2024屆吉林市重點中學高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆吉林市重點中學高二數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給出下列四個命題：①若，則；②若，且，則；③若復數(shù)滿足，則；④若，則在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限.其中正確的命題個數(shù)為（）A． B． C． D．2．給出下列四個命題：①回歸直線過樣本點中心（，）②將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，平均值不變③將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變④在回歸方程＝4x+4中，變量x每增加一個單位時，y平均增加4個單位其中錯誤命題的序號是（）A．① B．② C．③ D．④3．在某次體檢中，學號為（）的四位同學的體重是集合中的元素，并滿足，則這四位同學的體重所有可能的情況有（）A．55種 B．60種 C．65種 D．70種4．已知命題：“，有成立”，則命題為（）A．，有成立 B．，有成立C．，有成立 D．，有成立5．設函數(shù)滿足則時，()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值6．過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線，若與軸的交點坐標為，則該雙曲線的標準方程可能為（）A． B． C． D．7．某研究性學習小組調(diào)查研究學生使用智能手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（參考公式：，其中.）附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828則下列選項正確的是（）A．有的把握認為使用智能手機對學習有影響B(tài)．有的把握認為使用智能手機對學習無影響C．有的把握認為使用智能手機對學習有影響D．有的把握認為使用智能手機對學習無影響8．已知=（為虛數(shù)單位），則復數(shù)（）A． B． C． D．9．有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：1、2、6號選手中的一位獲得第一名；觀眾乙猜測：4、5、6號選手都不可能獲得第一名；觀眾丙猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾丁猜測：3號選手不可能得第一名.比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結(jié)果，此人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．已知，，那么等于（）A． B． C． D．11．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．12．設集合，那么集合中滿足條件的元素個數(shù)為()A．60 B．90 C．120 D．130二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有5條線段，其長度分別為3,4,5,7,9,現(xiàn)從中任取3條，則能構(gòu)成三角形的概率是_____.14．設，若，則實數(shù)________.15．一射手對同一目標獨立地進行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率是______．16．同宿舍的6個同學站成一排照相，其中甲只能站兩端，乙和丙必須相鄰，一共有_____種不同排法（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了了解學生的身體素質(zhì)情況，現(xiàn)從某校學生中隨機抽取10人進行體能測試，測試的分數(shù)（百分制）如莖葉圖所示，根據(jù)有關國家標準成績不低于79分的為優(yōu)秀，將頻率視為概率.（1）另從我校學生中任取3人進行測試，求至少有1人成績是“優(yōu)秀”的概率；（Ⅱ）從抽取的這10人（成績見莖葉圖）中隨機選取3人，記X表示測試成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程是．（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）設直線與曲線交于，兩點，求的面積．19．（12分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為．（1）若，求C與l的交點坐標；（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求．20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.21．（12分）如圖，一條小河岸邊有相距的兩個村莊（村莊視為岸邊上兩點），在小河另一側(cè)有一集鎮(zhèn)（集鎮(zhèn)視為點），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當?shù)卣疄榉奖愦迕癯鲂校瑪M在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點，且垂直河岸，在的左側(cè)），建橋要求：兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和最短，已知兩村的人口數(shù)分別是人、人，假設一年中每人去集鎮(zhèn)的次數(shù)均為次．設．（小河河岸視為兩條平行直線）（1）記為一年中兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和，試用表示；（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，且t＞0），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cosθ．（1）將曲線M的參數(shù)方程化為普通方程，并將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）求曲線M與曲線C交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的乘方運算，結(jié)合特殊值即可判斷①；由復數(shù)性質(zhì)，不能比較大小可判斷②；根據(jù)復數(shù)的除法運算及模的求法，可判斷③；由復數(shù)的乘法運算及復數(shù)的幾何意義可判斷④.【題目詳解】對于①，若，則錯誤，如當時，所以①錯誤；對于②，虛數(shù)不能比較大小，所以②錯誤；對于③，復數(shù)滿足，即，所以，即③正確；對于④，若，則，所以，在復平面內(nèi)對應點的坐標為，所以④正確；綜上可知，正確的為③④，故選：B.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的幾何意義與運算的綜合應用，屬于基礎題.2、B【解題分析】

由回歸直線都過樣本中心，可判斷①；由均值和方差的性質(zhì)可判斷②③；由回歸直線方程的特點可判斷④，得到答案．【題目詳解】對于①中，回歸直線過樣本點中心，故①正確；對于②中，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，平均值為加上或減去這個常數(shù)，故②錯誤；對于③中，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，故③正確；對于④中，在回歸直線方程，變量每增加一個單位時，平均增加4個單位，故④正確，故選B．【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的特點和均值、方差的性質(zhì)的應用，著重考查了．判斷能力，屬于基礎題．3、D【解題分析】

根據(jù)中等號所取個數(shù)分類討論，利用組合知識求出即可.【題目詳解】解：當中全部取等號時，情況有種；當中有兩個取等號，一個不取等號時，情況有種；當中有一個取等號，兩個不取等號時，情況有種；當中都不取等號時，情況有種；共種.故選：D.【題目點撥】本題考查分類討論研究組合問題，關鍵是要找準分類標準，是中檔題.4、B【解題分析】

特稱命題的否定是全稱命題?！绢}目詳解】特稱命題的否定是全稱命題，所以，有成立的否定是，有成立，故選B.【題目點撥】本題考查特稱命題的否定命題，屬于基礎題。5、D【解題分析】

函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點：1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導法則.【方法點睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進而得出正確結(jié)論.6、A【解題分析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關系，結(jié)合選項求解即可【題目詳解】直線的方程為，令，得.因為，所以，只有選項滿足條件.故選：A【題目點撥】本題考查直線與雙曲線的位置關系以及雙曲線的標準方程，考查運算求解能力.7、A【解題分析】分析：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)利用公式求得，與鄰界值比較，即可得到結(jié)論.詳解：根據(jù)卡方公式求得，，該研究小組有的把握認為中學生使用智能手機對學生有影響，故選A.點睛：獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷.8、D【解題分析】試題分析：由，得，故選D.考點：復數(shù)的運算.9、B【解題分析】

分別假設甲、乙、丙、丁猜對比賽結(jié)果，逐一判斷得到答案.【題目詳解】假設甲猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設乙猜對比賽：3號得第一名，正確假設丙猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設丁猜對比賽：則觀眾甲和丙中有一人正確，矛盾故答案選B【題目點撥】本題考查了邏輯推理，意在考查學生的邏輯推理能力.10、B【解題分析】

根據(jù)條件概率公式得出可計算出結(jié)果.【題目詳解】由條件概率公式得，故選B.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，利用條件概率公式進行計算是解本題的關鍵，屬于基礎題.11、D【解題分析】

試題分析：由，，可知12、D【解題分析】

從，且入手，可能取，分3種情況討論種的個數(shù)，再求5個元素的排列個數(shù)，相加即可得到答案.【題目詳解】因為，且，所以可能取，當時，中有1個1或，4四個所以元素個數(shù)為；當時，中有2個1，3個0，或1個1,1個，3個0，或2個，3個0，所以元素個數(shù)為，當時，中有3個1,2個0，或2個1,1個，2個0，或2個，1個1,2個0，或3個，2個0，元素個數(shù)為，故滿足條件的元素個數(shù)為，故選：D【題目點撥】本題考查了分類討論思想，考查了求排列數(shù)，對的值和對中的個數(shù)進行分類討論是解題關鍵，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

從5條線段中任取3條共有10種情況,將能構(gòu)成三角形的情況數(shù)列出,即可得概率.【題目詳解】從5條線段中任取3條,共有種情況,其中,能構(gòu)成三角形的有：3,4,5;3,5,7;3,7,9;4,5,7;4,7,9;5,7,9.共6種情況；即能構(gòu)成三角形的概率是,故答案為：【題目點撥】本題考查了古典概型的概率公式,注意統(tǒng)計出滿足條件的情況數(shù),再除以總情況數(shù)即可,屬于基礎題.14、【解題分析】

將左右兩邊的函數(shù)分別求導，取代入導函數(shù)得到答案.【題目詳解】兩邊分別求導：取故答案為【題目點撥】本題考查了二項式定理的計算，對兩邊求導是解題的關鍵.15、【解題分析】

設此射手每次射擊命中的概率為，由獨立事件的概率與對立事件的概率可得，射擊四次全都沒有命中的概率為，解方程可求出的值．【題目詳解】設此射手每次射擊命中的概率為，分析可得，至少命中一次的對立事件為射擊四次全都沒有命中，由題意可知一射手對同一目標獨立地射擊四次全都沒有命中的概率為．則，可解得，故答案為．【題目點撥】本題主要考查獨立事件同時發(fā)生的概率公式以及對立事件的概率公式，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題．16、【解題分析】

設甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個整體，與A、B、C三人全排列，然后排甲，甲只能在兩端，有2種站法，利用分步乘法計數(shù)原理可求出答案.【題目詳解】設甲乙丙之外的三人為A、B、C，將乙和丙看作一個整體，與A、B、C三人全排列，有種，甲只能在兩端，甲有2種站法，則共有種排法.【題目點撥】本題考查了排列組合，考查了相鄰問題“捆綁法”的運用，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）的分布列見解析,期望【解題分析】試題分析：(1)由題意結(jié)合對立事件的概率公式可得至少有1人成績是“優(yōu)秀”的概率是；(2)的取值可能為0,1,2,3，結(jié)合超幾何分布的概率公式可得函數(shù)的分布列，然后可求得X的數(shù)學期望為.試題解析：(1)由莖葉圖知,抽取的10人中成績是“優(yōu)秀”的有6人，頻率為，依題意,從我校學生中任選1人，成績是“優(yōu)秀”的概率為，記事件表示“在我校學生中任選3人，至少1人成績是優(yōu)良”,則(2)由題意可得，的取值可能為0,1,2,3,,,0123,∴的分布列為：期望點睛：(1)求解本題的關鍵在于：①從莖葉圖中準確提取信息；②明確隨機變量X服從超幾何分布．(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．18、（1）曲線的直角坐標方程為；直線的普通方程為；（2）.【解題分析】

（1）由極坐標與直角坐標的互化公式，即可得出曲線的直角坐標方程；根據(jù)直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可得到普通方程；（2）先由題意，先設，對應的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程化為，代入，根據(jù)參數(shù)下的弦長公式求出，再由點到直線距離公式，求出點到直線的距離，進而可求出三角形的面積.【題目詳解】（1）由得，即，即曲線的直角坐標方程為；由消去可得：，即直線的普通方程為；（2）因為直線與曲線交于，兩點，設，對應的參數(shù)分別為，，由可化為，代入得，，則有，，因此，又點到直線的距離為，因此的面積為.【題目點撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及參數(shù)下的弦長問題，屬于?？碱}型.19、（1），；（2）或．【解題分析】試題分析：（1）直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標方程，聯(lián)立解交點坐標；（2）利用橢圓參數(shù)方程，設點，由點到直線距離公式求參數(shù)．試題解析：（1）曲線的普通方程為.當時，直線的普通方程為.由解得或.從而與的交點坐標為，.（2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為.當時，的最大值為.由題設得，所以；當時，的最大值為.由題設得，所以.綜上，或.點睛:本題為選修內(nèi)容，先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標方程，聯(lián)立方程，可得交點坐標，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點到一條直線的距離的最大值，直接利用點到直線的距離公式，表示出橢圓上的點到直線的距離，利用三角有界性確認最值，進而求得參數(shù)的值．20、(1)見詳解；(2)或.【解題分析】

(1)先求的導數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.【題目詳解】(1)對求導得.所以有當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，即，又因為，所以無解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，