第八章 §8.6 習題課 異面直線所成的角及直線與平面所成的角的解法 學案（含答案）

習題課異面直線所成的角及直線與平面所成的角的解法[學習目標]1.理解異面直線所成的角的概念，會運用平移的方法求異面直線所成的角.2.掌握直線與平面所成角的求法．一、異面直線所成的角例1如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)反思感悟求異面直線所成的角的方法求異面直線所成的角，可通過多種方法平移產生三角形，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．跟蹤訓練1如圖，已知在三棱錐A－BCD中，AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求異面直線AC與BD所成角的大?。?、直線與平面所成的角例2如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，O為PB的中點，求直線CO與平面PAC所成角的余弦值．反思感悟求斜線和平面所成的角的步驟(1)作(或找)：作(或找)出斜線在平面上的射影，作射影要過斜線上斜足以外的一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與題目中已知量有關，這樣才能便于計算．(2)證：證明某平面角就是斜線和平面所成的角．(3)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算．跟蹤訓練2已知正三棱錐的側棱長是底面邊長的2倍，求側棱和底面所成角的余弦值．1．知識清單：(1)異面直線所成的角．(2)直線與平面所成角的求解方法．2．方法歸納：轉化與化歸．3．常見誤區(qū)：無法將空間角轉化為相交直線所成的角．1.如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，直線D′A與BB′所成的角可以表示為()A．∠DD′A B．∠AD′C′C．∠ADB′ D．∠DAD′2．直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于()A．20°B．70°C．90°D．110°3.如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直線l過點A且垂直于平面ABC，動點P∈l，當點P逐漸遠離點A時，∠PCB的大小變化為()A．變大 B．變小C．不變 D．有時變大有時變小4.如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC和平面ABC所成角的正切值為________．習題課異面直線所成的角及直線與平面所成的角的解法例1D[連接BC1，由題意得BC1∥AD1，則∠A1BC1或其補角為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BC\o\al(2,1)－A1C\o\al(2,1),2A1B·BC1)＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5).]跟蹤訓練1解如圖，取AB，AD，DC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，G，M，連接EF，F(xiàn)G，GM，ME，EG.則MG綉eq\f(1,2)BC，EM綉eq\f(1,2)AD.因為AD⊥BC，所以EM⊥MG.在Rt△EMG中，有EG＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1.由圖可知，∠EFG或其補角為異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，因為EF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(13),4)，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),4)，所以EF2＋FG2＝EG2，所以EF⊥FG，即AC⊥BD.所以異面直線AC與BD所成角的大小為90°.例2解如圖，取PC的中點為E，連接EO，則OE∥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又OE∥BC，∴OE⊥平面PAC，∴∠OCE為直線CO與平面PAC所成的角．設PA＝AC＝BC＝2，則OE＝1，CE＝eq\r(2)，OC＝eq\r(3)，∴cos∠OCE＝eq\f(CE,OC)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).∴直線CO與平面PAC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3).跟蹤訓練2解如圖，設正三棱錐S－ABC的底面邊長為a，則側棱長為2a.設O為底面△ABC的中心，則∠SAO為SA和平面ABC所成的角．在Rt△SOA中，因為AO＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)