2024屆北京海淀外國語數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆北京海淀外國語數(shù)學高二下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)，則（）A．9 B．11 C．13 D．152．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n=3，輸出的S=（）A． B． C． D．3．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A． B． C． D．4．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．5．由曲線，直線，和軸所圍成平面圖形的面積為（）A． B． C． D．6．從裝有形狀大小相同的3個黑球和2個白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，則第三次抽得白球的概率等于（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學競賽，四人在成績公布前作出如下預測：甲預測說：獲獎者在乙、丙、丁三人中；乙預測說：我不會獲獎，丙獲獎丙預測說：甲和丁中有一人獲獎；丁預測說：乙的猜測是對的成績公布后表明，四人的猜測中有兩人的預測與結果相符.另外兩人的預測與結果不相符，已知有兩人獲獎，則獲獎的是（）A．甲和丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丙8．“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要9．已知函數(shù)是偶函數(shù)（且）的導函數(shù)，，當時，，則使不等式成立的x的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知x1+i=1-yi，其中x,y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則x+yiA．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-i11．分配名工人去個不同的居民家里檢查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種12．設不等式組所表示的平面區(qū)域為，若直線的圖象經(jīng)過區(qū)域，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數(shù)，且是實數(shù)，則實數(shù)__________.14．已知P是橢圓上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積是______．15．的展開式中的系數(shù)為.16．在某項測量中，測量結果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率，則在內(nèi)取值的概率為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）解關于的不等式.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的方程為.已知，兩點的坐標分別為，.（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）若點在曲線位于第一象限的圖象上運動，求四邊形的面積的最大值.19．（12分）動點在拋物線上，過點作垂直于軸，垂足為，設.（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）設點，過點的直線交軌跡于兩點，直線的斜率分別為，求的最小值．20．（12分）已知函數(shù)，其中a為實數(shù).（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；（2）若，判斷函數(shù)f(x)在[1,2]上的單調(diào)性，并說明理由.21．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程:在直角坐標系中，曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知點，直線的極坐標方程為，它與曲線的交點為，，與曲線的交點為，求的面積.22．（10分）（）．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，存在兩個極值點，，試比較與的大??；（3）求證：（，）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)自變量所在的范圍代入相應的解析式計算即可得到答案.【題目詳解】∵函數(shù)，∴=2+9=1．故選B．【題目點撥】本題考查函數(shù)值的求法，考查指對函數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎題．2、B【解題分析】

試題分析：由題意得，輸出的為數(shù)列的前三項和，而，∴，故選B.考點：1程序框圖；2.裂項相消法求數(shù)列的和.【名師點睛】本題主要考查了數(shù)列求和背景下的程序框圖問題，屬于容易題，解題過程中首先要弄清程序框圖所表達的含義，解決循環(huán)結構的程序框圖問題關鍵是列出每次循環(huán)后的變量取值情況，循環(huán)次數(shù)較多時，需總結規(guī)律，若循環(huán)次數(shù)較少可以全部列出.3、B【解題分析】由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2，則，選B.【考點定位】三視圖與幾何體的體積4、C【解題分析】

由題意結合正態(tài)分布的對稱性得到關于a的方程，解方程即可求得實數(shù)a的值.【題目詳解】隨機變量服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布的圖象關于直線對稱，結合有，解得：.本題選擇C選項.【題目點撥】關于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.5、B【解題分析】

利用定積分表示面積，然后根據(jù)牛頓萊布尼茨公式計算，可得結果.【題目詳解】，故選：B【題目點撥】本題主要考查微積分基本定理，熟練掌握基礎函數(shù)的導函數(shù)以及牛頓萊布尼茨公式，屬基礎題.6、D【解題分析】分析：這是一個條件概率，可用古典概型概率公式計算，即從5個球中取三個排列，總體事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的條件下抽排第一次和第三次球.詳解：.點睛：此題是一個條件概率，條件是第二次抽取的是黑球，不能誤以為是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那樣求得錯誤結論為.7、B【解題分析】

從四人的描述語句中可以看出，乙、丁的表述要么同時與結果相符，要么同時與結果不符，再進行判斷【題目詳解】若乙、丁的預測成立，則甲、丙的預測不成立，推出矛盾．故乙、丙預測不成立時，推出獲獎的是乙和丁答案選B【題目點撥】真假語句的判斷需要結合實際情況，作出合理假設，才可進行有效論證8、B【解題分析】

時，直線與直線不平行，所以直線與直線平行的充要條件是，即且，所以“”是直線與直線平行的必要不充分條件．故選B．9、D【解題分析】

構造函數(shù)，利用導數(shù)得到，在是增函數(shù)，再根據(jù)為偶函數(shù)，根據(jù)，解得的解集．【題目詳解】解：令，，時，，時，，在上是減函數(shù)，是偶函數(shù)（2），當，（2），即，當時，（2），即，是偶函數(shù)，當，，故不等式的解集是，故選：．【題目點撥】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了構造函數(shù)及數(shù)形結合的思想．解決本題的關鍵是能夠想到通過構造函數(shù)解決，屬于中檔題．10、D【解題分析】∵x1+i=x(1-i)11、C【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家檢查；分兩步進行，①先從4名水暖工中抽取2人，②再將這2人當做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，由分步計數(shù)原理，計算可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，分配4名水暖工去3個不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每個居民家都要有人去檢查；

則必有2名水暖工去同一居民家檢查，

即要先從4名水暖工中抽取2人，有種方法，

再將這2人當做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，有種情況，

由分步計數(shù)原理，可得共種不同分配方案，

故選：C.【題目點撥】本題考查排列、組合的綜合應用，注意一般順序是先分組（組合），再排列，屬于中檔題.12、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，由直線過定點，數(shù)形結合求得定點與可行域內(nèi)動點連線的斜率的范圍，則答案可求．【題目詳解】由不等式組作出可行域，如圖.直線表示過點斜率為的直線.直線的圖象經(jīng)過區(qū)域即將軸繞點沿逆時針旋轉(zhuǎn)到點的位置..所以直線的圖象經(jīng)過區(qū)域，其斜率.故選：C【題目點撥】本題考查了直線系方程，考查了直線的斜率，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】復數(shù)z1=2+3i,z2=t?i，∴=t+i，∴=(2+3i)(t+i)=(2t?3)+(3t+2)i，由是實數(shù),得3t+2=0,即.14、【解題分析】

利用余弦定理求出，再求△F1PF2的面積.【題目詳解】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴，∴.【題目點撥】本題主要考查橢圓的定義和余弦定理，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、70.【解題分析】試題分析：設的展開式中含的項為第項，則由通項知．令，解得，∴的展開式中的系數(shù)為．考點：二項式定理．16、0.8【解題分析】

由于正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)的圖象關于直線ξ＝1對稱，且ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，因此ξ在(1,2)內(nèi)取值的概率也為0.4，故ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.【解題分析】

將原不等式因式分解化為，對參數(shù)分5種情況討論：，，，，，分別解不等式．【題目詳解】解：原不等式可化為，即，①當時，原不等式化為，解得，②當時，原不等式化為，解得或，③當時，原不等式化為.當，即時，解得；當，即時，解得滿足題意；當，即時，解得.綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.【題目點撥】本題考查含參不等式的求解，求解時注意分類討論思想的運用，對分類時要做到不重不漏的原則，同時最后記得把求得的結果進行綜合表述.18、（1）（為參數(shù)）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的參數(shù)方程表示出曲線的參數(shù)方程；（2）根據(jù)曲線的參數(shù)方程設曲線上的點，結合點在第一象限得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，并利用角的三角函數(shù)式表示，利用輔助角公式化簡，再利用三角函數(shù)基本性質(zhì)求出最大值?！绢}目詳解】（1）曲線的方程為，可化參數(shù)方程為(為參數(shù)).（2）設曲線上的點，因為在第一象限，所以.連接,則=.當時，四邊形面積的最大值為.【題目點撥】本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查參數(shù)方程的應用，一般而言，由圓或橢圓上的動點引起的最值或取值范圍問題，可以將動點坐標利用圓或橢圓的參數(shù)方程設為參數(shù)方程的形式，并借助三角恒等變換公式以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)求解。19、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解題分析】

（1）設Q（x，y），則P（x，2y），代入x2=2y得出軌跡方程；（2）聯(lián)立直線AB方程與Q的軌跡方程，得出A，B的坐標關系，代入斜率公式化簡|k1﹣k2|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．【題目詳解】（Ⅰ）設點，則由得，因為點在拋物線上，（Ⅱ）方法一：由已知，直線的斜率一定存在，設點，聯(lián)立得由韋達定理得（1）當直線經(jīng)過點即或時，當時，直線的斜率看作拋物線在點處的切線斜率，則，此時；當時，同理可得（2）當直線不經(jīng)過點即且時，，所以的最小值為.方法二：同上故，所以的最小值為方法三：設點，由直線過點交軌跡于兩點得：化簡整理得：，令，則【題目點撥】本題考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線的位置關系，直線的斜率公式，屬于中檔題．20、（1）時奇函數(shù)，時非奇非偶函數(shù)；（2）單調(diào)遞增，證明見解析.【解題分析】

（1）討論兩種情況，分別利用奇偶性的定義判斷即可；（2）設，再作差，通分合并，最后根據(jù)自變量范圍確定各因子符號，得差的符號，結合單調(diào)性定義作出判斷即可.【題目詳解】（1）當時，，顯然是奇函數(shù)；當時，，，且，所以此時是非奇非偶函數(shù).（2）設，則因為，所以，，，所以，，所以，所以，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任??；（2）作差；（3）判斷的符號（往往先分解因式，再判斷各因式的符號），可得在已知區(qū)間上是增函數(shù)，可得在已知區(qū)間上是減函數(shù)21、（1）（2）【解題分析】

（1）首先把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，利用普通方程與極坐標方程互化的公式即可得到曲線的極坐標方程；（2）分別聯(lián)立與的極坐標方程、與的極坐標方程，得到、兩點的極坐標，即可求出的長，再計算出到直線的距離，由此即可得到的面積．【題目詳解】解：（1），其普通方程為，化為極坐標方程為（2）聯(lián)立與的極坐標方程：，解得點極坐標為聯(lián)立與的極坐標方程：，解得點極坐標為，所以，又點到直線的距離，故的面積.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化，利用極徑的幾何意義求三角形面積是解題的關鍵，屬于中檔題．22、（1）遞減，遞增（2）（3）詳見解析【解題分析】試題分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求