}為空間的一個(gè)基底,命題q:a、b、c是三個(gè)非零向量,則命題p是q的________條件.解析{a,b,c}為空間的一個(gè)基底,則a,b,c不共面,所以a,b,c是三個(gè)非零向量,但反之不成立,故p是q的充分不必要條件.答案充分不必要6.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,分別以射線OB,OC,AA1的指向?yàn)閤軸、y軸、z試寫(xiě)出正方體八個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解設(shè)i,j,k分別是與x軸、y軸、z軸的正方向方向相同的單位坐標(biāo)向量.因?yàn)榈酌嬲叫蔚闹行臑镺,邊長(zhǎng)為2,所以O(shè)B=eq\r(2).由于點(diǎn)B在x軸的正半軸上,所以eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\r(2)i,即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(eq\r(2),0,0).同理可得C(0,eq\r(2),0),D(-eq\r(2),0,0),A(0,-eq\r(2),0).又eq\o(OB1,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(BB1,\s\up6(→))=eq\r(2)i+2k,所以eq\o(OB1,\s\up6(→))=(eq\r(2),0,2).即點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(eq\r(2),0,2).同理可得C1(0,eq\r(2),2),D1(-eq\r(2),0,2),A1(0,-eq\r(2),2).綜合提高(限時(shí)25分鐘)7.已知空間四邊形OABC,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),且eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,eq\o(OC,\s\up6(→))=c,用a,b,c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))為().A.eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)cB.eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)cC.-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)cD.-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b-eq\f(1,2)c解析如圖所示,連接ON,AN,則eq\o(ON,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(b+c),eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))-2eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(-2a+b+c)=-a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)c,所以eq\o(MN,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(ON,\s\up6(→))+eq\o(AN,\s\up6(→)))=-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)c.答案C8.已知點(diǎn)A在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(8,6,4),其中a=i+j,b=j(luò)+k,c=k+i,則點(diǎn)A在基底{i,j,k}下的坐標(biāo)為().A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)解析8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k∴點(diǎn)A在{i,j,k}下的坐標(biāo)為(12,14,10).答案A9.設(shè)a,b,c是三個(gè)不共面的向量,現(xiàn)在從①a+b;②a-b;③a+c;④b+c;⑤a+b+c中選出使其與a,b構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則可以選擇的向量為_(kāi)_______.解析構(gòu)成基底只要三向量不共面即可,這里只要含有向量c即可,故③④⑤都是可以選擇的.答案③④⑤(答案不唯一,也可以有其它的選擇)10.如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分別為AA1,B1C的中點(diǎn),若記eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,eq\o(AA,\s\up6(→))=c,則eq\o(DE,\s\up6(→))=________(用a,b,c表示).解析eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\o(DA1,\s\up6(→))+eq\o(A1E,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))+eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))+eq\o(A1C,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))+eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AA1,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)c+eq\f(1,2)(a+b-c)=eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b.答案eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b11.如圖所示,在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,AA′=c,P是CA′的中點(diǎn),M是CD′的中點(diǎn),N是C′D′的中點(diǎn),點(diǎn)Q在CA′上,且CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量:(1)eq\o(AP,\s\up6(→));(2)eq\o(AM,\s\up6(→));(3)eq\o(AN,\s\up6(→));(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).解連接AC,AD′.(1)eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AA′,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AA′,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(a+b+c).(2)eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AD′,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AA′,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(a+2b+c).(3)eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up6(→))+eq\o(AD′,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AA′,\s\up6(→)))+(eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AA′,\s\up6(→)))]=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(AD,\s\up6(→))+2eq\o(AA′,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)a+b+c.(4)eq\o(AQ,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CQ,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)))=eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))=eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))=eq\f(1,5)a+eq\f(1,5)b+eq\f(4,5)c.12.(創(chuàng)新拓展)已知{i,j,k}是空間的一個(gè)基底設(shè)a1=2i-j+k,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k.試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ,μ,υ,使a4=λa1+μa2+υa3成立?如果存在,
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