揭陽市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

揭陽市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若樣本數(shù)據(jù)的均值與方差分別為和，則數(shù)據(jù)的均值與方差分別為（）A．， B． C． D．2．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則可以是（）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)是上的可導(dǎo)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為,且有,則不等式的解集為()A． B． C． D．4．已知集合，，則從到的映射滿足，則這樣的映射共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)5．知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，，若，，，則的大小關(guān)系是A． B． C． D．7．等差數(shù)列an中的a2?，??A．5 B．4 C．3 D．28．運(yùn)行下列程序，若輸入的的值分別為，則輸出的的值為A． B．C． D．9．點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A．１ B． C．２ D．10．斐波那契螺旋線，也稱“黃金蜾旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列（1，1，2，3，5，8…）畫出來的螺旋曲線，由中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列奧納多?斐波那契最先提出．如圖，矩形ABCD是以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成的，在每個(gè)正方形中作一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分．在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．11．下列命題中正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．“”是“”的充要條件C．命題“，則或”的逆否命題為“若或，則”D．命題：，使得，則：，使得12．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，則（）A． B．0 C．1 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出下列命題：①“”是“”的充分必要條件；②命題“若，則”的否命題是“若，則”；③設(shè)，，則“且”是“”的必要不充分條件；④設(shè)，，則“”是“”的必要不充分條件.其中正確命題的序號是_________.14．若復(fù)數(shù)z=(a+i)2是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，a為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為15．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為____________16．在四棱錐中，底面是等腰梯形，其中∥，若，，且側(cè)棱與底面所成的角均為45°，則該棱錐的體積為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)傾斜角為的直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn).（1）若，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，其中，求直線的斜率.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，求；（3）若存在，使得成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）已知，設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，命題：實(shí)數(shù)滿足．（1）若，為真命題，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）已知正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使二面角等于60°？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.21．（12分）近年來，網(wǎng)絡(luò)電商已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的消費(fèi)方式為了更好地服務(wù)民眾，某電商在其官方APP中設(shè)置了用戶評價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶對商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評價(jià)現(xiàn)從評價(jià)系統(tǒng)中隨機(jī)抽出200條較為詳細(xì)的評價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)評價(jià)的2×2列聯(lián)表如下：對優(yōu)惠活動(dòng)好評對優(yōu)惠活動(dòng)不滿意合計(jì)對商品狀況好評10020120對商品狀況不滿意503080合計(jì)15050200（I）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評與商品狀況好評之間有關(guān)系？（Ⅱ）為了回饋用戶，公司通過APP向用戶隨機(jī)派送每張面額為0元，1元，2元的三種優(yōu)惠券用戶每次使用APP購物后，都可獲得一張優(yōu)惠券，且購物一次獲得1元優(yōu)惠券，2元優(yōu)惠券的概率分別是，，各次獲取優(yōu)惠券的結(jié)果相互獨(dú)立若某用戶一天使用了APP購物兩次，記該用戶當(dāng)天獲得的優(yōu)惠券面額之和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：K2，其中n＝a+b+c+d22．（10分）已知函數(shù)，，若在處與直線相切．（1）求的值；（2）求在上的極值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

直接根據(jù)均值和方差的定義求解即可．【題目詳解】解：由題意有，，則，∴新數(shù)據(jù)的方差是，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查均值和方差的求法，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

求出函數(shù)圖象平移后的函數(shù)解析式，再利用函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即，求出，比較可得.【題目詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到.此函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以.所以.當(dāng)時(shí)，．故選B.【題目點(diǎn)撥】由的圖象，利用圖象變換作函數(shù)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象沿軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個(gè)單位.3、C【解題分析】分析：先求，所以單調(diào)遞減。再解不等式。詳解：因?yàn)?，所以，設(shè)故單調(diào)遞減，那么，，所以的解集，也即是的解集，由單調(diào)遞減，可得，所以，故選C。點(diǎn)睛：已知抽象函數(shù)的性質(zhì)解不等式的基本解法有兩種：（1）構(gòu)造滿足題目條件的特殊函數(shù)，（2）還原抽象函數(shù)，利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求解。4、B【解題分析】分析：根據(jù)映射的定義，結(jié)合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有兩種不同情況，進(jìn)而根據(jù)分步乘法原理得到答案詳解：：若f（3）=3，則f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故這樣的映射的個(gè)數(shù)是2×2=4個(gè)，故選：B．點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是映射的定義，分步乘法原理，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題5、A【解題分析】由題易知：，∴故選A點(diǎn)睛：利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時(shí)，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時(shí)候要借助其“橋梁”作用，來比較大小．6、D【解題分析】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單增，;，,因?yàn)?且函數(shù)單增，故,即，故選D.7、D【解題分析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到a2,a4030是方程x【題目詳解】由題意可知：f'x=x2-8x+6，又a2,a4030是函數(shù)f∴l(xiāng)og2【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，函數(shù)的極值，對數(shù)運(yùn)算，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8、B【解題分析】分析：按照程序框圖的流程逐一寫出即可詳解：第一步：第二步：第三步：第四步：最后：輸出．，故選B．點(diǎn)睛：程序框圖的題學(xué)生只需按照程序框圖的意思列舉前面有限步出來，觀察規(guī)律，得出所求量與步數(shù)之間的關(guān)系式．9、B【解題分析】，則，即，所以，故選B．10、B【解題分析】

根據(jù)幾何概型的概率公式，分別求出陰影部分面積和矩形ABCD的面積，即可求得?！绢}目詳解】由已知可得：矩形的面積為，又陰影部分的面積為，即點(diǎn)取自陰影部分的概率為，故選。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查面積型的幾何概型的概率求法。11、B【解題分析】

根據(jù)且、或命題真假性判斷A選項(xiàng)真假，根據(jù)充要條件知識判斷B選項(xiàng)真假，根據(jù)逆否命題的概念判斷C選項(xiàng)真假，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題判斷D選項(xiàng)真假.【題目詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)真時(shí)，可能一真一假，故可能是假命題，故A選項(xiàng)為假命題.對于B選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式和充要條件的知識可知，B選項(xiàng)為真命題.對于C選項(xiàng)，原命題的逆否命題為“若且，則”，故C選項(xiàng)為假命題.對于D選項(xiàng)，原命題為特稱命題，其否定是全稱命題，要注意否定結(jié)論，即：，使得.綜上所述，本小題選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查還有簡單邏輯連接詞真假性，考查充要條件，考查逆否命題，考查特稱命題的否定是全稱命題等知識，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)仍成等差數(shù)列，則，則，，選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解題分析】

逐項(xiàng)判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤得到答案.【題目詳解】①當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，所以不具有必要性，錯(cuò)誤②根據(jù)否命題的規(guī)則得命題“若，則”的否命題是“若，則”；，正確.③因?yàn)榍摇笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以錯(cuò)誤④因?yàn)榍?，所以“”是“”的必要不充分條件.正確.故答案為②④【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分必要條件，否命題，意在考查學(xué)生的綜合知識運(yùn)用.14、2【解題分析】分析：先化z為代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)概念得a，最后根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求結(jié)果.詳解：因?yàn)閦=(a+i)2所以|z|=點(diǎn)睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d∈R).其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的實(shí)部為a、虛部為b、模為a2+b215、【解題分析】

因?yàn)辄c(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是過點(diǎn)P的切線與直線平行的時(shí)候，則，即點(diǎn)（1，1）那么可知兩平行線間的距離即點(diǎn)（1，1）到直線的距離為16、【解題分析】

過作于，求得，，，設(shè)為的中點(diǎn)，則，由題意得頂點(diǎn)在底面的射影為，且，再根據(jù)體積公式即可求出答案．【題目詳解】解：過作于，∵，，∴，，∴，設(shè)為的中點(diǎn)，則，∵側(cè)棱與底面所成的角均為45°，∴頂點(diǎn)在底面的射影到各頂點(diǎn)的距離相等，即為等腰梯形的外接圓的圓心，即為點(diǎn)，∴為四棱錐的高，即平面，∴，∴該棱錐的體積，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查棱錐的體積公式，考查線面垂直的的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為．直線方程為代入曲線的普通方程，得，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，代入直線的參數(shù)方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程可得關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，由已知條件和韋達(dá)定理可得，求得的值即得斜率.試題解析：設(shè)直線上的點(diǎn)，對應(yīng)參數(shù)分別為，．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為．直線方程為（為參數(shù)）．代入曲線的普通方程，得，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）將代入，得，因?yàn)?，，所以．得．由于，故．所以直線的斜率為．考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程與橢圓參數(shù)方程及其在研究直線與橢圓位置關(guān)系中的應(yīng)用.18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)與之間關(guān)系，由題中條件，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，得到，再由（1）的結(jié)果，根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法，即可求出結(jié)果；（3）先由題意，得到存在，使得成立，求出的最小值，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合上式，；（2），.（3）存在，使得成立，存在，使得成立，即有解，，而，當(dāng)或時(shí)取等號，的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和問題，以及數(shù)列不等式能成立的問題，熟記與之間關(guān)系，以及裂項(xiàng)求和的方法求數(shù)列的和即可，屬于?？碱}型.19、（1）（2）【解題分析】

（1）若，分別求出成立的等價(jià)條件，利用為真命題，求出的取值范圍；（2）利用是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由，得，（1）若，則：，若為真，則，同時(shí)為真，即，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由，得，解得.即：.若是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件，則必有，此時(shí)：，.則有，即，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價(jià)性將是的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為是的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵.20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接，由為正三棱柱為正三角形，又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).由丄平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為．試題解析：（Ⅰ）證明：連接，因?yàn)闉檎庵詾檎切?，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因?yàn)?，所以，所以在中，，在中，，所以，?又，所以丄平面，面，所以.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).取的中點(diǎn)，連接，則丄平面，所以，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，同理，平面的一個(gè)法向量為，則，取，∴.∴，解得，故存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.21、（Ⅰ）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評與商品狀況好評之間有關(guān)系．（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式，求得K3的值，利用附表即可得到結(jié)論；（Ⅱ）求得X