2024屆甘肅省武威市民勤縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆甘肅省武威市民勤縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．3．平面上有個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn)，它們將平面分成塊區(qū)域，有，，，則（）．A． B．C． D．4．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．5．若向量，滿足，與的夾角為，則等于（）A． B． C．4 D．126．如圖，在矩形中，在線段上，且，將沿翻折．在翻折過(guò)程中，記二面角的平面角為，則的最大值為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．8．雙曲線的漸近線的斜率是()A． B． C． D．9．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬(wàn)斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷(xiāo)售額函數(shù)是（是蓮藕種植量，單位：萬(wàn)斤；銷(xiāo)售額的單位：萬(wàn)元，是常數(shù)），若種植2萬(wàn)斤，利潤(rùn)是2.5萬(wàn)元，則要使利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕（）A．8萬(wàn)斤 B．6萬(wàn)斤 C．3萬(wàn)斤 D．5萬(wàn)斤10．已知，是第四象限角，則（）A． B． C． D．711．在中,為銳角,,則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上都不對(duì)12．設(shè)x0是函數(shù)f（x）＝lnx+x﹣4的零點(diǎn)，則x0所在的區(qū)間為（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的值為_(kāi)______．14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)___．15．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則____.16．在(2x2-1x三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，．的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（且），點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說(shuō)明是什么曲線；（2）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，已知面積的最大值為，求的值.19．（12分）已知函數(shù)，．（1）令，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）令的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)在，數(shù)集上都有定義，對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)或成立，則稱(chēng)是數(shù)集上的限制函數(shù)；令函數(shù)，求其在上的限制函數(shù)的解析式，并求在上的單調(diào)區(qū)間．20．（12分）已知橢圓的離心率為，順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所得到的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不垂直于坐標(biāo)軸的直線與相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且直線的斜率成等比數(shù)列，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.21．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）寫(xiě)出的值，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的結(jié)論.22．（10分）已知函數(shù).證明：；已知，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

代入特殊值對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證排除，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】若，符合題意，由此排除C,D兩個(gè)選項(xiàng).若，則不符合題意，排除B選項(xiàng).故本小題選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分段函數(shù)函數(shù)值比較大小，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

利用直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義離心率計(jì)算公式即可得出．【題目詳解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直線的斜率為故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三邊關(guān)系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).3、B【解題分析】

分析可得平面內(nèi)有個(gè)圓時(shí),它們將平面分成塊,再添加第個(gè)圓時(shí),因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn),每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn),故會(huì)增加個(gè)圓.再求和即可.【題目詳解】由題,添加第個(gè)圓時(shí),因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn),每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn),故會(huì)增加個(gè)圓.又,故.即.累加可得.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式的方法,需要畫(huà)圖分析進(jìn)行理解.或直接計(jì)算等利用排除法判斷.屬于中檔題.4、C【解題分析】，選C.5、B【解題分析】

將平方后再開(kāi)方去計(jì)算模長(zhǎng)，注意使用數(shù)量積公式.【題目詳解】因?yàn)?，所以，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的模長(zhǎng)計(jì)算，難度一般.對(duì)于計(jì)算這種形式的模長(zhǎng)，可通過(guò)先平方再開(kāi)方的方法去計(jì)算模長(zhǎng).6、A【解題分析】

做輔助線，構(gòu)造并找到二面角所對(duì)應(yīng)的平面角，根據(jù)已知可得，進(jìn)而求得其最大值.【題目詳解】在平面圖中過(guò)A作DM的垂線并延長(zhǎng)，交于,交于.在翻折過(guò)程中A點(diǎn)在平面BCD上的投影的軌跡就是平面圖中的AE.設(shè)翻折的角度為，在平面BCD投影為，過(guò)作于F，則即為二面角所對(duì)的平面角.然后有，.故=，求導(dǎo)得,設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以即時(shí)，有最大值，此時(shí)=,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題的解題關(guān)鍵在于找到二面角的平面角,并且用了求導(dǎo)數(shù)的方法求最大值，有一定的難度.7、C【解題分析】試題分析：因?yàn)殡p曲線的離心率為,所以,又因?yàn)殡p曲線中,所以,而焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為,所以此雙曲線的漸近線方程為,故選C.考點(diǎn)：1、雙曲線的離心率；2、雙曲線漸近方程.8、C【解題分析】

直接利用漸近線公式得到答案.【題目詳解】雙曲線漸近線方程為：答案為C【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的漸近線方程，屬于簡(jiǎn)單題.9、B【解題分析】

銷(xiāo)售的利潤(rùn)為，利用可得，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性后可得利潤(rùn)的最大值.【題目詳解】設(shè)銷(xiāo)售的利潤(rùn)為，由題意，得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，利潤(rùn)最大，故選B.【題目點(diǎn)撥】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．10、A【解題分析】

通過(guò)和差公式變形，然后可直接得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，是第四象限角，故，而，故答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查和差公式的運(yùn)用，難度不大.11、A【解題分析】分析：由正弦定理化簡(jiǎn)并結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.詳解：，則由正弦定理可得：，即，則當(dāng)時(shí)，符合題意，故選：A.點(diǎn)睛：(1)三角形的形狀按邊分類(lèi)主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類(lèi)主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等．判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．(2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理．12、C【解題分析】

由函數(shù)的解析式可得，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，求得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，得到答案．【題目詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的零點(diǎn)，由，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，其中解答中熟記零點(diǎn)的存在定理，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

根據(jù)程序框圖運(yùn)行程序，直到滿足，輸出結(jié)果即可.【題目詳解】按照程序框圖運(yùn)行程序，輸入，則，，不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；，，滿足，輸出結(jié)果：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果，屬于?？碱}型.14、2【解題分析】

根據(jù)約束條件得到可行域，令，則取最大值時(shí)，在軸截距最大；通過(guò)平移可知過(guò)時(shí)即可，代入求得最大值.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：令，則取最大值時(shí)，在軸截距最大通過(guò)平移可知當(dāng)過(guò)時(shí)，在軸截距最大本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃求解最值的問(wèn)題，關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為截距最值的求解問(wèn)題，屬于?？碱}型.15、3【解題分析】

由正弦定理和已知，可以求出角的大小，再結(jié)合已知，可以求出的值，根據(jù)余弦定理可以求出的值.【題目詳解】解:由正弦定理及得，，，，又，，，由余弦定理得：，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理、考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16、240【解題分析】

直接利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得到答案.【題目詳解】(2當(dāng)r=2時(shí)，展開(kāi)式為：C6含x7的項(xiàng)的系數(shù)是故答案為240【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得解得，則及可求；（2）由（1）可得，裂項(xiàng)求和即可試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以有，解得，所以?（2）由（1）知，，所以，所以，即數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式．裂項(xiàng)求和18、（1）見(jiàn)解析；（2）2【解題分析】分析：（1）設(shè)，，根據(jù)，推出，代入到，消去參數(shù)即可求得曲線的方程及其表示的軌跡；（2）法1：先求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再求出直線的普通方程，再根據(jù)題設(shè)條件設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合面積的最大值為，即可求得的值；法2：將，代入，即可求得，再根據(jù)三角形面積公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合面積的最大值為，即可求得的值.詳解：（1）設(shè)，，由得.∴∵在上∴即（為參數(shù)），消去參數(shù)得.∴曲線是以為圓心，以為半徑的圓.（2）法1：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.∴直線的普通方程為，即.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離.∴當(dāng)時(shí)，∴的最大值為∴.法2：將，代入并整理得：，令得.∴∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，依題意，∴.點(diǎn)睛：本題主要考查把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，在引進(jìn)參數(shù)和消去參數(shù)的過(guò)程中，要注意保持范圍的一致性；在參數(shù)方求最值問(wèn)題中，將動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件列出三角函數(shù)式，借助于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求最值，注意求最值時(shí)，取得的條件能否成立.19、（1）（2）（3）增區(qū)間為在【解題分析】

（1）由分段函數(shù)求值問(wèn)題，討論落在哪一段中，再根據(jù)函數(shù)值即可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由分段函數(shù)值域問(wèn)題，由函數(shù)的值域可得，再求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）先閱讀題意，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【題目詳解】解:（1）由,且時(shí)，當(dāng)時(shí),有時(shí),,與題設(shè)矛盾,當(dāng)時(shí),有時(shí),,與題設(shè)相符,故實(shí)數(shù)的取值范圍為:;（2）當(dāng)，，因?yàn)?，所以，即，?dāng)，，因?yàn)?，所以，即，又由題意有，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）由的導(dǎo)函數(shù)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在這一點(diǎn)處切線的斜率，由限制函數(shù)的定義可知，由，即函數(shù)在為增函數(shù)，故函數(shù)在為增函數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)求值問(wèn)題、分段函數(shù)值域問(wèn)題及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題.20、（1）；（2），.【解題分析】

（1）由橢圓離心率和四邊形的面積公式，求出和的值，即可求得橢圓的方程；（2）若設(shè)直線，，則由直線的斜率成等比數(shù)列，得，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，可求出的值.【題目詳解】（1），四邊形的面積，，橢圓（2）設(shè)直線，聯(lián)立，消去得：由，得，，或（a）當(dāng)時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故線段的中點(diǎn)即為原點(diǎn)；（b）當(dāng)時(shí)，，設(shè)則消去，將代入得注意到判別式，故，所以綜合（a）（b），所求軌跡方程為，或者寫(xiě)為，【題目點(diǎn)撥】此題考查的是橢圓方程的求解和直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.21、（1），，，猜想（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）依遞推公式計(jì)算，并把各分子都化為3，可歸納出；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【題目詳解】解：（1），，∴，，，猜想（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，由知猜想成立；②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即則∴時(shí)，猜想成立，根據(jù)①②可知，猜想對(duì)一切正整數(shù)都成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于基礎(chǔ)題．在用