2024屆湖南省長沙市稻田中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆湖南省長沙市稻田中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將正整數(shù)1，2，3，4，…按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第20行從右往左數(shù)第1個數(shù)是()A．397 B．398 C．399 D．4002．如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個”或“持平”或“少一個”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同選擇方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如下圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．4．已知離散型隨機變量ξ～B(20,0.9)，若隨機變量η=5ξ，則η的數(shù)學(xué)期望EηA．100 B．90 C．18 D．4.55．已知函數(shù)，則“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.457．函數(shù)f(x)=x+1A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若有兩個極值點，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．使不等式成立的一個必要不充分條件是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的圖象如圖，則與的關(guān)系是：（）A． B．C． D．不能確定11．如圖是某陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的體積為（）A． B．C． D．12．已知等比數(shù)列的前項和為，則的極大值為（）A．2 B．3 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人，組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有__________種不同的選法．（用數(shù)字作答）14．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則______．15．如圖所示的偽代碼，最后輸出的值為__________．16．已知奇函數(shù)且，為的導(dǎo)函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值．18．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)處的切線方程；(Ⅱ)時，.19．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，若恒成立，求的取值范圍．20．（12分）如圖,已知正四棱柱的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,,垂足為,交于點.(1)求證:⊥平面;(2)記直線與平面所成的角,求的值.21．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求的值．22．（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），為曲線上的動點，動點滿足（且），點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明是什么曲線；（2）在以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，射線與的異于極點的交點為，已知面積的最大值為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)圖中數(shù)字排列規(guī)律可知，第行共有項，且最后一項為，從而可推出第20行最后1個數(shù)的值，即可求解出答案．【題目詳解】由三角形數(shù)組可推斷出，第行共有項，且最后一項為，所以第20行，最后一項為1．故答案選D．【題目點撥】本題主要考查歸納推理的能力，歸納推理是由特殊到一般，由具體到抽象的一種推理形式，解題時，要多觀察實驗，對有限的資料進行歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想．2、D【解題分析】試題分析：小明共有6次選擇，因為第一天和第七天均吃3個水果，所以在這6次選擇中“多一個”和“少一個”的次數(shù)應(yīng)相同、“持平”次數(shù)為偶數(shù)．當6次選擇均為“持平”時，共有種方案；當6次選擇中有4次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各一次，共有種方案；當6次選擇中有2次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各2次，共有種方案；當6次選擇中有0次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各3次，共有種方案.綜上可得小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同選擇方案共有種方案,故D正確.考點：排列組合，考查分類討論思想.3、B【解題分析】分析：先根據(jù)圖像求出，即得，也即得結(jié)果.詳解：因為當時，，所以當時，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，選B.點睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為解方程或不等式.4、B【解題分析】

先利用二項分布的期望公式求得Eξ=20×0.9=18，由離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可求出隨機變量η=5ξ的數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】由題設(shè)離散型隨機變量ξ～B(20,0.9∴Eξ=20×0.9=18，∵η=5ξ，∴Eη=E(5ξ)=5Eξ=5×18=90．故選B．【題目點撥】“求期望”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望．對于某些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布X～B(n,p)），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(5、B【解題分析】

先根據(jù)“曲線存在垂直于直線的切線”求的范圍，再利用充要條件的定義判斷充要性.【題目詳解】由題得切線的斜率為2，所以因為,所以“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的必要不充分條件.故答案為B6、A【解題分析】

試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點：條件概率．7、A【解題分析】

可分類討論，按x>0，x<-1，-1<x<0分類研究函數(shù)的性質(zhì)，確定圖象．【題目詳解】x>0時，f(x)=logax是增函數(shù)，只有A、B符合，排除Cx<-1時，f(x)=-loga(-x)＜0，只有A故選A．【題目點撥】本題考查由函數(shù)解析式選取圖象，解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì)排除一些選項，如通過函數(shù)的定義域，單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)值的符號、函數(shù)的特殊值等排除錯誤的選項．8、C【解題分析】

由可得，根據(jù)極值點可知有兩根，等價于與交于兩點，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值，同時根據(jù)的大小關(guān)系構(gòu)造方程可求得臨界狀態(tài)時的取值，結(jié)合單調(diào)性可確定的取值范圍.【題目詳解】，，令可得：.有兩個極值點，有兩根令，則，當時，；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，令，則，解得：，此時.有兩根等價于與交于兩點，，即的取值范圍為.故選：.【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)及大小關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是明確極值點和函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點問題的求解.9、B【解題分析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一個必要不充分條件，故選B.10、B【解題分析】

通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖像即得答案.【題目詳解】由于導(dǎo)數(shù)表示的幾何意義是切線斜率，而由圖可知，在A處的切線傾斜角小于在B處切線傾斜角，且都在第二象限，故，答案為B.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，比較基礎(chǔ).11、C【解題分析】

幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，代入體積公式計算即可.【題目詳解】解：幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，

其中圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑為1，高為1，所以幾何體的體積.

故選：C.【題目點撥】本題考查了常見幾何體的三視圖與體積的計算，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】由題意得，，，，則，解得，則，，令，解得，當時，為增函數(shù)；，為減函數(shù)；，為增函數(shù)，所以函數(shù)的極大值為，故選C.點睛：此題主要考查了等比數(shù)列前項和、函數(shù)極值的求解等有關(guān)方面的知識，及冪運算等運算能力，屬于中檔題型，也是?？伎键c.在首先根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求出參數(shù)的值，再利用導(dǎo)數(shù)方法，求出函數(shù)的極值點，通過判斷極值點兩側(cè)的單調(diào)性求出極大值點，從而求出函數(shù)的極大值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、660【解題分析】

第一類，先選女男，有種，這人選人作為隊長和副隊有種，故有種；第二類，先選女男，有種，這人選人作為隊長和副隊有種，故有種，根據(jù)分類計數(shù)原理共有種，故答案為.14、【解題分析】

由題意得出，由此可得出，解出實數(shù)、的值，由此可得出的值.【題目詳解】，，且，，，解得，.因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用直線與平面垂直求參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量共線，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、21【解題分析】分析：先根據(jù)偽代碼執(zhí)行循環(huán)，直到I<8不成立，結(jié)束循環(huán)輸出S.詳解：執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.16、【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)條件可知，當時，，，根據(jù)單調(diào)性可得時，則有；當時，同理進行討論可得.【題目詳解】由題構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，當時，,所以在上遞增，因為，所以，則有時，那么此時；時，那么此時；當時，為奇函數(shù)，則是偶函數(shù)，根據(jù)對稱性，時，又因，故當時，；綜上的解集為.【題目點撥】本題考查求不等式解集，運用了構(gòu)造新函數(shù)的方法，根據(jù)討論新函數(shù)的單調(diào)性求原函數(shù)的解集，有一定難度.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項公式可得的通項公式；(Ⅱ)首先求得的表達式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當或者時，取到最小值.【題目點撥】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解題分析】

(Ⅰ)對函數(shù)求導(dǎo)，再令x=1,可求得，回代可知，由導(dǎo)數(shù)可求得切線方程。(Ⅱ)由,令由導(dǎo)數(shù)可知，在時恒成立。下證，所以?！绢}目詳解】(Ⅰ)函數(shù)的定義域為因為，所以，即，所以，，令，得，所以函數(shù)在點處的切線方程為,即.(Ⅱ)因為,令，則，因為，所以，所以在，上為減函數(shù),又因為，所以，當時，，此時，；當時，，此時，，假設(shè)有最小值，則，即.若，當時，；若，當時，，所以，不存在正數(shù)，使.所以，當，且時，，所以，，解得：.【題目點撥】本題綜合考查求函數(shù)表達式與求曲線在某點處的切線方程，及用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍。注意本題分離出的函數(shù)最小值取不到所以最后要取等號。19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)三種情況，討論的單調(diào)性.（2）由題可知在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值，對分成兩種進行分類討論，根據(jù)在上恒成立，求得的取值范圍.【題目詳解】（1），當時，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當時，在上單調(diào)遞增．當時，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題可知在上恒成立，令，則，令，則，所以在上為減函數(shù)，．當時，，即在上為減函數(shù)，則，所以，即，得．當時，令，若，則，所以，所以，又，所以在上有唯一零點，設(shè)為，在上，，即單調(diào)遞增，在上，，即單調(diào)遞減，則的最大值為，所以恒成立．由，得，則．因為，所以，由，得．記，則，所以在上是減函數(shù)，故．綜上，的取值范圍為．【題目點撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.20、（1）見解析；（2）．【解題分析】分析：此題建系比較容易，所以兩問都用建系處理，以為坐標原點,分別以直線所在直線為軸,軸,軸，分別寫出坐標，設(shè)，利用解得所以，所以平面；(2)計算平面法向量，所以即可解題詳解：(1)如圖,以為坐標原點,分別以直線所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系，易得,設(shè),則，因為,所以，解得,即,又,,所以,所以,且，所以，又，所以平面.(2)，，，設(shè)平面的一個法向量，則即令，則，即，.點睛：空間向量是解決立體幾何問題很好的方法，也是高考每年的必考考點，所以在遇到此類問題時要注意合理的建立坐標系，建系的原則要盡量使得更多的點落在坐標軸上，這樣方便計算.21、(1)．(2)【解題分析】

（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求sin（B）＝0，結(jié)合范圍B∈（，），可求B的值，由余弦定理可得b的值．（2）由（1）及余弦定理可得cosC的值，計算出sinC，根據(jù)兩角差的余弦函數(shù)公式即可計