人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第7講 圓的有關(guān)性質(zhì)滿分練習(xí)題（含解析）

第7講圓的有關(guān)性質(zhì)

垂徑定理

弧、弦、圓心角的關(guān)系

圓的有關(guān)性質(zhì)

圓周角定理及推論

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理

①弦和直徑：

(1)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。直徑等于半徑的兩倍。

②弧：

(1)?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號(hào)表示，以A,B為端點(diǎn)的的弧記

作AB，讀作弧AB.

⑵半圓、優(yōu)弧、劣弧：

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，優(yōu)弧大于18(T用三個(gè)字母表示，如AC8.

小于半圓的弧叫做劣弧，如A3。

(3)等?。涸谕瑘A或者等圓中能夠相互重合的弧是等弧，度數(shù)或者長度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圓心到弦的距離叫做弦心距。

(2)圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧

相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓心角也相等，所對(duì)弦的弦心距也相等。四者有一個(gè)相等，則

其他三個(gè)都相等。圓心到弦的垂線段的長度稱為這條弦的弦心距。

④圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對(duì)

稱圖形，對(duì)稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，

那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸。

⑤垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)平分弦(此弦不能是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.

(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夾的弧相等.

⑥同心圓與等圓

(1)同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。如圖一，半徑為n與半徑為方

的。0叫做同心圓。

(2)等圓：圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓。如圖二中的。Oi與。。2的半徑都是

r,它們是等圓。同圓或者等圓的半徑相同。

(圖二)

(3)同圓是指同一■個(gè)圓；等圓、同心圓是指兩個(gè)及兩個(gè)以上的圓。

【典例】

1.如圖，圓。的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：：AB是直徑，AB±GH,

.?.圓O的弦GH,EF,CD,AB中最短的是GH

2.如圖，一圓弧過方格的格點(diǎn)A、B、C,在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（-3,2）,則該圓弧所在圓心坐標(biāo)是

【解析】解：如圖：分別作AC與AB的垂直平分線，相交于點(diǎn)O,

則點(diǎn)O即是該圓弧所在圓的圓心.

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3,2）,

二點(diǎn)O的坐標(biāo)為（-2,-1）

3.據(jù)史料記載，雎水太平橋建于清嘉慶年間，已有200余年歷史.橋身為一巨型單孔圓弧,

既沒有用鋼筋，也沒有用水泥，全部由石塊砌成，猶如一道彩虹橫臥河面上，橋拱半徑OC

為13m,河面寬AB為24m,則橋高CD為

【答案】18m

【解析】解：如圖，連結(jié)OA,

VCD1AB,

?.AD=BD'AB」x24=12，

22

在RSOAD中，OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

CD=OC+CD=13+5=18m.

4.把寬為2cm的刻度尺在圓O上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊EF與圓O相切于A時(shí)，另一邊與

圓的兩個(gè)交點(diǎn)處的度數(shù)恰好為“2”（C點(diǎn)）和“8”（B點(diǎn)）（單位：cm）,求該圓的半徑

【答案】3.25cm

【解析】解：如圖，連接OA交BC于點(diǎn)E,

設(shè)OB=r,

VAB=8-2=6cm,0D1AB,

BE=—AB=—x6=3cm,

在RtABOE中,

OE2+BE2=OB2,即(r-2)2+9=1,

解得r=-^-=3.25cm.

4

【方法總結(jié)】

1、在遇有求弦長或半徑長的問題時(shí)，常添加的輔助線是弦心距。

2、在運(yùn)用垂徑定理解決線段長度問題時(shí)，一般都與勾股定理復(fù)合運(yùn)用。

【隨堂練習(xí)】

1.（2018秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，45是O。的直徑，AB=10，P是半徑。4上

的一動(dòng)點(diǎn)，尸。，血交0。于點(diǎn)。，在半徑0B上取點(diǎn)Q,使得OQ=CP,

。。_1_48交0。于點(diǎn)。，點(diǎn)。，。位于45兩側(cè)，連接CO交于點(diǎn)E,點(diǎn)

產(chǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿A。向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，ACEP與ADEQ的面

積和的變化情況是（）

。Q

A.一直減小B.一直不變C.先變大后變小D.先變小后變大

【解答】解：連接。C,OD,PD,CQ.設(shè)尸C=x,OP=y,OF=a,

?/PC1AB,QD±AB,

:.ZCPO=ZOQD=90°,

PC=OQ,OC=OD,

RtAOPC=RtADQO,

:.OP=DQ=y,

加=S四邊形PCQ0_SAP">_SACFQ=g(x+y)2_g.(y_a)y_g(x+a)x=^'+；a(y-x)

9

-/PC//DQ,

PC_PF

,'DQ~'FQ，

.x_y-a

??一―-------，

ya+x

:.a—y—x^

.Ff+g(y_x)(y_x)=g(x2+y2).

故選：B.

二.解答題(共2小題)

2.(2018秋?云安區(qū)期末)如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度A8=60米，拱高PD=18

米.

(1)求圓弧所在的圓的半徑r的長：

(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即依=4

米時(shí)，是否要采取緊急措施？

【解答】解：(1)連結(jié)OA,

由題意得：AD=^AB=3Q,。。="-18)

在RtAADO中，由勾股定理得：/=302+(一網(wǎng)2,

解得，r=34;

(2)連結(jié)or,

?;OE=OP-PE=3G,

..在RfAHEO中,由勾股定理得:AE1=A!Or-OE1,即：^￡2=342-302,

解得：A￡=16.

:.A'B'=32.

;4斤=32>30,

不需要采取緊急措施.

3.(2017?道外區(qū)一模)如圖，4?為°。直徑，點(diǎn)。為"下方OO上一點(diǎn)，點(diǎn)C為弧4?。

中點(diǎn)，連接8,CA.

(1)求證：ZABD=2NBDC;

(2)過點(diǎn)C作CE_LAB于”，交AD于E,求證：EA=EC;

(3)在(2)的條件下，若OH=5,4)=24,求線段DE的長

則NCAB=NBDC=a,

?.?點(diǎn)C為弧ABD中點(diǎn)，

.e.AC=CD,

??.ZADC=ZDAC=/3f

ZDAB=p-a,

連接AD,

為G)O直徑，

.-.ZAT>B=90°，

/.a+/?=90°,

/.P=90°-a,

/.ZABD=90°-ZDAB=90°-(/7-a),

/.ZABD=2a，

:.ZABD=2ZBDC；

(2)-.CE±AB,

/.ZACE+ZCAB=ZADC+ABDC=90°，

?.?/CAB=NCDB,

:.ZACE=ZADC,

-.?ZCAE=ZADC,

ZACE=ZCAE,

/.AE=CE；

(3)如圖2,連接OC,

.\ZCOB=2ZCAB,

??Z/WD=2ZBDC,ZBDC=ZCAB.

:.ZCOB=ZABD，

-.?ZOHC=ZADB=90°,

.OHOCT

■.■,=-----=j

BDAB2

,?OH=5,

:.BD=W,

.?.AB=JAD?+BD?=26,

..AO=13,

/.AH=18,

,/MHEsMDB,

AHAE協(xié)18AE

----=----,即—=----

ADAB2426

:.AE=—

2

知識(shí)點(diǎn)2弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系

與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半。

在同圓或等圓中，相等的圓心角或圓周角所對(duì)的弧相等，弦也相等。

(3)直徑所對(duì)的圓周角是直角。

【典例】

1.如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B在圓上，BC,AD分別與該圓相交于點(diǎn)E,G是AF的

三等分點(diǎn)(標(biāo)＞/)，BG交AF于點(diǎn)H,若定的度數(shù)為30。，則NGHF等于

G

A//\FD

【答案】40°

AB的度數(shù)為30°,

二畝的度數(shù)為150°,ZAFB=15°,

?；G是源的三等分點(diǎn)，

二席的度數(shù)為50。，

，/GBF=25°,

ZGHF=ZGBF+ZAFB=40°,

2.如圖，AB是。O的直徑，BC=CD=DE,ZCOD=38°,則/AEO的度數(shù)是

【解析】解：：BC=CD=DE,NCOD=38。,

ZBOC=ZEOD=ZCOD=38°,

/.ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-ZBOC=66°.

XVOA=OE,

ZAEO=ZOAE,

ZAEO=^x(180°-66°)=57°.

2

3.如圖，在。。中，OC_LAB,ZADC=320,則NOBA的度數(shù)是

【答案】26。

【解析】解：如圖,

由OC_LAB,得

AC=BC,ZOEB=90°.

AZ2=Z3.

VZ2=2Zl=2x320=64°.

Z3=64°,

在RtAOBE中，ZOEB=90°,

ZB=90°-Z3=90°-64。=26°

【方法總結(jié)】

1、注意利用同圓中同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等圓周角也相等，可進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換。

2、注意利用同圓中同弧或等弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，可進(jìn)行角度倍數(shù)轉(zhuǎn)換。

【隨堂練習(xí)】

I.（2019?瀘縣模擬）如圖，4?是°。的直徑，C,O分別是°。上的兩點(diǎn)，OCVOD,

AC=2cm,BD=^cm,則的半徑是（）

D

A\^yB

A.x/3cmB.2cmC.\[5cmD.3cm

【解答】解：過點(diǎn)O作OEJ_A8,與圓交于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。HJLAB于點(diǎn)〃，過點(diǎn)C作

CG_LAB于點(diǎn)H連接CE、DE、BC.

:.GH=DE=2

?：OCLOD.OHA.AB,

NCOD=ZAOE=ZBOE=90°,

/.ZAOC=ZEOD,ZCOE=ZBODf

：.AC=DE=2,CE=BD=y/2f

???NC8=90。，ZBOE=90°,

NCBD=-NCOD=45°,ZBCE=-BOE=45°,

22

NCED=180°-NCBD=135°,NBDE=180°-ZBCE=135°,

,.ZCED+ZBCE=ISO°,

.-.DE//AB,四邊形EZWC為等腰梯形，

?：BD=0,ZCBD=45°,NDHB=45°,

:.HB=HD=^BD=l,

2

同理EG=1

■.GH=DE=2,

:.BC=CG+GH+BH=l+2+l=4

在RtAABC中，AB2=AC2+BC2=AC2+BC2=22+42=20,

A8=2百，

OA=OB=s/5

故選：C.

B

2.（2019?福建模擬）如圖，43是0。的直徑，々8=120。，點(diǎn)C為弧比＞的中點(diǎn)，AC交

D.2A/5

???ZDO5=120。，

??.ZAOD=60°,

???CD=BC,

/DOC=ZBOC=60°,

AD=CD,

?.OD_LAC,設(shè)O4=r,^iOE=-r=DE=i,

2

/.OA=2,

AE=VOA2-OE2=8,

故選：A.

3.（2019春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，在OO中,AB=AC,若ZABC=57.5°,則N8OC

的度數(shù)為（）

B.130°C.122.5°D.115°

【解答】解：-：AB=AC,ZABC=51.5°,

，ZACB=ZABC=57.5°,

ZA=180。-ZABC-ZACB=65°,

.,?由圓周角定理得：ZBOC=2ZA=130°.

故選：B.

填空題（共8小題）

4.（2019?海安縣一模）如圖1,一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形MCD,AB,AD

的長分別是2后〃和4:〃，上部是圓心為O的劣弧8,圓心角NCOD=120。.現(xiàn)欲以3點(diǎn)

為支點(diǎn)將拱門放倒，放倒過程中矩形A8CD所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖

4所示記拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離比”，則/?的最大值為_（2+2力）_機(jī).

【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)O作垂直于地面的直線與拱門外框上沿交于點(diǎn)尸，交地面于

點(diǎn)。，

圖I12圖3圖4

如圖1,AB,AD的長分別是2百根和4M,圓心角NCOD=120。，

:.ZDOP=60°,-DC=-AB=>/3,

22

:.OD=2,PQ=5,

當(dāng)點(diǎn)P在線段4）上時(shí)，拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離。等于點(diǎn)。到地面的距離，即點(diǎn)尸與

點(diǎn)。重合時(shí)，此時(shí)

h=dDC?+BC。=J（2@2+42=25/7,

如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上時(shí)，拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離/?等于OO的半徑長與

圓心O到地面的距離之和，

易知，OQ”O(jiān)B，

而/i=OP+OQ=2+OQ,

.??當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)5重合時(shí)，力取得最大值，

由圖1可知，0。=3,BQ=y/3,則OB=2>/5,

〃的最大值為OP+OB,即2+26.

故答案為：（2+26）.

5.（2019?晉江市二模）點(diǎn)A、C為直徑是6G的圓周上兩點(diǎn)，點(diǎn)3為AC的中點(diǎn)，以線段BA、

8c為鄰邊作菱形A3CD,頂點(diǎn)。恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，則該菱形的邊長為6或

【解答】解：過8作直徑，連接AC交AO于E,

?.?點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，

..BD±AC,

如圖①，

???點(diǎn)。恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，

:.BD=-x60=26，

3

:.OD=（）B-BD=^>,

?.?四邊形A8CD是菱形，

:.DE=-BD=y/3,

2

;.0E=26，

連接OC,

?rCE=yj0C2-0E2=715,

邊8=4DE2+EC2=3夜；

如圖②，BD=-x6x/3=4x/3,

3

同理可得，OD=6,OE=y/3,DE=243,

連接oc,

.CE=\IOC2-OE2=2屈,

邊CD=yjDE2+CE2=6,

故答案為6或3&.

6.（2019?下城區(qū)二模）已知C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，若Z4OC=4NB,OC=4,則AB=

4>/3_.

【解答】解：如圖，連接CO,延長CO交43于”.

???AC=BC,

.\CH.LAB,AH=BH,

,-,ZAHO=90°,

,；OA=OB,

...ZA=ZB，

VZ24OC=90°+ZA=4ZB,

.*.ZA=30°,

???Q4=OC=4,

:.OH=-OA=2,

2

AH=26,

AB=4y/3,

故答案為4G.

7.（2019?崇明區(qū)二模）如圖，在OO中，點(diǎn)C為弧A3的中點(diǎn)，OC交弦AB于。，如果A8=8,

巨

OC=5,那么8的長為3.C

【解答】解：連接AO,

?.?點(diǎn)C為弧的中點(diǎn)，

AC=BC,

.\COA.AB,AD=-AB=4,

2

???CO=5,

:.AO=5,

二.￡）0=正-42=3,

8.（2019?江岸區(qū)校級(jí)模擬）如圖，己知四邊形4JCD外接圓OO的半徑為5,對(duì)角線AC與

BD交于點(diǎn)E,BE=DE,AB=^BE,且AC=8,則四邊形他8的面積為10.

B

【解答】解：?.?8E=r)E,AB=6BE,

AB2=2BE2=BE.BD,

/.AB:BE=BD:AB，

又NEBA=ZABD,

/./^ABE^ADBA，

:.ZADB=ZBAE,

\ZADB=ZACB,

:.ZACB=ZCAB,

：.AB=BC.

連接30,交AC于H,連接OA,

\AB=BC,

BOLAC,

:.CH=AH,

:.CH=AH=-AC=4

2

AO=5,

OH=yj0A2-AH2=3,BH=OB-OH=5-3=2.

..SAM/RioCc=2AC?BH2=-x5x2=5,

???￡：是的中點(diǎn)，

??SgBE=Sw)E，S2CE=S^DCE，

-S^ABC=SvADC，

??S四邊形ABCD=2sMsc=10，

故答案為10.

B

9.（2019?浙江模擬）如圖，已知半OO的直徑四為3,弦AC與弦8。交于點(diǎn)E,ODLAC,

垂足為點(diǎn)尸，AC=BD,則弦AC的長為-A/3.

-2-

【解答】解：?.?O￡）_LAC,

AD=CD,ZAFO=9Q°,

又rAC=BD,

AC=BD,BPAD+CD=CD+BC,

AD=BC,

/.AD=CD=BC,

ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°，

???4?=2,

/.AO=BO=1,

人尸AC./人c03G30

AF=AOsmZAOF=—x——=，

224

則AC=2AF=—；

2

10.（2019?荊州一模）點(diǎn)A、C為半徑是3的圓周上兩點(diǎn)，點(diǎn)B為弧AC的中點(diǎn)，以線段84、

8c為鄰邊作菱形A8CD,頂點(diǎn)。恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上，則該菱形的邊長為—幾或

25/3_.

【解答】解：過8作直徑，連接AC交AO于E,

?.?點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，

:.BD±AC,

如圖①，

???點(diǎn)。恰在該圓直徑的三等分點(diǎn)上,

:.BD=-x2x3=2

3f

,?.OD=OB—BD=1,

???四邊形ABC。是菱形，

:.DE=-BD=\,

2

/.OE=2，

連接oc,

CE=yjoc2-OE2=小,

邊CD=dDE,+EC。=瓜；

2

如圖②，B￡）=-x2x3=4,

3

同理可得，OD=\,OE=\,DE=2,

連接OC,

-.CE=VOC2-OE2=冊(cè)=2近，

邊CD=\lDE2+CE2=7（2V2）2+22=2y/3,

故答案為庭或26.

11.（2019?新城區(qū)校級(jí)模擬）點(diǎn)A、C為半徑是4的圓周上兩點(diǎn)，點(diǎn)8為弧AC的中點(diǎn)，以

線段84、8c為鄰邊作菱形458,頂點(diǎn)力恰在該圓半徑的中點(diǎn)上，則該菱形的邊長為

276_.

【解答】解：如圖，連接Q4,設(shè)BD交AC于G,BD交OO于F.

?.?四邊形/WCZ）是菱形，

垂直平分線段AC,

.?.BR是直徑,

■.OD=DF=2,08=4,

:.BG=DG=2,

.-.OG=1,

在RtAAGD中，AG=>j42-12=715,

在RtAABG中，AB=4灰丫+3?=2屈,

故答案為26

知識(shí)點(diǎn)3圓周角定理及推論

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.

圓周角的推論：

①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

②90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.

③如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

④圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

【典例】

1.如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)A為。O上一點(diǎn)，半徑0D,弦BC于D,如果NBAC=60。，

那么BC的長是

【答案】2M

【解析】解：；NBAC=60。，ZBOC=I20。,

：OD_L弦BC,ZBOD=90°,

VZBOD=ZA=60°,；.OD」OB=1,

2

BD=VOB2-OD2=V22-12=Y^'

，BC=2BD=2?

2.如圖所示，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在。。上，ZAOD=50°,AO//DC,則NB的度數(shù)為

【答案】65°

【解析】解：如圖連接AD,

VOA=OD,ZAOD=50°,

NADO」J。。_/AQD=656

2

：AO〃DC,

.?.NODC=NAOD=50。，

ZADC=ZADO+ZODC=115°,

.,.ZB=180°-ZADC=65°

【方法總結(jié)】

1、在圓中利用圓的半徑處處相等，可迅速構(gòu)造等腰三角形。

2、利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，可便捷構(gòu)造直角三角形。

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?青山區(qū)模擬）已知OO的半徑為2,A為圓內(nèi)一定點(diǎn)，AO=i.尸為圓上一動(dòng)點(diǎn),

以AP為邊作等腰AAPG,AP=PG,ZAPG=\20°,OG的最大值為（）

A.1+6B.1+273C.2+6D.2^-1

【解答】解：如圖，將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段or,連接GT,OP.則

AO=OT=l,AT=6

■.-MOT,AAPG都是頂角為120。的等腰三角形,

:.ZOAT=ZPAG=30°,

=變=弛=顯

ATAG3

.OAAT

APAG

/.AOAP^ATMG,

OPOA￡cq

TGTA3

TG=273,

,/OG,、OT+GT,

OG?1+2\/3,

.?.OG的最大值為1+26,

故選：B.

2.（2019?鹿城區(qū)模擬）如圖，AB,BC是OO的弦，ZB=60。，點(diǎn)。在內(nèi)，點(diǎn)。為AC

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M,N,P分別是AO,DC,C8的中點(diǎn).若OO的半徑為2,則PN+MN

的長度的最大值是（）

B.1+2>/3C.2+2百D.2+6

【解答】解：連接OC、OA.BD,作OHLAC于H.

ZAOC=2ZABC=120°,

■.OA=OC,OHVAC,

Z.COH=ZAOH=60°,CH=AH,

CH=AH=OC.sin60。=石，

AC=2x/3,

?;CN=DN,DM=AM,

:.MN='AC=6

2

.CP=PB,AN=DN,

:.PN=-BD,

2

當(dāng)8。是直徑時(shí)，PN的值最大，最大值為2,

.?/團(tuán)+上亞的最大值為2+6.

故選：D.

解答題（共2小題）

3.（2019?蒼南縣模擬）如圖，在AABC中，CA=CB,E是邊3c上一點(diǎn)，以AE為直徑的

。0經(jīng)過點(diǎn)C,并交A3于點(diǎn)連結(jié)ED.

（1）判斷及3DE的形狀并證明.

（2）連結(jié)CO并延長交AS于點(diǎn)F,若BE=CE=3,求AF的長.

【解答】（1）證明：ABDE是等腰直角三角形.

?.?AE是OO的直徑

...ZAG?=ZA￡>￡=90°,

ZBDE=180°-90°=90°.

???C4=C8,

/.ZB=45°,

??.ABDE是等腰直角三角形.

（2）過點(diǎn)/作EGJ_A。于點(diǎn)G,

則AAFG是等腰直角三角形，且AG=FG.

\OA=OCf.\ZEAC=ZFCG.

?.,BE=CE=3，

/.AC=BC=2CE=6,

CE1

/.tanZ.FCG=tanZ.EAC=----=—

AC2

.\CG=2FG=2AG.

,\FG=AG=2f

AF=2>/2.

4.（2019?南開區(qū)一模）已知：如圖1,在OO中，直徑AB=4,CD=2,直線4）,8C相

交于點(diǎn)E.

（1）/￡的度數(shù)為_60°

（2）如圖2,4?與CZ）交于點(diǎn)尸，請(qǐng)補(bǔ)全圖形并求NE的度數(shù);

（3）如圖3,弦/W與弦CD不相交，求NAEC的度數(shù).

E

\OD=OC=CD=2

.?.AZX?C為等邊三角形，

.?.ZDOC=60°

:.ZDBC=30°

:,ZEBD=3(T

,「AB為直徑，

.??NADB=90。

/.ZE=90°-30°=60°

NE的度數(shù)為60°；

(2)①如圖2,直線4),CB交于點(diǎn)E,連結(jié)8,OC,AC-

?；OD=OC=CD=2,

.?.ADOC為等邊三角形，

/.ZZ)OC=60°,

/.ZZMC=30°,

;.NEBD=30。，

???4?為直徑，

.\ZACB=90°,

.-.ZE=90°-30o=60°,

(3)如圖3,連結(jié)8,OC,

?；OD=OC=CD=2,

??.ADOC為等邊三角形,

:.ZDOC=60°,

ZCBD=30°,

??.ZAD3=90°，

:,ZBED=60°，

.?.ZAEC=60。.

知識(shí)點(diǎn)4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

2.外角等于它的內(nèi)對(duì)角

【典例】

1.如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在。O上，且AE的度數(shù)為50。，則NB+ND的度數(shù)為

【答案】155°

【解析】解：連接AB、DE,則NABE=NADE,

AE為50°,.../ABE=/ADE=25。，

?.?點(diǎn)A、B、C、D在。O上，

四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

AZABC+ZADC=180°,

ZABE+ZEBC+ZADC=180°,

ZB+ZD=180°-ZABE=180°-25°=155°

2.如圖，已知。。的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長線分別交于點(diǎn)E、F,若/E+/F=70。,

則NA的度數(shù)是

【解析】解：???四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形,

NA=NBCF,

ZEBF=ZA+ZE,

而NEBF=180°-ZBCF-NF,

ZA+ZE=180°-ZBCF-ZF,

.,.ZA+ZE=180-ZA-ZF,

即2/A=180。-(ZE+ZF)=110°,

NA=55。

3.如圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，ZADC=90°,AB=7cm,CD=5cm,AE=4cm,

CF=6cm,則陰影部分的面積為cm2.

A/_E_\D

【答案】31

【解析】解：如圖，連接AC.

?

A/_E_\D

ZADC=90°,

；.AC是直徑，

ZABC=90°,

.*.CD±AE,AB_LCF,

VSBFSAAEC+SAAFC=—?AE<D+^?CF?AB=^x4x5+^x6x7=31（cm2）

2222

【方法總結(jié)】

證明四點(diǎn)共圓的一般方法：

1、逆用同弦所對(duì)圓周角相等

2、逆用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形是OO的內(nèi)接四邊形，AD=BC.若

ZBAC=45°,Zfi=105°,則下列等式成立的是（）

D

i

C.AB=-CDD.AB=—CD

32

???AD=BC,

NACD=NBDC=NBAC=45。,

/.NDKC=90。,

??ZBAC=ZDCK=45。,

：.AB//CD,

ZABC+/BCD=180°,

???ZABC=105°,

:.ZDCB=75°,ZACB=30°,

vZC/?=90°，

：.CK=6BK,

??4KAB=4KDC,ZAKB=ZDKC,

二.AAA^SADKC,

ABBK

----=-----,

CDKC

??.AB=—AB,

3

故選：B.

2.（2019?岳麓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在圓。的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=3,AD=5,

N84D=60。，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長是（）

?o

B

A.4B.2GC.-D.—

33

【解答】解：?.?A、B、。、。四點(diǎn)共圓，440=60。，

Z8CD=180°-60°=120°,

■.ZBAD=60°,AC平分

.-.ZC4D=ZC4B=30°,

如圖I,

將AAC￡＞繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得NCBE,

則NE=NOW=30°,BE=AD=5,AC=CE,

ZABC+NEBC=(180°-CAB+ZACB)+(180°-ZE-/BCE)=180°,

,A、B、K三點(diǎn)共線，

過C作CM_LA￡于M,

:AC=CE,

:.AM=EM=^x(5+3)=4,

在RtAAMC中，AC=-AM=-^=—X

cos30°y/33

故選：D.

3.（2019?碑林區(qū)校級(jí)三模）如圖，四邊形ABCQ內(nèi)接于圓O,連接08,OD,若

ZBOD=ABCD,則N/MO的度數(shù)為（）

B.45°C.60°D.120°

【解答】解：設(shè)N^AD=x,則NB8=2x,

???NBCD=/BOD=2x,Z^4D+ZBCD=180°,

...3%=180。，

/.x=60°，

.*.ZBAD=60°,

故選：c.

4.（2019?德州）如圖，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)A,C,D到點(diǎn)O的距離相等，若NAfiC=40。,

B八,

則NA￡>C的度數(shù)是（）0

A.130°B.140°C.150°D.160°

【解答】解：由題意得到Q4=O8=OC=OD,作出圓O,如圖所示，

四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，

ZABC+ZADC=180°,

?/ZABC=40°，

ZADC=140°,

5.（2019?藍(lán)田縣一模）如圖，點(diǎn)A、B、C、。在G）O上，CB=CD,NC4￡>=30。，ZACD=50°,

則ZADB=()

A.30°B,50°C.70°D.80°

【解答】解：?.?C8=CO,ZCAD=30°

??.ZCAD=ZCAB=30°,

:./DBC=ZDAC=3。。,

vZACD=50°,

:.ZABD=50°,

：.ZACB=ZADB=1800-ZCAB-ZABC=180°-50°-30°-30°=70°.

故選：C.

6.(2019?江北區(qū)一模)如圖，點(diǎn)A、B、C、。在G)O上，NAOC=120。，點(diǎn)4是弧AC的

中點(diǎn)，則NO的度數(shù)是()

電

A.60°B.35°C.30.5°D.30°

【解答】解：連接08,

?.?點(diǎn)8是AC的中點(diǎn)，

:.ZAOB=-ZAOC=60°,

2

由圓周角定理得，Z￡)=-ZA6>B=30°,

2

故選：D.

7.（2019?周村區(qū)一模）如圖，四邊形ABCZ）內(nèi)接于OO,AB=9,4）=15,ZBC￡>=120°,

弦AC平分則AC的長是（

C.12D.13

過C作CE_LAT>于￡,CF_LAB交回延長線于E,ZBFC=ZDEC=90°,

.AC平分

:.CF=CE,

由勾股定理得：AF2=AC2-CF2,AE2=AC2-CE2,

:.AF=AE,

?.?A、B、C、。四點(diǎn)共圓，

../FBC=ND,4AD+N8CD=180。，

vZBC￡>=120°,

.-.ZB4D=60°,

???AC平分NRM>,

ZBAC=ZZMC=30°,

在AFBC和ADEC中

ZFBC=ZD

<NBFC=/DEC

CF=CE

:.AFBC^ADEC（AAS）,

?.BF=DE,

???AB=9,AD=15,

AF+AE=AB+BE+AD-DE=9+BF+\5-DE=9+\5=24,

:.AF=AE=\2f

\ZBAC=30°,ZAFC=90。，

/.AC=2CF,

/.CF2+122=（2CF）2,

解得：CF=4y[3,

:.AC=2CF=Sy[3f

故選：B.

8.（2019?行唐縣模擬）如圖，四邊形ABDC內(nèi)接于OO,ZBDE=78°36r,則々OC的度

數(shù)（）

A.157°12rB.156°48rC.78°12zD.156028z

【解答】解：?.?ZBDE=78。36',

/.ZCDB=180°-ZBDE,

VZA4-ZCDB=180°,

.-.ZA=78°36\

/.ZBOC=157°12z,

故選：A.

9.（2019?雁塔區(qū)校級(jí)三模）如圖，四邊形ABC。為OO的內(nèi)接四邊形，AOrBC,垂足為

點(diǎn)E,若NADC=130。，則N8QC的度數(shù)為（）

C.75°D.60°

【解答】解：?.?四邊形ABC。為OO的內(nèi)接四邊形，Z4ZX?=130°,

NABE=180。-130。=50。，

\AO-LBC,

.?.ZAE3=90。,

..ZBAE=40°,

?/AOA.BC,

BC=2BE,

ZBDC=2ZBAE=80°，

故選：B.

綜合運(yùn)用：圓的有關(guān)性質(zhì)

1.把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=4cm,求

【解析】解：如圖，設(shè)EF的中點(diǎn)M,作MNJ_AD于點(diǎn)M,取MN上的球心O,連接OF,

???ZC=ZD=90°,

，四邊形CDMN是矩形,

MN=CD=4cm.

設(shè)OF=xcm,貝UON=OF>

；.OM=MN-ON=(4-x)cm,MF=2cm,

在直角三角形OMF中，OMZ+MFaMOF2

即：(4-x)2+22=x2

解得：x=2.5cm

答:球的半徑為2.5cm。

2.如圖，AB是半圓的直徑，。是圓心，C