2024屆安徽省宿州市五校數(shù)學高二第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

2024屆安徽省宿州市五校數(shù)學高二第二學期期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)滿足，則其共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，則xy的取值范圍是A． B． C． D．3．若函數(shù)f(x)=2x+12xA．(-∞,-1) B．(C．(0,1) D．(1,+∞)4．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若對任意的，都有成立，則不等式的解集為（）A． B．C． D．5．已知隨機變量，且，則A． B． C． D．6．若，則的值為（）A． B． C． D．7．在一次試驗中，測得的四組值分別是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），則y與x之間的回歸直線方程為（）A． B． C． D．8．已知復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A． B． C． D．9．復數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（）A.B.C.－D.－10．盒中有只螺絲釘，其中有只是不合格的，現(xiàn)從盒中隨機地取出只，那么恰有只不合格的概率是（）A． B． C． D．11．設，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．12．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設當x=θ時，函數(shù)f（x）=2sinx+cosx取得最小值，則cos（）=______．14．已知函數(shù)，若函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_____.15．是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為________16．某高中有高一學生320人，高二學生400人，高三學生360人.現(xiàn)采用分層抽樣調(diào)查學生的視力情況.已知從高一學生中抽取了8人，則三個年級一共抽取了__________人。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，是正數(shù)，求證：.18．（12分）已知三點，，，曲線上任意一點滿足．（1）求的方程；（2）動點在曲線上，是曲線在處的切線．問：是否存在定點使得與都相交，交點分別為，且與的面積之比為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說明理由．19．（12分）設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.20．（12分）（1）已知矩陣，矩陣的逆矩陣，求矩陣.（2）已知矩陣的一個特征值為，求.21．（12分）為了適應高考改革，某中學推行“創(chuàng)新課堂”教學．高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學”的教學方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學方式授課，為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計分析，結(jié)果如表：（記成績不低于120分者為“成績優(yōu)秀”）分數(shù)[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]甲班頻數(shù)1145432乙班頻數(shù)0112664（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95％以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”？甲班乙班總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計（2）現(xiàn)從上述樣本“成績不優(yōu)秀”的學生中，抽取3人進行考核，記“成績不優(yōu)秀”的乙班人數(shù)為X，求X的分布列和期望．參考公式：，其中．臨界值表P（）0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）在極坐標系中，極點為0，已知曲線與曲線交于不同的兩點.求：(1)的值；(2)過點且與直線平行的直線的極坐標方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先求出z，然后根據(jù)共軛復數(shù)定義結(jié)合復數(shù)坐標寫法即可.詳解：由題可知：，所以所對應的坐標為（-1,1），故在第二象限，選B.點睛：考查復數(shù)的除法運算，復數(shù)的坐標表示，屬于基礎題.2、D【解題分析】

利用已知條件推出x+y＝1，然后利用x，y的范圍，利用基本不等式求解xy的最值．【題目詳解】解：D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，可得，x，，則，當且僅當時取等號，并且，函數(shù)的開口向下，對稱軸為：，當或時，取最小值，xy的最小值為：．則xy的取值范圍是：故選D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．3、C【解題分析】

由f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求a，代入即可求解不等式．【題目詳解】∵f（x）=2x∴f（﹣x）=﹣f（x）即2整理可得，1+∴1﹣a?2x=a﹣2x∴a=1，∴f（x）=2∵f（x））=2x∴2x+12整理可得，2x∴1＜2x＜2解可得，0＜x＜1故選C．【題目點撥】本題主要考查了奇函數(shù)的定義的應用及分式不等式的求解，屬于基礎試題．4、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)其性質(zhì)解不等式得到答案.【題目詳解】對任意的，都有成立構(gòu)造函數(shù)在上遞增.是偶函數(shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增.當時：當時：故答案選D【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，解不等式，構(gòu)造函數(shù)是解題的關鍵.5、B【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可得到答案.【題目詳解】由于，故選B.【題目點撥】本題主要考查正態(tài)分布中概率的計算，難度不大.6、A【解題分析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2選A7、A【解題分析】分析：根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，把樣本中心點代入所給的四個選項中驗證，若能夠成立的只有一個，這一個就是線性回歸方程．詳解：∵，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是（4，5）把樣本中心點代入四個選項中，只有y=x+1成立，故選A．點睛：本題考查求線性回歸方程，一般情況下是一個運算量比較大的問題，解題時注意平均數(shù)的運算不要出錯，注意系數(shù)的求法，運算時要細心，但是對于一個選擇題，還有它特殊的加法．8、A【解題分析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】解：由，得，．故選．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．9、C【解題分析】試題分析：，虛部為?？键c：復數(shù)的運算。10、A【解題分析】分析：利用古典概型求恰有只不合格的概率.詳解：由古典概型公式得故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.11、A【解題分析】

先根據(jù)來分段，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，比較出的大小關系.【題目詳解】由于，而，故，所以選A.【題目點撥】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查比較大小的方法，屬于基礎題.12、D【解題分析】

連結(jié)，可證明是平行四邊形，則，故的余弦值即為異面直線和所成角的余弦值，利用余弦定理可得結(jié)果.【題目詳解】連結(jié)，由題得，故是平行四邊形，，則的余弦值即為所求，由，可得，，故有，解得，故選D.【題目點撥】本題考查異面直線的夾角的余弦值和余弦定理，常見的方法是平移直線，讓兩條直線在同一平面中，再求夾角的余弦值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出輔助角，再利用兩角和的余弦公式求出的值．【題目詳解】對于函數(shù)f（x）=2sinx+cosx=sin（x+α），其中，cosα=，sinα=，α為銳角．當x=θ時，函數(shù)取得最小值，∴sin（θ+α）=-，即sin（θ+α）=-1，∴cos（θ+α）=1．故可令θ+α=-，即θ=--α，故故答案為．【題目點撥】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，兩角和的余弦公式，屬于中檔題．14、【解題分析】

分兩種情況討論：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為或在區(qū)間上恒成立，利用參變量分離得出或在區(qū)間上恒成立，然后利用單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，.①當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式在區(qū)間上恒成立，即，則，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，，解得；②當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則不等式在區(qū)間上恒成立，即，則，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，解題時要注意函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號之間的關系，另外利用參變量分離法進行求解，可簡化計算，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學思想，屬于中等題.15、【解題分析】

以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，的坐標，利用距離公式，即可得到結(jié)論.【題目詳解】解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

設平面的法向量是，

，

∴由，可得

取得，

，

∴到平面的距離.故答案為：.【題目點撥】本題考查點到平面的距離，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.16、27【解題分析】分析：根據(jù)分層抽樣的概念得按比例抽樣:.詳解：因為分層抽樣，所以三個年級一共抽取.點睛：在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni∶Ni＝n∶N.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見證明【解題分析】

運用基本不等式即可證明【題目詳解】證明：因為，是正數(shù)，所以.所以.即.當且僅當，時取等號【題目點撥】本題考查了基本不等式，較為簡單，注意需要滿足“一正二定三相等”的條件18、（1）；（2）存在，.【解題分析】分析：（1）先求出、的坐標，由此求得||和的值，兩式相等，化簡可得所求；（2）根據(jù)直線PA，PB的方程以及曲線C在點Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）處的切線方程，D、E兩點的橫坐標，可得S△PDE和S△QAB的比值，從而求得參數(shù)值.詳解：（1）依題意可得，，由已知得，化簡得曲線C的方程：

,（2）假設存在點滿足條件，則直線的方程是，直線的方程是，曲線C在點Q處的切線l的方程為:,它與y軸的交點為，由于，因此①當時，

，存在，使得，即l與直線平行，故當時與題意不符②當時，，所以l與直線一定相交，分別聯(lián)立方程組，解得的橫坐標分別是則，又，有，又于是對任意，要使與的面積之比是常數(shù)，只需t滿足，解得，此時與的面積之比為2，故存在，使與的面積之比是常數(shù)2.點睛：本題主要考查拋物線的標準方程的應用，利用導數(shù)求曲線上某點的切線方程，求得F點的坐標，D、E兩點的橫坐標，是解題的關鍵，屬于中檔題．利用導數(shù)求函數(shù)在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，對函數(shù)求導，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標；三，利用點斜式寫出直線方程.19、（Ⅰ）（Ⅱ）或.【解題分析】

(Ⅰ)由題意得到關于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【題目詳解】(Ⅰ)設橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.(Ⅱ)由題意，設.設直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，可得，代入得，進而直線的斜率，在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)?直線方程等基礎知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.20、（1）;（2）.【解題分析】

（1）依題意，利用矩陣變換求得，再利用矩陣乘法的性質(zhì)可求得答案．（2）根據(jù)特征多項式的一個零點為3，可得的值，即可求得矩陣，運用對角化矩陣，求得所求矩陣．【題目詳解】（1）解：，，又，．（2）解：矩陣的特征多項式為，可得，解得，即為.由可得，，當時，由，即，，即，取，可得屬于3的一個特征向量為；當時，由，即，，即，取，可得屬于的一個特征向量為.設，則，，．【題目點撥】本題考查逆變換與逆矩陣，考查矩陣乘法的性質(zhì)，考查了特征值與特征向量，考查了矩陣的乘方的計算的知識.21、（1）有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”.（2）見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表計算的觀測值k,對照臨界值得出結(jié)論；（2）由題意知的可能取值，計算對應的概率值，寫出的分布列,求期望即可.【題目詳解】（1）補充的列聯(lián)表如下表：甲班乙班總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，所以有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”.（2）的可能取值為，，，，，，