結構力學課件第5位移計算

靜定結構的位移計算返回第5章靜定結構的位移計算靜定結構的位移計算返回§5—1結構位移和虛功的概念§5—2變形體系的虛功原理和單位荷載法§5—3靜定結構由荷載引起的位移§5—4圖乘法§5—5互等定理靜定結構的位移計算返回§5—1

結構位移和虛功的概念一、有關結構位移的概念1.變形和位移在荷載作用下，結構將產(chǎn)生變形和位移。變形：是指結構形狀的改變。位移：是指結構各處位置的移動。2.位移的分類和廣義位移APA′

A線位移：角位移：

A(△A)△Ay△Ax△Ay△Ax△A絕對位移相對位移PABCDC′D′△C△D△CD=△C+△D□}{{廣義位移靜定結構的位移計算返回線位移角位移靜定結構的位移計算返回3.計算位移的目的（1）為了校核結構的剛度。（2）結構施工的需要。（3）為分析超靜定結構打下基礎。起拱高度△MFQFNκγε↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不產(chǎn)生內(nèi)力，產(chǎn)生變形產(chǎn)生位移b）溫度改變和材料脹縮；c）支座沉降和制造誤差不產(chǎn)生內(nèi)力和變形產(chǎn)生剛體移動

位移是幾何量，自然可用幾何法來求，如lD=bxdwd=k22βΔ但最好的方法不是幾何法，而是虛功法。其理論基礎是虛功原理。a）荷載作用；4.產(chǎn)生位移的原因主要有三種：

靜定結構的位移計算返回1）荷載與位移成正比σ=Eε；2）小變形；3）具有理想約束的體系；4）荷載全部撤除后，由荷載引起的位移也全部消失。即：線彈性體系?？捎茂B加原理。

結構力學中計算位移的一般方法是以虛功原理為基礎的。本章先介紹變形體系的虛功原理，然后從中導出靜定結構的位移計算公式·。5.

線性變形體系假定：靜定結構的位移計算返回二、有關功和虛功的概念（一）、功的概念定義：一個不變的集中力所做的功等于該力的大小與其作用點沿力作用線方向的分位移的乘積。Ｗ=F△△是力作用線方向的分位移靜定結構的位移計算返回（二）、廣義力的概念與廣義位移相對應的力因子稱為廣義力。廣義力與廣義位移的關系是：它們的乘積是功。即：W=FΔ，故：1）廣義力是單個力P，則廣義位移是該力的作用點的全位移在力的方向上的分量。PΔmβ2）廣義力是一個力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角β。3）若廣義力是等值、反向的一對力PPPttABΔBΔAW=PΔA+PΔB=P（ΔA+ΔB）=PΔ這里Δ是與廣義力相應的廣義位移。表示AB兩點間距的改變，即AB兩點的相對位移。4）若廣義力是一對等值、反向的力偶mABΔmm

A

BW=m

A+m

B=m（

A+

B）=mΔ這里Δ是與廣義力相應的廣義位移。表示AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角。靜定結構的位移計算返回（三）、實功與虛功實功：虛功：W=力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是彼此無關的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無關的狀態(tài)。例如：例如：W12=P1·△2力在本身引起的位移上作的功。力狀態(tài)位移狀態(tài)一個體系靜定結構的位移計算返回§4—２變形體系的虛功原理和單位荷載法一、虛應變能當結構的力狀態(tài)的外力因結構的位移狀態(tài)的位移作虛功時，力狀態(tài)的內(nèi)力也因位移狀態(tài)的相對變形而作虛功，這種虛功稱為虛應變能，以V表示。力狀態(tài)位移狀態(tài)靜定結構的位移計算返回力狀態(tài)位移狀態(tài)微段上的虛應變能表示為對于直桿構成的結構單個桿件的應變能靜定結構的位移計算返回二、虛功原理變形體平衡的必要和充分條件是：對任意微小位移，外力所作的虛功總和等于此變形體各微段上內(nèi)力所作的變形虛功總和。即：1.變形體的虛功原理稱為虛功方程，式中：

WＶ——外力虛功

——內(nèi)力虛功（虛應變能）W=V變形體的虛功原理可用虛功方程表達：外力虛功=虛變形能外力虛功等于力狀態(tài)中所有外力（包括荷載和支座反力）在位移狀態(tài)對應位置的對應位移上所作的虛功。虛變形能等于力狀態(tài)中各微段上的內(nèi)力在位移狀態(tài)對應微段上的變形所作的虛功總和。靜定結構的位移計算返回對于直桿構成的結構對于桿件結構虛功原理桿件的虛功方程靜定結構的位移計算返回虛功原理的兩種用法

1．虛設位移狀態(tài)——可求實際力狀態(tài)的未知力。這是在給定的力狀態(tài)與虛設的位侈狀態(tài)之間應用虛功原理，這種形式的應用即為虛位移原理。

2．虛設力狀態(tài)——可求實際位移狀態(tài)的位移。這是在給定的位移狀態(tài)與虛設的力狀態(tài)之間應用虛功原理，這種形式的應用即為虛力原理。2.剛體的虛功原理W=0剛體平衡的必要和充分條件是：對任意微小虛位移，外力所作的虛功總和等于零。即：

1．虛設位移狀態(tài)——可求實際力狀態(tài)的未知力。這是在給定的力狀態(tài)與虛設的位侈狀態(tài)之間應用虛功原理，這種形式的應用即為虛位移原理。

2．虛設力狀態(tài)——可求實際位移狀態(tài)的位移。這是在給定的位移狀態(tài)與虛設的力狀態(tài)之間應用虛功原理，這種形式的應用即為虛力原理。靜定結構的位移計算返回三、單位荷載法P1P2t1t2Ε2γ2κ2位移狀態(tài)2c1c2KK‘ΔKHP=1虛擬力狀態(tài)12R1R需首先虛擬力狀態(tài)

在欲求位移處沿所求位移方向加上相應的廣義單位力P=1.一個體系，兩種狀態(tài)實際位移狀態(tài)虛擬力狀態(tài)一般可寫為：虛外功虛應變能1.桿件結構位移計算的一般公式靜定結構的位移計算P1P2t1t2Ε2γ2κ2位移狀態(tài)2c1c2KK‘ΔKH注:1)適用于靜定結構和超靜定結構;2)材料可以是彈性的也可是非彈性的;3)產(chǎn)生位移的原因可以是各種因素;4)既考慮了彎曲變形也考慮了剪切變形和軸向變形對位移的影響；

5)一般公式右邊四項乘積,當力與變形的方向一致時,乘積取正。上式即為桿件結構位移計算的一般公式通過虛設單位廣義力作用的力狀態(tài)，利用虛功方程求位移的方法—單位荷載法。返回P=1虛擬力狀態(tài)12R1R靜定結構的位移計算返回2.虛擬狀態(tài)的設置在應用單位荷載法計算時，應據(jù)所求位移不同，設置相應的虛擬力狀態(tài)。例如:廣義力與廣義位移靜定結構的位移計算返回P=1m=1m=1m=1P=1P=1l1/l1/lAB求A點的水平位移求A截面的轉(zhuǎn)角求AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角求AB兩點的相對位移求AB兩點連線的轉(zhuǎn)角位移方向未知時無法直接虛擬單位荷載！靜定結構的位移計算返回3.應用1）僅有荷載作用時2）僅有支座移動時3）僅有軸向伸縮時單位荷載法把計算位移這一幾何問題變?yōu)橹饕翘撟冃文艿挠嬎銌栴}。使計算得到簡化。注意力狀態(tài)中的力符號上有橫杠，表示此力由單位荷載產(chǎn)生。例1：試求圖示桁架因桿a收縮2cm而引起的D點的豎向位移。

3×4=12m

a3m3mD3×4=12ma3m3mP=1解：左邊題圖即為位移狀態(tài)，由桁架因桿a收縮而引起的位移是剛體位移，所有桿件軸力為0，無支座移動。因桿a收縮2cm而引起的

εa

=du2/dx=-0.02/5；右圖為虛設力狀態(tài)，可求得桿a軸力

Na=-5/18，公式變?yōu)椋害V=Σ∫N1du2=∫Naεa

dx==∫5/18×0.02/5dx=1/180=0.0055m（↓）此例很好地說明了用虛功原理計算位移的優(yōu)越性；本來桁架因桿a收縮2cm而引起的D點的豎向位移是一個極為復雜的幾何問題，但通過虛功原理，它變成了虛設力狀態(tài)的平衡問題，答案可以輕易解得。靜定結構的位移計算返回

§4—3荷載作用下的位移計算↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑FNFQM真實位移狀態(tài)注：EI、EA、GA是桿件截面抗彎、拉、剪剛度；

k是截面形狀系數(shù)k矩=1.2，k圓=10/9。（1）FNP、FQP、MP實際荷載引起的內(nèi)力，是產(chǎn)生位移的原因；虛設單位荷載引起的內(nèi)力是（2）公式右邊各項分別表示軸向、剪切、彎曲變形對位移的影響。注意到無支座移動靜定結構的位移計算返回荷載作用下的位移計算↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑真實位移狀態(tài)（4）桁架（3）梁和剛架的位移主要是彎矩引起的?òdxEIMMPΔ=FNFQM每一桿的內(nèi)力及截面都沿桿長不變在計算由于內(nèi)力所引起的變形時，沒有考慮桿件的曲率對變形的影響，因此只有對直桿才正確，應用于曲桿計算則是近似的。靜定結構的位移計算返回Pl/2l/2EIABx1x2例4—1

：求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。解：1）虛擬單位荷載m=1MP（x1）=Px/20≤x1≤l/2MP（x2）=P（l－x）/2l/2≤x2≤ll－x(x)M=0≤x≤lEIPl162=－EIdxxlPlxdxEIPxlxlll2)(2220-－=－òòEIdxMMlPB0=òj2）MP須分段寫靜定結構的位移計算返回例4—2求圖示剛架A點的豎向位移△Ay。E、A、I為常數(shù)。解：1.設置虛擬狀態(tài)選取坐標如圖。則各桿彎矩方程為:AB段：x,BC段：2.實際狀態(tài)中各桿彎矩方程為AB段：BC段：MP=MP=3.代入公式得△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx靜定結構的位移計算返回例4—3求圖示桁架下弦5的撓度。設各桿的截面面積，。解：虛擬狀態(tài)如圖b所示。實際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)所產(chǎn)生的桿件內(nèi)力均列在表中，根據(jù)公式：實際位移狀態(tài)虛設力狀態(tài)可得所示結點5的撓度為靜定結構的位移計算返回靜定結構的位移計算返回作業(yè)：

第199頁5-4、5-7（a）、5-10§5—4

圖乘法一、荷載作用下位移計算的簡化及其具備的條件

1、桿件多為等截面直桿。3、MK、MP圖形中至少有一個為直線圖形。2、同一桿件EI常為常數(shù)。?ò=DPdsEIMM二、圖乘法證明結論：在滿足前述條件下，積分式之值等于某一圖形面積A乘以該面積形心所對應的另一直線圖形的縱y0,再除以EI。第6章yxoyyodxdAMP(x)MK(X)

xxoBA靜定結構的位移計算返回⑤幾種常見圖形的情況：單位荷載彎矩圖由若干直線段組成時，就應該分段圖乘。兩個梯形相乘時，不必找出梯形的形心，而將一個梯形分解為兩個三角形，然后分別與另一梯形圖乘。靜定結構的位移計算返回均布荷載作用區(qū)段的彎矩圖與直線段圖乘。兩個圖形都呈直線變化，但均含有不同符號的兩部分，圖乘時也將其中一圖形分解為三角形。靜定結構的位移計算返回幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線A=hl/3二次拋物線A=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線A=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線A=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點靜定結構的位移計算返回PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？？靜定結構的位移計算返回圖乘法位移計算舉例?ò?==DPEIydxEIMMCAP①∑表示對各桿和各桿段分別圖乘而后相加。②圖乘法的應用條件：③豎標yC④面積AP與豎標yC在桿的同側(cè)，AP

yC

取正號，否則取負號。⑤幾種常見圖形的面積和形心的位置：h3l/4l/4二次拋物線ω=hl/3頂點l/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3頂點

a）EI=常數(shù)；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。取在直線圖形中，對應另一圖形的形心處。⑥當圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當EI分段為常數(shù)或M、MP均非直線時，應分段圖乘再疊加。靜定結構的位移計算返回⑦非標準圖形乘直線形a）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/3AP1AP2y1y2()bcadbdacl+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332al=2òyydxMMki+=21AP2AP1MiMk各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標在基線同側(cè)乘積取正，否則取負。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）

=111（1）32649靜定結構的位移計算返回S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）

=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）

=332364（3）9（2）32649（4）2369靜定結構的位移計算返回＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非標準拋物線成直線形舉例靜定結構的位移計算返回例5-6：試求圖示簡支梁A端的角位移和中點C的豎向位移。EI為常數(shù)。解：荷載作用下的彎矩圖和兩個單位彎矩圖分別如圖b、c、d所示。將圖b與圖c相乘則得將圖b與圖d相乘則得靜定結構的位移計算返回例5-7：試求圖示剛架C點的水平位移ΔCH。EI為常數(shù)。解：做出MP圖和圖分別如圖b、c所示。（1）圖的BC段沒有彎矩，只需在AB段進行圖乘。（2）兩圖均為直線，圖上取面積，MP圖上取相應豎標，較為簡便。靜定結構的位移計算返回例4-8：試求圖示伸臂梁A端的角位移φA及C端的豎向位移ΔCV。解：做出MP圖和圖分別如圖b、c、d所示。將圖b與圖c相乘則得結果中的負號表示φA

的實際方向與Ｍ＝１的方向相反，即逆時針方向。靜定結構的位移計算返回將圖b與圖d相乘則得BC段在均布荷載和集中荷載作用下，其彎矩圖不是標準的拋物線圖形。靜定結構的位移計算返回=+=+均布荷載按簡支梁進行疊加，按第22頁圖3-2方法。集中荷載、均布荷載分別做彎矩圖，然后進行疊加。使用乘法時應注意的問題小結：

1、yo必須取自直線圖形；

2、當MK為折線圖形時，必須分段計算；

3、當桿件為變截面時亦應分段計算；

4、圖乘有正負之分；

5、若兩個圖形均為直線圖形時，則面積、縱標可任意分別取自兩圖形；

6、圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分別圖乘；

7、三角形、標準二次拋物線的面積、形心公式必須牢記。第6章靜定結構的位移計算返回作業(yè)：

第202頁5-19,5-23,5-28靜定結構的位移計算返回§5—5由支座位移引起的結構位移在靜定結構中，支座位移和轉(zhuǎn)動并不使結構產(chǎn)生應力和應變，而使結構產(chǎn)生剛體運動。位移計算公式如下：式中為虛擬狀態(tài)的反力在實際狀態(tài)的支座位移上所做虛功之和。例1：試求B點的豎向位移和轉(zhuǎn)角位移解：B點的豎向位移：B點的轉(zhuǎn)角位移：正號表示位移方向與虛設廣義力的方向一致靜定結構的位移計算返回例2（a）圖示結構，若支座B發(fā)生水平位移，即B點向右移動一間距a，試求C鉸左、右兩截面的相對轉(zhuǎn)角φ。解：求相對轉(zhuǎn)角φ的虛擬狀態(tài)及其所引起的虛擬反力如圖(b)所示。利用公式即得：6.6靜定結構在溫度變化時的位移計算一、由于溫度改變引起的位移

圖示懸臂梁由于溫度改變而引起變形。為求

CV，在C點加一單位力，根據(jù)求位移公式計算CV

。

t1

t1

t2第6章

將以上各式代入求位移的一般公式，可得溫度改變位移計算式：

經(jīng)分析：

若每一桿件沿其全長溫度改變相同，且截面高度相同，則：第6章例題1

圖示簡支剛架內(nèi)側(cè)溫度升高25oC，外側(cè)溫度升高5oC，各截面為矩形，h=0.5m,線膨脹系數(shù)

=1.010-5,試求梁中點的豎向位移

DV。+25oC+5oC解：作出MK、NK圖后，依求位移公式計算位移：第6章MK圖3/2NK圖1/2靜定結構的位移計算返回應用條件:1)應力與應變成正比;2)變形是微小的。即:線性變形體系。P1P2①F1F2②FN1M1FQ1FN2M2FQ21、功的互等定理?ò???è?++dsGAFkFEIMMEAFFQ1Q212N1Ｎ２?=D=FW1221?ò

???è?++=dsGAFkFEIMMEAFFQ2Q121N2N1?D=PW2112功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態(tài)①的外力在狀態(tài)②的位移上作的功W12等于狀態(tài)②的外力在狀態(tài)①的位移上作的功W21。即：W12=W21§4-6互等定理靜定結構的位移計算返回2、位移互等定理P1①P2②（4-11）位移互等定理：（P74）

在任一線性變形體系中，由荷載P1所引起的與荷載P2相應的位移影響系數(shù)δ21

等于由荷載P2所引起的與荷載P1相應的位移影響系數(shù)δ12?；蛘哒f,由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應的位移δ21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應的位移δ12。Δ21Δ122112dd=jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121稱為位移影響系數(shù)，等于Pj=1所引起的與Pi相應的位移。注意:1）這里荷載可以是廣義荷載,位移是相應的廣義位移。

2）δ12與δ21不僅數(shù)值相等,量綱也相同。靜定結構的位移計算返回3、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110稱為反力影響系數(shù)，等于cj=1所引起的與ci相應的反力。r12=r21

（4-12）反力互等定理：（P75）

在任一線性變形體系中，由位移c1所引起的與位移c2相應的反力影響系數(shù)r21

等于由位移c2所引起的與位移c1相應的反力影響系數(shù)r12?；蛘哒f,由單位位移c1=1所引起的與位移c2相應的反力r21等于由單位位移c2=1所引起的與位移c1相應的反力r12。

注意:1）這里支座位移可以是廣義位移,反力是相應的廣義力。

2）反力互等定理僅用與超靜定結構。靜定結構的位移計算返回Pl/2l/23Pl/16CA①θΔC②例：已知圖①結構的彎矩圖求同一結構②由于支座A的轉(zhuǎn)動引起地C點的撓度。解：W12=W21∵V21=0∴W12=PΔC－3Pl/16×θ＝0ΔC=3lθ/16例：圖示同一結構的兩種狀態(tài)，求Δ=？P=1①②m=1m=1ABΔ=θA+θBθBθAΔ4、反力與位移互等定理：由于單位荷載使體系中某一支座所產(chǎn)生的反力，等于該支座發(fā)生與反力方向相一致的單位位移時，在單位荷載作用處所引起的位移，唯符號相反。r12=-21第6章作業(yè)：5-2，5-3，