小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)第2課《質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)》試題附答案

小學(xué)五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第2課《質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)》試題附答案

一、基本慨念和知識(shí)

L質(zhì)數(shù)與合數(shù)

一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素

數(shù)）。

一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

要特別記?。?不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

2質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)

如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例：把3吩解質(zhì)因數(shù)。

解：30=2X3X5。

其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù)。

又如12=2X2X3=2*3,2,3都叫做12的質(zhì)因數(shù)。

二、例題

例1三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個(gè)數(shù).

例2兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是40,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少?

例3自然數(shù)12345678混質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么？

例4連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？

例5把5、6、7、14、15這五個(gè)數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。

例6有三個(gè)自然數(shù)，最大的比最小的大6,另一個(gè)是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘

積是42560.求這三個(gè)自然數(shù)。

例7有3個(gè)自然數(shù)a、b,c.已知aXb=6,bXc=15,

例8一個(gè)整數(shù)a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù).求a的最小值與這個(gè)平方數(shù)。

例9問(wèn)360共有多少個(gè)約數(shù)？

例10求240的約數(shù)的個(gè)數(shù)。

答案

二、例題

例1三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個(gè)數(shù).

解：?:210=2X3X5X7

???可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7。

例2兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是40,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？

解：把40表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：

40=17+23=11+29=3+37。

V17X23=391>UX29=319>3X37=Uh

..?所求的最大值是391。

答：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的最大乘積是391。

例3自然數(shù)123456789是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？為什么?

解：123456789是合數(shù)。

因?yàn)樗擞屑s數(shù)1和它本身外，至少還有約數(shù)3,所以它是一個(gè)合數(shù)。

例4連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？

解：如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個(gè)質(zhì)數(shù)

(如:1~9中有4個(gè)質(zhì)數(shù)2、3、5、7)。

如果這連續(xù)的九個(gè)自然中最小的不小于3,那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，

而其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多有5個(gè).這5個(gè)奇數(shù)中必只有一個(gè)個(gè)位數(shù)是5,因而5是這個(gè)

奇數(shù)的一個(gè)因數(shù)，即這個(gè)奇數(shù)是合數(shù).這樣，至多另4個(gè)奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。

綜上所述，連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有4個(gè)質(zhì)數(shù)。

例5把5、6、7、14、15這五個(gè)數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。

解：V5=5,7=7,6=2X3,14=2X7,15=3X5,

這些數(shù)中質(zhì)因數(shù)2、3、5、7各共有2個(gè)，所以如把14

(=2X7)放在第一組，那么7和6(=2X3)只能放在第二組，繼而15(=

3X5)只能放在第一組，貝U5必須放在第二組。

這樣14X15=210=5X6X7。

這五個(gè)數(shù)可以分為14和15,5、6和7兩組。

例6有三個(gè)自然數(shù)，最大的比最小的大6,另一個(gè)是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘

積是42560.求這三個(gè)自然數(shù)。

分析先大概估計(jì)一下，30X30X30=27000,遠(yuǎn)小于42560.40X40X40=

64000,遠(yuǎn)大于42560.因此，要求的三個(gè)自然數(shù)在30~40之間。

解：42560=26X5X7X19

=25X(5X7)X(19X2)

=32X35X38（合題意）

要求的三個(gè)自然數(shù)分別是32、35和38。

例7有3個(gè)自然數(shù)a、b、c.己知aXb=6,bXc=15,

aXc=10.求aXbXc是多少？

解：:6=2X3,15=3X5,10=2X5。

(aXb)X(bXc)X(aXc)

=(2X3)X(3X5)X(2X5)

：z:22:

.?.aXbXc=2X3X5

(aXbXc)2=(2X3X5)z

aXbXc=2X3X5=30

在例7中有a2=22,b:=3:,e=52,其中V=4,32=9,5?=25,像4、9、25

這樣的數(shù)，推及一般情況，我們才

fruI詬一

如.IT22=4,32=9,42=16,…，112=121,12』144,…其中1,4,9,

16,121,144,…都叫做完全平方數(shù).

下面讓我們觀察一下，把一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)

有什么特征。

例如：把下列各完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：

9,36,144,1600,275625。

解：9=3236=22X32144=32X24

1600=2sX5:275625=3^X5：X7:

可見(jiàn)，一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均是偶數(shù)。

反之，如果把一個(gè)自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后，各個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)，

那么這個(gè)自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。

如上例中，36=62,144=122,1600=40%275625=525%

例8一個(gè)整數(shù)a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù).求a的最小值與這個(gè)平方數(shù)。

分析:a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，

，乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一定全是偶數(shù)。

解：：1080Xa=23X33X5Xa,

又「1080=23X3這5的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，

遍含質(zhì)因數(shù)2、3、5,因此遇小為2X3X5。

/.1080Xa=1080X2X3X5=1080X30=32400o

答：a的最小值為30,這個(gè)完全平方數(shù)是32400。

例9問(wèn)36哄有多少個(gè)約數(shù)？

分析360=2?義3?X5。

為了求36哺多少個(gè)約數(shù)，我們先來(lái)看32X5有多少個(gè)約數(shù)，然后再把所有

這些約數(shù)分別乘以1、2、22、23,即得到VX32X5(=360)的所有約數(shù).為了求

32X5有多少個(gè)約數(shù)，可以先求出5有多少個(gè)約數(shù)，然后再把這些約數(shù)分別乘以

L3、32,即得到32X5的所有約數(shù)。

解：記5的約數(shù)個(gè)數(shù)為匕，

3?X5的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y],

360(=2SX32X5)的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y.由上面的分析可知：

Y.=4XY.,Y.=3XY,

顯然Y】=2(5只有1和5兩個(gè)約數(shù))。

因此Y?=4XY.=4X3XY】=4X3X2=24。

所以360共有24個(gè)約數(shù)。

說(shuō)明：X=4XY；中的“4”即為“1、2,2入2：”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是其中

2的最大指數(shù)加1,也就是360=2>32X5中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)加1；Y-=3XY沖的

“3”即為“1、3、32”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是2"32X5中質(zhì)因數(shù)3的個(gè)數(shù)加1；而

Y1=2中的"2”即為“1、5”中數(shù)的個(gè)數(shù)，即2詠3詠5中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)加1.因

北

Y,=(3+1)X(2+1)X(1+1)=24。

對(duì)于任何一個(gè)合數(shù)，用類似于對(duì)23X32X5(=360)的約數(shù)個(gè)數(shù)的討論方

式，我們可以得到一個(gè)關(guān)于求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的重要結(jié)論：

一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)(即指

數(shù))力口1的連乘的積。

例10求240的約數(shù)的個(gè)數(shù)。

解：?..240=24><3。51,

...240的約數(shù)的個(gè)數(shù)是

(4+1)X(1+1)X(1+1)=20,

.■，24南0個(gè)約數(shù)。

請(qǐng)你列舉一下240的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是20個(gè)？

習(xí)題二

1.邊長(zhǎng)為自然數(shù)，面積為105的形狀不同的長(zhǎng)方形共有多少種？

2.11112222個(gè)棋子排成一個(gè)長(zhǎng)方陣.每一橫行的棋子數(shù)比每一豎列的棋子

數(shù)多1個(gè).這個(gè)長(zhǎng)方陣每一橫行有多少個(gè)棋子？

3.五個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積是55M0,求這五個(gè)自然數(shù)。

4.自然數(shù)諫以338,恰好是自然數(shù)b的平方.求a的最小值以及b。

5.求10500的約數(shù)共有多少個(gè)？

五年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第二講質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)習(xí)題解答

習(xí)題二解答

I/.,105=3X5X7,

105=1X105=3X35=5X21=7X15,

二?共有4種。

2分析

每一橫行棋子數(shù)比每一豎列棋子數(shù)多1個(gè)。

橫行數(shù)與豎列數(shù)應(yīng)是兩個(gè)相鄰的自然數(shù).

解：11112222=3333X3334

答案為3334。

3/7、8,9、10、llo

4分析

;自然數(shù)探以338,恰好是自然數(shù)b的平方，

二.a與338的積分解質(zhì)因數(shù)以后，每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)之和都是偶數(shù)。

解：:338=2X13X13,

：.a=2,b=2X13=26o

5.解：..70500=22X3X53X7,

又「(2+1)X(1+1)X(3+1)X(1+1)=48。

10500的約數(shù)共有48個(gè)一

附：奧數(shù)技巧分享

分享四個(gè)奧數(shù)小技巧。希望孩子早進(jìn)步哦。

技巧1：培養(yǎng)孩子數(shù)字感

要想入門(mén)奧數(shù)，很大一部分程度上靠的就是孩子的數(shù)字感，那么我們應(yīng)該如何培養(yǎng)孩子的數(shù)

字感呢？最簡(jiǎn)單的方法，就是讓孩子去超市購(gòu)物，自己算賬，把自己的日常開(kāi)銷交給孩子進(jìn)

行計(jì)算。

不但可以練就孩子熟能生巧的技巧，還能讓孩子早點(diǎn)持家，懂得金錢(qián)來(lái)之不易，好好學(xué)習(xí)的

道理，一箭雙雕！

小學(xué)奧數(shù)中，很多題型都是有規(guī)律的計(jì)算題，希望家長(zhǎng)能夠注重孩子的計(jì)算能力的培養(yǎng)，從

數(shù)字感的培養(yǎng)練就孩子基本的奧數(shù)素質(zhì)能力哦。

技巧2：培養(yǎng)孩子敏銳的觀察能力

奧數(shù)題目中有一類題目就是移動(dòng)火柴或者根據(jù)已有圖案進(jìn)行圖案相關(guān)的規(guī)律的填充，此類型

的題目考核的就是學(xué)生的觀察能力，所以我們希望家長(zhǎng)從小就開(kāi)始培養(yǎng)孩子的觀察能力。

比如，給孩子的額外作業(yè)就是觀察家里的變化，寫(xiě)日記，或者觀察老師講課的方式