新疆克拉瑪依市北師大克拉瑪依附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末預測試題含解析

新疆克拉瑪依市北師大克拉瑪依附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末預測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．2．用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，共有種不同的涂色方案．A．420 B．180 C．64 D．253．設表示直線，是平面內的任意一條直線，則“”是“”成立的（）條件A．充要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要4．6名同學安排到3個社區(qū)，，參加志愿者服務，每個社區(qū)安排兩名同學，其中甲同學必須到社區(qū)，乙和丙同學均不能到社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．5 B．6 C．9 D．125．某同學將收集到的6組數(shù)據(jù)對，制作成如圖所示的散點圖（各點旁的數(shù)據(jù)為該點坐標），并由這6組數(shù)據(jù)計算得到回歸直線：和相關系數(shù)．現(xiàn)給出以下3個結論：①；②直線恰過點；③．其中正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③6．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面，，，，則球的體積為（）A． B． C． D．7．已知復數(shù)z=1+i1-i(i是虛數(shù)單位)，則A．-i B．-1 C．i D．8．函數(shù)在上的平均變化率是()A．2 B． C． D．9．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A．B．C．D．10．在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則的面積為()A． B． C． D．11．從位男生，位女生中選派位代表參加一項活動，其中至少有兩位男生，且至少有位女生的選法共有()A．種 B．種C．種 D．種12．函數(shù)在定義域內可導，其圖象如圖所示，記的導函數(shù)為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內角所對的邊分別為，且的外接圓半徑為1，若，則的面積為______．14．已知為實數(shù)，若復數(shù)是純虛數(shù)，則__________．15．從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）16．已知，向量滿足，則的最大值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米。要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個桶圓形狀（如圖）。（1）若最大拱高為6米，則隧道設計的拱寬是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，則應如何設計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：橢圓的面積公式為，本題結果拱高和拱寬精確到0.01米，土方量精確到1米3）19．（12分）如圖，在中，角所對的邊分別為，若.(1)求角的大??；(2)若點在邊上，且是的平分線，，求的長.20．（12分）已知函數(shù)，，若在處與直線相切．（1）求的值；（2）求在上的極值．21．（12分）設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.22．（10分）已知直線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點的直角坐標為，直線與曲線C的交點為，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：利用定積分，將已知化簡，即可比較大?。斀猓河深}意，可得，，，則，所以，故選A．點睛：本題主要考查了定積分的運算，其中根據(jù)微積分基本定理，求解的值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．2、B【解題分析】分析：由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，C有3種，D有3種涂法，根據(jù)乘法原理可得結論．詳解：由題意，由于規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進行，區(qū)域A有5種涂法，B有4種涂法，C有3種，D有3種涂法∴共有5×4×3×3=180種不同的涂色方案．故答案為：B.點睛：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．3、A【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可?！绢}目詳解】因為是平面內的任意一條直線，具有任意性，若，由線面垂直的判斷定理，則，所以充分性成立；反過來，若，是平面內的任意一條直線，則，所以必要性成立，故“”是“”成立的充要條件。故選：A【題目點撥】本題主要考查了充分條件、必要條件的判斷，意在考查考生對基本概念的掌握情況。4、C【解題分析】分析：該題可以分為兩類進行研究，一類是乙和丙之一在A社區(qū)，另一在B社區(qū)，另一類是乙和丙在B社區(qū)，計算出每一類的數(shù)據(jù)，然后求解即可.詳解：由題意將問題分為兩類求解：第一類，若乙與丙之一在甲社區(qū)，則安排種數(shù)為種；第二類，若乙與丙在B社區(qū)，則A社區(qū)還缺少一人，從剩下三人中選一人，另兩人去C社區(qū)，故安排方法種數(shù)為種；故不同的安排種數(shù)是種，故選C.點睛：該題考查的是有關分類加法計數(shù)原理，在解題的過程中，對問題進行正確的分類是解題的關鍵，并且需要將每一類對應的數(shù)據(jù)正確算出.5、A【解題分析】

結合圖像，計算，由求出，對選項中的命題判斷正誤即可得出結果.【題目詳解】由圖像可得，從左到右各點是上升排列的，變量具有正相關性，所以，①正確；由題中數(shù)據(jù)可得:，，所以回歸直線過點，②正確；又，③錯誤.故選A【題目點撥】本題主要考查回歸分析，以及變量間的相關性，熟記線性回歸分析的基本思想即可，屬于?？碱}型.6、B【解題分析】

根據(jù)所給關系可證明，即可將三棱錐可補形成長方體，即可求得長方體的外接球半徑，即為三棱錐的外接球半徑，即可得球的體積.【題目詳解】因為平面BCD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，則．由此可得三棱錐可補形成長方體如下圖所示：設長方體的外接球半徑為，則，所以球的體積為，故選:B.【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球體積的求法，將三棱錐補全為棱柱是常用方法，屬于中檔題.7、D【解題分析】

先利用復數(shù)的除法將復數(shù)z表示為一般形式，于是可得出復數(shù)z的虛部。【題目詳解】∵z=1+i1-i=1+i21-i1+i【題目點撥】本題考查復數(shù)的概念，解決復數(shù)問題，一般利用復數(shù)的四則運算律將復數(shù)表示為一把形式，考查計算能力，屬于基礎題。8、C【解題分析】

根據(jù)平均變化率的計算公式列式，計算出所求的結果.【題目詳解】依題意，所求平均變化率為，故選C.【題目點撥】本小題主要考查平均變化率的計算，考查運算求解能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，若，函數(shù)的對稱軸是，所以，故選B.10、C【解題分析】

設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，設，由，所以，結合韋達定理可得，，由可得解.【題目詳解】因為拋物線的焦點為所以，設直線的方程為，將代入，可得，設，則，，因為，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面積，故選C．【題目點撥】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，考查了設而不求的思想，由轉化為是解題的關鍵，屬于基礎題.11、B【解題分析】

由題意知本題要求至少有兩位男生，且至少有1位女生，它包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生兩種情況，寫出當選到的是兩個男生，兩個女生時和當選到的是三個男生，一個女生時的結果數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結果．解：∵至少有兩位男生，且至少有1位女生包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生．當選到的是兩個男生，兩個女生時共有C52C42=60種結果，當選到的是三個男生，一個女生時共有C53C41=40種結果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有60+40=100種結果，故選B．12、A【解題分析】

根據(jù)導數(shù)大于0時函數(shù)單調遞增，導數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減，確定函數(shù)的單調性【題目詳解】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調減區(qū)間，從而有解集為，故選：．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，解題的關鍵是識圖，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

分析：由正弦定理可把其中一邊化為角，從而由及公式求得面積.

詳解：由題意得，即，∴，故答案為.點睛：正弦定理：，利用它把三角形的邊角與外接圓半徑建立聯(lián)系，這樣可得三角形面積為.14、-3【解題分析】

利用復數(shù)的除法、乘法運算整理可得：，利用復數(shù)是純虛數(shù)列方程可得：，問題得解．【題目詳解】若復數(shù)是純虛數(shù)，則解得：故填：【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的乘法、除法運算，還考查了純虛數(shù)的概念及方程思想，屬于基礎題．15、【解題分析】

首先想到所選的人中沒有女生，有多少種選法，再者需要確定從人中任選人的選法種數(shù)，之后應用減法運算，求得結果.【題目詳解】根據(jù)題意，沒有女生入選有種選法，從名學生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是.【題目點撥】該題是一道關于組合計數(shù)的題目，并且在涉及到“至多、至少”問題時多采用間接法，一般方法是得出選人的選法種數(shù)，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運算求解.16、【解題分析】試題分析：由題意得，由若滿足知，，當且僅當與同向且時，取等號，所以，而有基本不等式知，，所以，當且當即時取等號，故的最大值為．考點：1.向量加法的平行四邊形法則；2.基本不等式.【方法點睛】本題主要考查的是向量模的運算性質，向量的平行四邊形法則及其向量垂直的性質，屬于難題，向量的模的最值運算，一般要化為已知量的關系式，常用的工具，在平行四邊形中，再結合基本不等式可得當時，,,即取最大值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）分別在、、三種情況下去掉絕對值，得到不等式，解不等式求得結果；（Ⅱ）將方程變?yōu)椋诸愑懻摰玫降膱D象，通過數(shù)形結合求得取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）當時，，可得：當時，，解得：當時，，則無解綜上所述：不等式的解集為：（Ⅱ）由方程可變形為：令，則作出函數(shù)的圖象如下圖所示：結合圖象可知：，又，【題目點撥】本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)方程根的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關鍵是能夠將方程根個數(shù)問題轉化為直線與函數(shù)交點的個數(shù)問題，通過數(shù)形結合的方式來進行求解.18、(1)33.26；(2)拱高約為6.36米、拱寬約為31.11米時，土方工程量最?。钚⊥练搅繛榱⒎矫?【解題分析】

（1）根據(jù)題意，建立坐標系，可得的坐標并設出橢圓的方程，將與點坐標代入橢圓方程，得，依題意，可得，計算可得答案；（2）根據(jù)題意，設橢圓方程為，將代入方程可得，結合基本不等式可得，分析可得當且，時，，進而分析可得答案．【題目詳解】（1）如圖建立直角坐標系，則點，橢圓方程為．將與點坐標代入橢圓方程，得，此時此時因此隧道的拱寬約為33.26米；（2）由橢圓方程，根據(jù)題意，將代入方程可得．因為即且，，所以當取最小值時，有，得，此時，故當拱高約為6.36米、拱寬約為31.11米時，土方工程量最?。钚⊥练搅繛榱⒎矫?【題目點撥】本題考查橢圓的實際運用，注意與實際問題相結合，建立合適的坐標系，設出點的坐標，結合橢圓的有關性質進行分析、計算、解題．19、(1)；(2).【解題分析】試題分析：（1）利用正弦定理將邊化角，根據(jù)三角恒等變換即可得出，從而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根據(jù)是的平分線，可得，故而可求得結果.試題解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（負值，舍去）∵是的平分線，，∴,∴.20、（1）（2）極大值為，無極小值．【解題分析】

（1）求出導函數(shù)，利用切線意義可列得方程組，于是可得答案；（2）利用導函數(shù)判斷在上的單調性，于是可求得極值.【題目詳解】解：（1）∵函數(shù)在處與直線相切，∴，即，解得；（2）由（1）得：，定義域為．，令，解得，令，得．∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴在上的極大值為，無極小值．【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，利用導函數(shù)求極值，意在考查學生的分析能力，轉化能力和計算能力，比較基礎.21、(1)；(2).【解題分析】

分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．詳解：（1）當時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)