2024屆安徽省合肥市長豐中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆安徽省合肥市長豐中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．己知命題P：單位向量的方向均相同，命題q：實數(shù)a的平方為負數(shù)。則下列說法正確的是A．是真命題 B．是真命題 C．是假命題 D．是假命題2．已知為拋物線的焦點，點的坐標為，過點作斜率為的直線與拋物線交于、兩點，延長、交拋物線于、兩點設(shè)直線的斜率為，則（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（）A．-3 B．0 C．3 D．20194．在(x+1x2A．-32 B．-8 C．8 D．485．8張卡片上分別寫有數(shù)字，從中隨機取出2張，記事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和小于9”，則（）A． B． C． D．6．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，207．下列四個命題中，其中錯誤的個數(shù)是（）①經(jīng)過球面上任意兩點，可以作且只可以作一個大圓；②經(jīng)過球直徑的三等分點，作垂直于該直徑的兩個平面，則這兩個平面把球面分成三部分的面積相等；③球的面積是它大圓面積的四倍；④球面上兩點的球面距離，是這兩點所在截面圓上，以這兩點為端點的劣弧的長．A．0 B．1 C．2 D．38．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．2018年5月1日，某電視臺的節(jié)目主持人手里提著一個不透明的袋子，若袋中共有10個除顏色外完全相同的球，其中有7個白球，3個紅球，若從袋中任取2個球，則“取得2個球中恰有1個白球1個紅球”的概率為（）A． B． C． D．10．在極坐標系中，為極點，曲線與射線的交點為，則（）A． B． C． D．11．已知曲線在處的切線與直線平行，則的值為（）A．-3 B．-1 C．1 D．312．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市在“一帶一路”國際合作高峰論壇前夕，在全市高中學(xué)生中進行“我和‘一帶一路’”的學(xué)習(xí)征文，收到的稿件經(jīng)分類統(tǒng)計，得到如圖所示的扇形統(tǒng)計圖，又已知全市高一年級共交稿份，則高三年級的交稿數(shù)為________.14．若，，滿足約束條件，則的最小值為__________．15．已知函數(shù)的零點，則整數(shù)的值為______.16．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則的值為___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，圓的方程為.（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）若，圓與直線交于兩點，求的值.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），且直線與曲線交于兩點，以直角坐標系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知點的極坐標為，求的值19．（12分）在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標系原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.點為曲線上的動點，求點到直線距離的最大20．（12分）某公司的一次招聘中，應(yīng)聘者都要經(jīng)過三個獨立項目，，的測試，如果通過兩個或三個項目的測試即可被錄用.若甲、乙、丙三人通過，，每個項目測試的概率都是.（1）求甲恰好通過兩個項目測試的概率；（2）設(shè)甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）統(tǒng)計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)為．（1）當千米/小時時,行駛千米耗油量多少升？（2）若油箱有升油,則該型號汽車最多行駛多少千米？22．（10分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為中點.求證：平面平面；若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先判斷命題P，命題q均為假.再逐項判斷每個選項的正誤.【題目詳解】命題P：單位向量的方向可以是任意的，假命題命題q：實數(shù)a的平方為非負數(shù)，假命題為假命題，A錯誤為假命題，B錯誤是真命題，C錯誤是假命題，D正確故答案選D【題目點撥】本題考查了命題的判斷，正確判斷命題的正誤是解決此類題型的關(guān)鍵.2、D【解題分析】

設(shè)，，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，設(shè)，，則，，設(shè)AC，BD所在的直線方程可得，，由此可得的值．【題目詳解】設(shè)過點F作斜率為的直線方程為：，

聯(lián)立拋物線C：可得：，

設(shè)A，B兩點的坐標為：，，

則，

設(shè)，，

則，同理，

設(shè)AC所在的直線方程為，

聯(lián)立，得，

，同理，，

則．

故選：D．【題目點撥】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．3、B【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此求出、、的值，進而結(jié)合周期性分析可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則有，即，變形可得：，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則，故.故選：B.【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性周期性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

利用x-25的展開式通項，與x和1x2分別做乘法，分別求得x的系數(shù)，作和求得整體的【題目詳解】x-25展開式的通項為：與x相乘可得：x?當r=5時得：C與1x2當r=2時得：C∴x的系數(shù)為：-32+40=8本題正確選項：C【題目點撥】本題考查二項式定理求解xn的系數(shù)的問題，關(guān)鍵在于能夠運用多項式相乘的運算法則，分別求出同次項的系數(shù)，合并同類項得到結(jié)果5、C【解題分析】

利用古典概型的概率公式計算出和，再利用條件概率公式可得出答案?！绢}目詳解】事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為小于的偶數(shù)”，以為一個基本事件，則事件包含的基本事件有：、、、、、，共個，由古典概型的概率公式可得，事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則所取的兩個數(shù)全是奇數(shù)或全是偶數(shù)，由古典概型的概率公式可得，因此，，故選：C?！绢}目點撥】本題考查條件概率的計算，數(shù)量利用條件概率公式，是解本題的關(guān)鍵，同時也考查了古典概型的概率公式，考查運算求解能力，屬于中等題。6、A【解題分析】

由扇形圖能得到總數(shù)，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數(shù).【題目詳解】用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進行調(diào)查，樣本容量為：，抽取的高中生近視人數(shù)為：，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有扇形圖與條形圖的應(yīng)用，以及分層抽樣的性質(zhì)，注意對基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用，屬于簡單題目.7、C【解題分析】

結(jié)合球的有關(guān)概念:如球的大圓、球面積公式、球面距離等即可解決問題,對于球的大圓、球面積公式、球面距離等的含義的理解,是解決此題的關(guān)鍵.【題目詳解】對于①,若兩點是球的一條直徑的端點,則可以作無數(shù)個球的大圓,故①錯;

對于②三部分的面積都是，故②正確對于③,球面積=,是它大圓面積的四倍,故③正確;

對于④,球面上兩點的球面距離,是這兩點所在大圓上以這兩點為端點的劣弧的長,故④錯.

所以①④錯誤.

所以C選項是正確的.【題目點撥】本題考查球的性質(zhì),特別是求兩點的球面距離,這兩個點肯定在球面上,做一個圓使它經(jīng)過這兩個點,且這個圓的圓心在球心上,兩點的球面距離對應(yīng)的是這個圓兩點之間的對應(yīng)的較短的那個弧的距離.8、C【解題分析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.9、B【解題分析】

由組合數(shù)公式求出從10個球中任取2個球的取法個數(shù)，再求出有1個紅球1個白球的取法個數(shù)，即可求出結(jié)論.【題目詳解】從10個球中任取2個球共有種取法，其中“有1個紅球1個白球”的情況有（種），所以所求概率.故選:B.【題目點撥】本題考查利用組合數(shù)公式求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】分析：將兩方程聯(lián)立求出，再根據(jù)的幾何意義即可得到OA的值.詳解：由題可得：，由的幾何意義可得，故選B.點睛：考查極坐標的定義和的幾何意義：表示原點到A的距離，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，根據(jù)兩直線平行斜率相等即可得到的值?！绢}目詳解】因為，所以線在處的切線的斜率為，由于曲線在處的切線與直線平行，故，即，故選C．【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題12、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則得，即可求得其共軛復(fù)數(shù).【題目詳解】由題：，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A【題目點撥】此題考查求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，關(guān)鍵在于準確求出復(fù)數(shù)Z，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則，準確求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

計算高三所占扇形圓心角度數(shù)，再根據(jù)比例關(guān)系求得高三年級的交稿數(shù).【題目詳解】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖知，高三所占的扇形圓心角為.且高一年級共交稿份，則高三年級的交稿數(shù)為（份），故選：D.【題目點撥】本題考查扇形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，解題時要根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的特點列等式求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

畫出滿足條件的平面區(qū)域，結(jié)合的幾何意義以及點到直線的距離求出的最小值即可．【題目詳解】畫出，，滿足約束條件，的平面區(qū)域，如圖所示：而的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點到點的距離，顯然到直線的距離是最小值，由，得最小值是，故答案為．【題目點撥】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．15、3【解題分析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知若存在零點則零點唯一，由零點存在定理可判斷出零點所在區(qū)間，從而求得結(jié)果.【題目詳解】由題意知：在上單調(diào)遞增若存在零點，則存在唯一一個零點又，由零點存在定理可知：，則本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查零點存在定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令即可求出的值.【題目詳解】因為令則所以【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，及導(dǎo)函數(shù)求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線，圓（2）.【解題分析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在圓的極坐標方程兩邊同時乘以，由可得出圓的直角坐標方程；（2）設(shè)對應(yīng)參數(shù)分別為，將直線的參數(shù)方程與圓的普通方程聯(lián)立，列出韋達定理，由的幾何意義得出，代入韋達定理可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）∵，∴兩式相加可得；又，∴∴∴直線，圓.（2）設(shè)對應(yīng)參數(shù)分別為，將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，整理得：，∴，，∴.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，解題時充分利用韋達定理法進行求解，考查計算能力，屬于中等題．18、(1).(2).【解題分析】分析：(1)曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線C的普通方程，整理得到，由此，根據(jù)極坐標與平面直角坐標之間的關(guān)系，可以求得曲線C的極坐標方程；(2)將直線的參數(shù)方程與曲線C的普通方程聯(lián)立，利用直線方程中參數(shù)的幾何意義，結(jié)合韋達定理，求得結(jié)果.詳解：（1）的普通方程為，整理得，所以曲線的極坐標方程為.（2）點的直角坐標為，設(shè)，兩點對應(yīng)的參數(shù)為，，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中得，整理得.所以，且易知，，由參數(shù)的幾何意義可知，，，所以.點睛：該題考查的是有關(guān)坐標系與參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有曲線的參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，曲線的平面直角坐標方程向極坐標方程的轉(zhuǎn)化，直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，在解題的過程中，要認真分析，細心求解.19、【解題分析】

將直線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，運用點到直線的距離公式計算出最大值【題目詳解】化簡為，則直線的直角坐標方程為.設(shè)點的坐標為，得到直線的距離，即，所以：.【題目點撥】本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化，運用點到直線的距離公式計算出最值問題，較為基礎(chǔ)，需要掌握解題方法20、(1)；(2)答案見解析.【解題分析】分析：（1）利用二項分布計算甲恰好有2次發(fā)生的概率；（2）由每人被錄用的概率值，求出隨機變量X的概率分布，計算數(shù)學(xué)期望.詳解：（1）甲恰好通過兩個項目測試的概率為；（2）因為每人可被錄用的概率為，所以，，，；故隨機變量X的概率分布表為：X0123P所以，X的數(shù)學(xué)期望為．點睛：解離散型隨機變量的期望應(yīng)用問題的方法(1)求離散型隨機變量的期望關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用期望公式進行計算．(2)要注意觀察隨機變量的概率分布特征，若屬二項分布的，可用二項分布的期望公式計算，則更為簡單．21、(1)11.95(升)．(2)千米．【解題分析】分析：（1）由題意可得當x=64千米/小時，要行駛千米需要小時，代入函數(shù)y的解析式，即可得到所求值；（2）設(shè)22.5升油能使