2024屆湖北省名校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆湖北省名校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從裝有3個(gè)白球,4個(gè)紅球的箱子中,隨機(jī)取出了3個(gè)球,恰好是2個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率是()A． B． C． D．2．已知集合，，則A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為()A． B． C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”,從“到”左端需增乘的代數(shù)式為()A． B． C． D．5．函數(shù)f(x)=x+1A． B． C． D．6．函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是（）．A．0 B．1 C．2 D．37．已知函數(shù)f(x)=2x3+ax+a.過點(diǎn)M(-1,0)引曲線C:y=f(x)的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若|MA|=|MB|，則f(x)A．-324 B．-38．設(shè)為中的三邊長，且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．9．已知曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．10．已知函數(shù)，是奇函數(shù)，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增11．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.已知函數(shù)的拐點(diǎn)是，則（）A． B． C． D．112．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為________.14．某超市國慶大酬賓，購物滿100元可參加一次游戲抽獎(jiǎng)活動(dòng)，游戲抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：顧客將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器正上方的入口處，小球自由落下過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得獎(jiǎng)金4元，落入B袋得獎(jiǎng)金8元，已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左向右下落的概率都為.已知李女士當(dāng)天在該超市購物消費(fèi)128元，按照活動(dòng)要求，李女士的活動(dòng)獎(jiǎng)金期望值為_____元.15．設(shè)，則等于___________．16．，，，，……則根據(jù)以上四個(gè)等式，猜想第個(gè)等式是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款（年底余額），如下表1：年份x20112012201320142015儲蓄存款y（千億元）567810為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，得到下表2：時(shí)間代號t12345z01235（Ⅰ）求z關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）通過（Ⅰ）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅲ）用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)多少？（附：對于線性回歸方程，其中）18．（12分）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值.19．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，若存在使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上只有一個(gè)解；（3）設(shè)，其中.若恒成立，求的取值范圍.21．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.22．（10分）已知函數(shù)（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）若函數(shù)無極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：根據(jù)古典概型計(jì)算恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為.故答案為:C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗(yàn)的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.2、C【解題分析】

利用一元二次不等式的解法化簡集合，再根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【題目詳解】因?yàn)?，，所以，故選C．【題目點(diǎn)撥】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系.3、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，化簡為的形式，由此求得對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】依題意，對應(yīng)的點(diǎn)為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

分別求出時(shí)左端的表達(dá)式，和時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“從到”左端需增乘的代數(shù)式.【題目詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，等式的左邊為，所以左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是歸納推理，需要結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行求解，熟知數(shù)學(xué)歸納法的步驟，最關(guān)鍵的是從到，考查學(xué)生仔細(xì)觀察的能力，是中檔題.5、A【解題分析】

可分類討論，按x>0，x<-1，-1<x<0分類研究函數(shù)的性質(zhì)，確定圖象．【題目詳解】x>0時(shí)，f(x)=logax是增函數(shù)，只有A、B符合，排除Cx<-1時(shí)，f(x)=-loga(-x)＜0，只有A故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查由函數(shù)解析式選取圖象，解題時(shí)可通過研究函數(shù)的性質(zhì)排除一些選項(xiàng)，如通過函數(shù)的定義域，單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)值的符號、函數(shù)的特殊值等排除錯(cuò)誤的選項(xiàng)．6、C【解題分析】

求導(dǎo)后代入即可.【題目詳解】易得,故函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，利用切點(diǎn)與點(diǎn)M連線的斜率等于曲線C在切點(diǎn)處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)建立有關(guān)t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出兩切線的斜率之和為零，于此得出a的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,2t3+at+a)，∵y'=6解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|，∴y'則a=-274，f'(x)=6x2-274.當(dāng)x<-324或x>【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，在處理過點(diǎn)作函數(shù)的切線時(shí)，一般要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線與點(diǎn)連線的斜率等于切線的斜率，考查計(jì)算能力，屬于中等題。8、B【解題分析】

由，則，再根據(jù)三角形邊長可以證得，再利用不等式和已知可得，進(jìn)而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求解．【題目詳解】由題意，記，又由，則，又為△ABC的三邊長，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨設(shè)，且為的三邊長，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，可得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解三角形，綜合了函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，以及基本不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題，難度較大，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．9、D【解題分析】

先作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數(shù)的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點(diǎn)（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、B【解題分析】分析：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故，令，則的單調(diào)減區(qū)間為，從而可以知道在上單調(diào)遞減.詳解：，因是奇函數(shù)，故，也即是，化簡得，所以，故，從而，又，故，因此.令，，故的單調(diào)減區(qū)間為，故在上單調(diào)遞減.選B.點(diǎn)睛：一般地，如果為奇函數(shù)，則，如果為偶函數(shù)，則.11、D【解題分析】

遇到新定義問題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，在該題中求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0，即可得到拐點(diǎn)，問題得以解決．【題目詳解】解：函數(shù)，，，因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，已知函數(shù)的“拐點(diǎn)”是，所以，即，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．導(dǎo)數(shù)的定義，和拐點(diǎn)，根據(jù)新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的求法；解答的關(guān)鍵是函數(shù)值滿足的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題12、A【解題分析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為。所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．選．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由定積分知考點(diǎn)：定積分及其幾何意義14、5【解題分析】

先記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，分別求出其對應(yīng)概率，再由題意得到抽取活動(dòng)獎(jiǎng)金的可能取值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】記“小球落入A袋中”為事件A，“小球落入B袋中”為事件B，由題意可得，所以.因?yàn)槔钆慨?dāng)天在該超市購物消費(fèi)128元，按照活動(dòng)要求，李女士可參加一次抽獎(jiǎng)，抽取活動(dòng)獎(jiǎng)金的可能取值為，所以期望為.故答案為5【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，熟記概念即可，屬于?？碱}型.15、【解題分析】

根據(jù)微積分基本定理可得，再結(jié)合函數(shù)解析式，根據(jù)牛頓萊布尼茨定理計(jì)算可得；【題目詳解】解：因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋骸绢}目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎(chǔ)題.16、.【解題分析】分析：根據(jù)已知的四個(gè)等式知；等式左邊自然對數(shù)的指數(shù)都是從開始，連續(xù)個(gè)正整數(shù)的和，右邊都是．詳解：，，，，……由上邊的式子，我們可以發(fā)現(xiàn)：等式左邊自然對數(shù)的指數(shù)都是從開始，連續(xù)個(gè)正整數(shù)的和，右邊都是，可猜想，.故答案為.點(diǎn)睛：本題通過觀察幾組等式，歸納出一般規(guī)律來考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）(Ⅲ)1.6千億元【解題分析】試題分析：（I）將數(shù)據(jù)代入回歸直線方程的計(jì)算公式，由此計(jì)算的回歸直線方程為；（II），，代入得到；（III）將代入上式，求得存款為千億.試題解析：（I），，，，（II），，代入得到：，即（III），預(yù)測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)1．6千億元考點(diǎn)：回歸分析.18、(1)見解析；(2)的最大值為1.【解題分析】

（1）根據(jù)的不同范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到的單調(diào)性；（2）方法一：構(gòu)造新函數(shù)，通過討論的范圍，判斷單調(diào)性，從而確定結(jié)果；方法二：利用分離變量法，把問題變?yōu)?，求解函?shù)最小值得到結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減（2）由題意得：即對于恒成立方法一、令，則當(dāng)時(shí)，在上遞增，且，符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增則存在，使得，且在上遞減，在上遞增由得：又整數(shù)的最大值為另一方面，時(shí)，，，時(shí)成立方法二、原不等式等價(jià)于：恒成立令令，則在上遞增，又，存在，使得且在上遞減，在上遞增又，又，整數(shù)的最大值為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)當(dāng)中的恒成立問題.處理恒成立問題一方面可以構(gòu)造新函數(shù)，通過研究新函數(shù)的單調(diào)性，求解出范圍；另一方面也可以采用分離變量的方式，得到參數(shù)與新函數(shù)的大小關(guān)系，最終確定結(jié)果.19、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解題分析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，討論的不同范圍得到單調(diào)區(qū)間.（2）設(shè)函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增推出，解得答案.【題目詳解】（1）的定義域?yàn)?，，則.當(dāng)時(shí)，則，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)根，，不妨設(shè)，則，，由，，所以.所以時(shí)，，單調(diào)遞減；，或，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程的，則，在單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為和.當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為.（2），，，所以在單調(diào)遞增，，，要使得在有解，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，存在性問題，構(gòu)造，判斷是解題的關(guān)鍵.20、（1）在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）見解析(3)【解題分析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出方程在的解的個(gè)數(shù)即可；（3）設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，，求出的范圍即可.詳解：（1）由已知.所以，在區(qū)間上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）設(shè)，.，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.且，.所以，在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，方程在區(qū)間上只有一個(gè)解.（3）設(shè)，，定義域?yàn)?，，令，則，由（2）知，在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，是增函數(shù)，不妨設(shè)的零點(diǎn)為，則，所以，與在區(qū)間上的情況如下：-0+所以，函數(shù)的最小值為，，由，得，所以.依題意，即，解得，所以，的取值范圍為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，正確求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵.21、（1）；