線代及習(xí)題線性代數(shù)參

信息學(xué)院本科2010－2011學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)課程期末考試試卷（A卷）專業(yè)年級(jí)學(xué)號(hào)姓名成績(jī)說明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，O是零陣,A?1表示可逆矩陣A的逆矩陣,|A|表示方陣A的行列式,,表示向量,的內(nèi)積一.客觀題小題為判斷題，在對(duì)的后面括號(hào)中填“√”的后信息學(xué)院本科2010－2011學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)課程期末考試試卷（A卷）專業(yè)年級(jí)學(xué)號(hào)姓名成績(jī)說明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，O是零陣,A?1表示可逆矩陣A的逆矩陣,|A|表示方陣A的行列式,,表示向量,的內(nèi)積一.客觀題小題為判斷題，在對(duì)的后面括號(hào)中填“√”的后面括號(hào)中填“”，4?8為單選題，將正確選項(xiàng)前的字母在括號(hào)中每小216分 階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征根必為實(shí)數(shù)若矩陣B具有AX=0與BX=0是同解方程組((√))0的全部解構(gòu)成線性Rn的一非齊次線性方程組子空間A()6階行列式展開式的各項(xiàng)中，取”（）a11a26a32a24a15a23a32;;a51a32a13a44;D)α、β是相互正交n維實(shí)向量，則下列式中錯(cuò)誤的是2222設(shè)是齊次線性方程組=0的基礎(chǔ)解系12A（C） C.A. B.1D.1 7.nAB等價(jià)，則必（C）AAB0BA19BC.A）8.An階方陣，AB0B0，則必有（C的列的列D．A二、行列式計(jì)算（1628分233215110202231）8.An階方陣，AB0B0，則必有（C的列的列D．A二、行列式計(jì)算（1628分23321511020223114 2101111211120C2－C1 1＝4＝解：原式01134其中過程占4分，結(jié)果占2n1123nn234nnnn1100n100011121110n010解：原＝(1)（n(n1)(n2)21)n＝(1) 1100其中過程占6分，結(jié)果占分0 31設(shè)矩X滿足 10 31設(shè)矩X滿足 1000X 10 求矩陣(8分解：因?yàn)榫仃?000011都是初等矩陣，可逆，所以0其中矩陣求逆占分，其它過程占2分，結(jié)果2231x1 1232性方程2x 03 （1）當(dāng) 取何值時(shí)，方程組無解，有解（本13分231231x1 1232性方程2x 03 （1）當(dāng) 取何值時(shí)，方程組無解，有解（本13分23112111r21r30201(3)(1r(（5分132則當(dāng)1時(shí)，R(A)＝2（2分方程組無當(dāng)1時(shí)，R(A)=R(B),方程組有（1分當(dāng) 3時(shí)，R(A)=R(B)＝2，方程組有無窮多解。此時(shí)B2013010107031（1分0 0x3為自由未知量，則x3＝0時(shí)，x1=3,x2=-即方程組有一個(gè)特解（1分取x3＝1，方程組導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為（2分7 3 （1分則方程組的通解為：＝k31，（k 10 2231且 2231且0 1 2；P12310試求：(1)基1，2，3(2)1,2,3123下有相同坐標(biāo)的全體（本12分6 1 111，28，3－28 1 （2）xAxAPxA(PE)x0A為可逆矩陣，得(PE)x2131010 (PE)2101xkT故k(123kT59使下f(x,x,x)2x22x24x1x24x1x38x22 123并說明該二次型的類型（正定、負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定（本15分14122A|AE(2)2(使下f(x,x,x)2x22x24x1x24x1x38x22 123并說明該二次型的類型（正定、負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定（本15分14122A|AE(2)2(442242因此得到其特征值為12237。解方程組A2E)x0，得對(duì)應(yīng)于特征值為122 ，。123(A7E)x得對(duì)應(yīng)于特征值為解方程組的一個(gè)特征向量。31 p 0，正，12145p245 pp1225，，13521325550453323f2y22y27y312A為n階(n>2)可逆矩陣，為nb 0EpT,Q記分塊矩陣 b,其A*A的伴隨矩陣。E為n(9分(1)計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ(2)證明Q可逆的充要條件是A為n階(n>2)可逆矩陣，為nb 0EpT,Q記分塊矩陣 b,其A*A的伴隨矩陣。E為n(9分(1)計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ(2)證明Q可逆的充要條件是'A1bE0ATbATA*Ab A(bTA1)（5分（2）Q（1分QA0，則AE0A0（2分0，如0，則PATAA2(bTA1)因此，QA(bAT00，所以Q可逆的充要條件是A1b（2分又因A、設(shè)A1,2、設(shè)A1,2,,LB:12,Spqpq，試證A可由B線性表示(8分AA1(p個(gè)向量)向量B的極大線性無關(guān)B1(q個(gè)向量)（2分）由極大線性無關(guān)組的性質(zhì)，B可由B1線性表示。A1AAB線性表示，所又因pB線性表示。也可以由B1線性表示A1是線性無關(guān)的向量組，所以（4分（2分89ATT九、設(shè)α，β是3ATT九、設(shè)α，β是3維列向量，矩證明：(1)A的秩R（A）≤(2)α，β（本5分證明（1）α，β3維列向量R(α)≤1,R(β)R(αTR(β