人教A版高中數學必修四《三角函數的誘導公式》目標導學

1.3三角函數的誘導公式第1課時誘導公式一～四問題導學一、利用誘導公式解決給角求值問題活動與探究1求下列各三角函數值：(1)sin(－945°)；(2).遷移與應用求值：(1)tan170°＋tan190°＋sin1866°－sin(－606°)；(2).此類問題為給角求值，主要是利用誘導公式把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值求解．如果是負角，一般先將負角的三角函數值轉化為正角的三角函數值．要記住一些特殊角的三角函數值．二、用誘導公式解決給值求值問題活動與探究21．若sin(3π＋θ)＝，求的值．2．已知，求的值．遷移與應用1．已知sin(α＋π)＝，且sinαcosα＜0，求的值．2．已知cos(α－75°)＝，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．此類問題是給值求值．解決這類問題的方法是根據所給式和被求式的特點，發(fā)現它們之間的內在聯系，特別是角之間的關系，恰當地選擇誘導公式．三、利用誘導公式化簡三角函數式活動與探究3化簡：.遷移與應用1．化簡：.2．化簡：(n∈Z)．三角函數式的化簡方法：(1)利用誘導公式，將任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值．(2)利用切函數與弦函數之間的轉化．當堂檢測1．cos300°＝()A．B．C．D．2．設tan(5π＋α)＝m，則的值為()A．B．C．－1D．13．若cos(－100°)＝a，則tan80°＝()A．B．C．D．4．已知函數f(x)＝，則下列四個等式中成立的個數是__________．①f(2π－x)＝f(x)；②f(2π＋x)＝f(x)；③f(－x)＝－f(x)；④f(－x)＝f(x)．5．化簡＝__________.提示：用最精煉的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來并進行識記.答案：課前預習導學【預習導引】一、1．相同sinα(k∈Z)cosα(k∈Z)tanα(k∈Z)2．原點－sinα－cosαtanα3．x軸－sinαcosα－tanα4．y軸sinα－cosα－tanα預習交流提示：不是．α的取值必須使公式中角的正切值有意義．課堂合作探究【問題導學】活動與探究1思路分析：對于負角的三角函數求值，可先利用誘導公式三化為正角的三角函數值；對于大于360°或2π的角再用公式一、二、四轉化為銳角的三角函數值．解：(1)方法一：sin(－945°)＝－sin945°＝－sin(225°＋2×360°)＝－sin225°＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)．方法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)．(2)方法一：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,3)))＝coseq\f(16π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋4π))＝coseq\f(4π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)．方法二：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－6π))＝coseq\f(2π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)．遷移與應用解：(1)原式＝tan(180°－10°)＋tan(180°＋10°)＋sin(360°×5＋66°)＋sin(360°＋246°)＝－tan10°＋tan10°＋sin66°＋sin(180°＋66°)＝sin66°－sin66°＝0．(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))coseq\f(19π,6)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(5π,4)))＝sineq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(7π,6)))taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)))＝sineq\f(π,4)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))taneq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)×1＝－eq\f(\r(6),4)．活動與探究21．思路分析：利用誘導公式將已知化簡，然后代入所求式的化簡式中求值．解：∵sin(3π＋θ)＝eq\f(1,4)，∴sin(π＋θ)＝eq\f(1,4)．∴sinθ＝－eq\f(1,4)．eq\f(cos(π＋θ),cos(－π＋θ)[cos(π＋θ)－1])－eq\f(cos(θ－2π),cos(θ＋2π)cos(θ＋π)＋cos(－θ))＝eq\f(cosθ,cos(π－θ)(1＋cosθ))－eq\f(cosθ,cosθ－cos2θ)＝eq\f(－1,1＋cosθ)－eq\f(1,1－cosθ)＝－eq\f(2,1－cos2θ)＝－eq\f(2,sin2θ)＝－32．2．思路分析：注意到eq\f(5π,6)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，再用π－α的誘導公式化簡coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))，轉化成同角三角函數基本關系問題求解．解：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3)，而sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，∴原式＝eq\f(－\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3)．遷移與應用1．解：∵sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(4,5)．又sinαcosα＜0，∴cosα＞0，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，∴tanα＝－eq\f(4,3)．原式＝eq\f(－2sinα－3tanα,－4cosα)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),4×\f(3,5))＝－eq\f(7,3)．2．解：∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)＜0，且α為第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2(α－75°))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)．∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3)．活動與探究3思路分析：利用誘導公式直接化簡即可．解：原式＝eq\f(cosθ·cos2θ·sin2θ,sinθ·sin(π＋θ)·cos2θ)＝eq\f(cos3θ·sin2θ,sinθ·(－sinθ)·cos2θ)＝eq\f(cosθ·sin2θ,－sin2θ)＝－cosθ．遷移與應用1．解：原式＝eq\f(sin(360°＋180°＋α)·cosα,－tan(180°－α))＝eq\f(sin(180°＋α)·cosα,tanα)＝eq\f(－sinα·cosα,\f(sinα,cosα))＝－cos2α．2．解：(1)當n為奇數時，原式＝sineq\f(2,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(4,3)π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))))＝sineq\f(π,3)·coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4)．(2)當n為偶數時，原式＝sineq\f(2,3)π·coseq\f(4,3)π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(\r(3),4)．【當堂檢測】1．C2．A3．A4．1解析：f(2π－x)＝coseq\f(2π－x,2)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4