2024屆河南省重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆河南省重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若，（為原點(diǎn)），則（）A． B． C． D．2．某機(jī)構(gòu)需掌握55歲人群的睡眠情況，通過(guò)隨機(jī)抽查110名性別不同的55歲的人的睡眠質(zhì)量情況，得到如下列聯(lián)表男女總計(jì)好402060不好203050總計(jì)6050110由得，.根據(jù)表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列結(jié)論，正確的是（）A．有以下的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”B．有以上的把握認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為“睡眠質(zhì)量與性別無(wú)關(guān)”3．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．04．定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為0，項(xiàng)為1，且對(duì)任意，，，…，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）A．14個(gè) B．13個(gè) C．15個(gè) D．12個(gè)5．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．6．拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過(guò)焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知，是第四象限角，則（）A． B． C． D．79．在個(gè)排球中有個(gè)正品，個(gè)次品.從中抽取個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為（）A． B． C． D．10．設(shè)集合M={0，1，2}，則（）A．1∈MB．2?MC．3∈MD．{0}∈M11．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（）A． B． C． D．12．若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．14．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問(wèn)到誰(shuí)申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí)，甲說(shuō)：“丙或丁申請(qǐng)了”；乙說(shuō)：“丙申請(qǐng)了”；丙說(shuō)：“甲和丁都沒(méi)有申請(qǐng)”；丁說(shuō)：“乙申請(qǐng)了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說(shuō)的是對(duì)的，那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______．15．若一個(gè)三位自然數(shù)的十位上的數(shù)字最大，則稱(chēng)該數(shù)為“凸數(shù)”（如，）.由組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中凸數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)____個(gè)．16．已知函數(shù)，則在處的切線方程為_(kāi)______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng).（1）求的值；（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，18．（12分）甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為．記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為．（1）求的分布列；（2）求和的數(shù)學(xué)期望．19．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為中點(diǎn).求證：平面平面；若，求二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，求的值22．（10分）大型綜藝節(jié)目,《最強(qiáng)大腦》中，有一個(gè)游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來(lái)很神奇，其實(shí)原理是十分簡(jiǎn)單的，要學(xué)會(huì)盲擰也是很容易的根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān)為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，某興趣小組隨機(jī)抽取了50名魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示，并邀請(qǐng)其中20名男生參加盲擰三階魔方比賽，其完成情況如表所示．（Ⅰ）將表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（Ⅱ）現(xiàn)從表中成功完成時(shí)間在和這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人對(duì)他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄，求2人成功完成時(shí)間恰好在同一組內(nèi)的概率．附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

計(jì)算出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入回歸直線方程可求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】由題意可得，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程得，解得，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用回歸直線方程求參數(shù)的值，解題時(shí)要熟悉“回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想判斷得解.【題目詳解】因?yàn)?，根?jù)表可知；選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】試題分析：集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿(mǎn)足互異性.4、A【解題分析】分析：由新定義可得，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項(xiàng)2m項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)數(shù)相等，首項(xiàng)為0，末項(xiàng)為1，當(dāng)m=4時(shí)，數(shù)列中有四個(gè)0和四個(gè)1，然后一一列舉得答案．詳解：由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項(xiàng)2m項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)數(shù)相等，首項(xiàng)為0，末項(xiàng)為1，若m=4，說(shuō)明數(shù)列有8項(xiàng)，滿(mǎn)足條件的數(shù)列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14個(gè)．故答案為：A.點(diǎn)睛：本題是新定義題，考查數(shù)列的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，枚舉時(shí)做到不重不漏.5、C【解題分析】

先求，再求【題目詳解】,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的并集和補(bǔ)集，屬于簡(jiǎn)單題型.6、B【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線垂直軸時(shí)，面積取得最小值.【題目詳解】設(shè)，過(guò)A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得：，所以，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得的最大值為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運(yùn)用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則切線與切線互相垂直，能使運(yùn)算量變得更小.7、A【解題分析】

由實(shí)部虛部均大于0聯(lián)立不等式組求解．【題目詳解】解：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查不等式組的解法，是基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

通過(guò)和差公式變形，然后可直接得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，是第四象限角，故，而，故答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查和差公式的運(yùn)用，難度不大.9、A【解題分析】分析：根據(jù)超幾何分布，可知共有種選擇方法，符合正品數(shù)比次品數(shù)少的情況有兩種，分別為0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品，分別求其概率即可。詳解：正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品，由超幾何分布的概率可知，當(dāng)0個(gè)正品4個(gè)次品時(shí)當(dāng)1個(gè)正品3個(gè)次品時(shí)所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為所以選A點(diǎn)睛：本題考查了超幾何分布在分布列中的應(yīng)用，主要區(qū)分二項(xiàng)分布和超幾何分布的不同。根據(jù)不同的情況求出各自的概率，屬于簡(jiǎn)單題。10、A【解題分析】解：由題意，集合M中含有三個(gè)元素0，1，1．∴A選項(xiàng)1∈M，正確；B選項(xiàng)1?M，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)3∈M，錯(cuò)誤，D選項(xiàng){0}∈M，錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了元素與集合關(guān)系的判定，一個(gè)元素要么屬于集合，要么不屬于這個(gè)集合，二者必居其一，這就是集合中元素的確定性．11、C【解題分析】

由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體是直三棱柱剪去一個(gè)角，其中為等腰直角三角形，，再由棱錐體積剪去棱錐體積求解.【題目詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體是直三棱柱剪去一個(gè)角，其中為等腰直角三角形，，

∴該幾何體的體積，

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖求體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，是中檔題.12、A【解題分析】

采用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得在恒成立，然后分離參數(shù)，對(duì)新函數(shù)的值域與比較，可得結(jié)果.【題目詳解】，依題意可得：函數(shù)在定義域內(nèi)只能單調(diào)遞增，恒成立，即恒成立，，，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，熟練使用等價(jià)轉(zhuǎn)化以及分離參數(shù)的方法，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意可知，故答案為.14、乙【解題分析】

先假設(shè)甲乙丙丁中一個(gè)人說(shuō)的是對(duì)的.然后再逐個(gè)去判斷其他三個(gè)人的說(shuō)法.最后看是否滿(mǎn)足題意，不滿(mǎn)足排除．【題目詳解】解：先假設(shè)甲說(shuō)的對(duì)，即甲或乙申請(qǐng)了.但申請(qǐng)人只有一個(gè)，(1)如果是甲，則乙說(shuō)“丙申請(qǐng)了”就是錯(cuò)的，丙說(shuō)“甲和丁都沒(méi)申請(qǐng)”就是錯(cuò)的，丁說(shuō)“乙申請(qǐng)了”也是錯(cuò)的，這樣三個(gè)錯(cuò)的，不能滿(mǎn)足題意，故甲沒(méi)申請(qǐng).(2)如果是乙，則乙說(shuō)“丙申請(qǐng)了”就是錯(cuò)的，丙說(shuō)“甲和丁都沒(méi)申請(qǐng)”可以理解為申請(qǐng)人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故說(shuō)法不對(duì)，丁說(shuō)“乙申請(qǐng)了”也是對(duì)的，這樣說(shuō)的對(duì)的就是兩個(gè)是甲和丁.滿(mǎn)足題意．故答案為：乙．【題目點(diǎn)撥】本題考查了合情推理的應(yīng)用，屬于中檔題．15、8【解題分析】

根據(jù)“凸數(shù)”的特點(diǎn)，中間的數(shù)字只能是3,4，故分兩類(lèi)，第一類(lèi)，當(dāng)中間數(shù)字為“3”時(shí)，第二類(lèi)，當(dāng)中間數(shù)字為“4”時(shí)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理即可解決.【題目詳解】當(dāng)中間數(shù)字為“3”時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)（132,231），當(dāng)中間數(shù)字為“4”時(shí)，從123中任取兩個(gè)放在4的兩邊，有種，則凸數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).【題目點(diǎn)撥】本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

求導(dǎo)數(shù)，令，可得，求出，即可求出切線方程?！绢}目詳解】；；又；在處的切線方程為，即；故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

（1）利用展開(kāi)式的通項(xiàng)計(jì)算得到答案.（2）因?yàn)?，所以二?xiàng)系數(shù)最大的項(xiàng)為與，計(jì)算得到答案.【題目詳解】解：（1）展開(kāi)式的通項(xiàng)為因?yàn)榈陧?xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以第項(xiàng),即（2）因?yàn)?，所以二?xiàng)系數(shù)最大的項(xiàng)為與即【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、（1）見(jiàn)解析；（2），【解題分析】

（1）的可能值為，計(jì)算概率得到分布列.（2）分別計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【題目詳解】（1）的可能值為，；；，.故分布列為：（2），.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19、證明見(jiàn)解析；.【解題分析】

推出，從而平面，進(jìn)而得出，再得出，從而平面，由此能證明平面平面；以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【題目詳解】解：證明：平面平面，，平面平面.平面，.在菱形中，，可知為等邊三角形，為中點(diǎn)，.，平面.平面，平面平面.由知，平面，，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，.設(shè)為平面的法向量，由可得，取，同理可求平面的法向量，，即二面角的余弦值等于.【題目點(diǎn)撥】本題考查面面垂直的證明，線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）【解題分析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，求得，令令，解得或，分類(lèi)討論即可求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，由題意，在上恒成立．即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，令，求得，分類(lèi)討論即可求解．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，．；令，解得或．∴當(dāng)，即時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)，即時(shí)，增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)，即時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí)，．由題意，在上恒成立．即即在上恒成立．1）顯然時(shí)，不等式成立；2）當(dāng)時(shí)，令，則．①當(dāng)時(shí)，只須恒成立．∵恒成立，（可求導(dǎo)證明或直接用一個(gè)二級(jí)結(jié)論：）．∴當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增；∴．∴．②當(dāng)時(shí)，只須恒成立．∵此時(shí)，即單減．∴．∴．綜上所述，．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已