2024屆湖北省武漢為明學校高二數學第二學期期末質量檢測試題含解析

2024屆湖北省武漢為明學校高二數學第二學期期末質量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對任意的，不等式（其中e是自然對數的底）恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．2．在回歸分析中，的值越大，說明殘差平方和（）A．越小 B．越大 C．可能大也可能小 D．以上都不對3．在的展開式中，項的系數為（）．A． B． C． D．4．下列函數中既是奇函數，又在區(qū)間上是單調遞減的函數為（）A． B． C． D．5．已知，，，則（）A． B． C． D．6．在中，，，，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若，則A．1 B． C． D．7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上，且側棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，則球的表面積為（）A．36π B．64π C．100π D．104π8．如圖所示，這是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．命題p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命題q：指數函數f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數，則P是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知向量，，則（）A． B． C． D．11．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．712．設定點，動圓過點且與直線相切.則動圓圓心的軌跡方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某圓柱是將邊長為2的正方形（及其內部）繞其一條邊所在的直線旋轉一周形成的，則該圓柱的體積為_______.14．已知復數，其中是虛數單位，則的模是__________．15．已知函數，則_____16．如圖，在長方形內任取一點，則點落在陰影部分內的概率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數有極值.（1）求的取值范圍；（2）若在處取得極值，且當時，恒成立，求的取值范圍.18．（12分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點，分別為與的中點.（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若存在實數，使得，求正實數的取值范圍.20．（12分）已知雙曲線，為上的任意點．（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；（2）設點的坐標為，求的最小值.21．（12分）在長方體中，，，，是的中點.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大?。ńY果用反三角形函數值表示）.22．（10分）已知函數（1）若在其定義域上是單調增函數，求實數的取值集合；（2）當時，函數在有零點，求的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

問題首先轉化為恒成立，取自然對數只需恒成立，分離參數只需恒成立，構造，只要求得的最小值即可。這可利用導數求得，當然由于函數較復雜，可能要一次次地求導（對函數式中不易確定正負的部分設為新函數）來研究函數（導函數）的單調性?！绢}目詳解】對任意的N，不等式（其中e是自然對數的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，構造，.下證，再構造函數，設，令，，在時，，單調遞減，即，所以遞減，，即，所以遞減，并且，所以有，所以，所以在上遞減，所以最小值為.∴，即的最大值為。故選：B?！绢}目點撥】本題考查不等式恒成立問題，解題時首先要對不等式進行變形，目的是分離參數，轉化為研究函數的最值。本題中函數的最小值求導還不能確定，需多次求導，這考驗學生的耐心與細心，考查學生的運算求解能力，難度很大。2、A【解題分析】分析：根據的公式和性質，并結合殘差平方和的意義可得結論．詳解：用相關指數的值判斷模型的擬合效果時，當的值越大時，模型的擬合效果越好，此時說明殘差平方和越??；當的值越小時，模型的擬合效果越差，此時說明殘差平方和越大．故選A．點睛：主要考查對回歸分析的基本思想及其初步應用等知識的理解，解題的關鍵是熟知有關的概念和性質，并結合條件得到答案．3、A【解題分析】二項式展開式的通項為。所以展開式中項的系數為．選．4、B【解題分析】

由題意得，對于函數和函數都是非奇非偶函數，排除A、C．又函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間單調遞增，排除D，故選B．5、C【解題分析】

通過分段法，根據指數函數、對數函數和三角函數的性質，判斷出，由此選出正確結論.【題目詳解】解：∵，，，；∴.故選C.【題目點撥】本小題主要考查利用對數函數、指數函數和三角函數的性質比較大小，考查分段法比較大小，屬于基礎題.6、D【解題分析】

通過解直角三角形得到，利用向量的三角形法則及向量共線的充要條件表示出利用向量共線的充要條件表示出，根據平面向量就不定理求出，值．【題目詳解】在中，又所以為AD的中點故選D．【題目點撥】本題考查解三角形、向量的三角形法則、向量共線的充要條件、平面向量的基本定理．7、C【解題分析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圓的半徑，從而可求該三棱柱的外接球的半徑，即可求出三棱柱的外接球表面積.詳解：，，∴三角形的外接圓直徑，，平面，，∴該三棱柱的外接球的半徑，∴該三棱柱的外接球的表面積為，故選C．點睛：本題主要考查三棱柱的外接球表面積，正弦定理的應用、余弦定理的應用以及考查直線和平面的位置關系，意在考查綜合空間想象能力、數形結合思想以及運用所學知識解決問題的能力.8、A【解題分析】由三視圖可知：該幾何體分為上下兩部分，下半部分是長、寬、高分別為的長方體，上半部分為底面半徑為1，高為2的兩個半圓柱，故其體積為，故選A.9、B【解題分析】

根據充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可．【題目詳解】命題p：?x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命題p：①當a≠0時，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，∴解得：0＜a＜1，②當a＝0時，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；命題q：指數函數f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數，則0＜a＜1；所以當0≤a＜1；推不出0＜a＜1；當0＜a＜1；能推出0≤a＜1；故P是q的必要不充分條件．故選：B．【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了二次型函數恒成立的問題，考查了指數函數的單調性，屬于基礎題．10、A【解題分析】

先求出的坐標，再根據向量平行的坐標表示，列出方程，求出.【題目詳解】由得，解得，故選A．【題目點撥】本題主要考查向量的加減法運算以及向量平行的坐標表示．11、D【解題分析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數量積．【題目詳解】在中，，，，點滿足，可得則==【題目點撥】本題考查了向量的數量積運算，關鍵是利用基向量表示所求向量．12、A【解題分析】

由題意，動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，求得，即可得到答案．【題目詳解】由題意知，動圓圓心到定點與到定直線的距離相等，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，則方程為故選A【題目點撥】本題考查拋物線的定義，屬于簡單題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據題意得到圓柱底面圓半徑為，高為，根據圓柱的體積公式，即可得出結果.【題目詳解】因為圓柱是將邊長為2的正方形（及其內部）繞其一條邊所在的直線旋轉一周形成的，則圓柱底面圓半徑為，高為，所以該圓柱的體積是.故答案為：【題目點撥】本題主要考查旋轉體的體積，熟記圓柱體積公式即可，屬于基礎題型.14、【解題分析】分析：分子分母同時乘以，化簡整理，得出，再得模。詳解：，所以。點睛：復數的除法運算公式。15、【解題分析】分析：求出f′（1）=﹣1，再根據定積分法則計算即可．詳解：∵f（x）=f'（1）x2+x+1，∴f′（x）=2f'（1）x+1，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+1，∴=（﹣x3+x2+x）=.故答案為.點睛：這個題目考查了積分的應用，注意積分并不等于面積，解決積分問題的常見方法有：面積法，當被積函數為正時積分和面積相等，當被積函數為負時積分等于面積的相反數；應用公式直接找原函數的方法；利用被積函數的奇偶性得結果.16、【解題分析】

利用微積分基本定理先計算出陰影部分的面積，根據幾何概型的知識可知：陰影部分的面積與長方形面積比等于對應的概率，即可計算出概率值.【題目詳解】由幾何概型的知識可知：陰影部分的面積與長方形的面積之比等于所求概率，記陰影部分面積為，長方形面積為，所以，，所以所求概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查幾何概型中的面積模型以及利用微積分基本定理求解定積分的值，屬于綜合型問題，難度一般.幾何概型中的面積模型的計算公式：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由已知中函數解析式，求出導函數f′（x）的解析式，然后根據函數有極值，方程f′（x）=x2-x+c=0有兩個實數解，構造關于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范圍；（2）若f（x）在x=2處取得極值，則f′（2）=0，求出滿足條件的c值后，可以分析出函數的單調性，進而分析出當x＜0時，函數的最大值，又由當x＜0時，恒成立，可以構造出一個關于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范圍．【題目詳解】（1）∵，∴，因為有極值，則方程有兩個相異實數解，從而，∴．∴c的取值范圍為.（2）∵在處取得極值，∴，∴.∴，∵∴當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.∴當x<0時，在x=-1處取得最大值，∵x<0時，恒成立，∴，即，∴或，∴d的取值范圍為．【題目點撥】本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，導數在最大值，最小值問題中的應用，其中根據已知中函數的解析式，求出函數的導函數的解析式，是解答本題的關鍵．18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先連接，，根據線面平行的判定定理，即可得出結論；（2）先以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出直線的的方向向量與平面的法向量，由向量夾角公式求出向量夾角余弦值，即可得出結果.【題目詳解】（1）證明：如圖，連接，.在三棱柱中，為的中點.又因為為的中點，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設平面的法向量為，則，令，得.記與平面所成角為，則.【題目點撥】本題主要考查線面平行的判定、以及線面角的向量求法，熟記線面平行的判定定理以及空間向量的方法即可，屬于?？碱}型.19、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）求出定義域以及，分類討論，求出大于0和小于0的區(qū)間，從而得到的單調區(qū)間；（2）結合（1）的單調性，分類討論，分別求出和以及函數在上的單調區(qū)間以及最小值，從而求出的范圍?！绢}目詳解】（1）的定義域為，.當時，，則在上單調遞增；當時，由得：﹔由得：.所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述：當時，的單調遞增區(qū)間為；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增。①當即時，在上單調遞增，不符合題意；②當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，由，解得：；③當即時，在上單調遞減，由，解得：．綜上所述：a的取值范圍是.【題目點撥】本題考查函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，分類討論的思想，有一定的綜合性。20、（1）證明見解析．（2）的最小值為【解題分析】

試題分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，設點利用點到直線的距離公式，即可得到結論，寫出距離的乘積，再利用點在雙曲線上得出定值；（2）用點點距公式表示出|PA|，利用配方法，求得函數的最值，即可求得結論．（1）設點，由題意知雙曲線的兩條漸近線方程分別為和，則點到兩條漸近線的距離分別為和，則，得證；（2）設點，則當時，有最小值.21、（1）；（2）【解題分析】

（1）先求出,由此能求出四棱錐的體積。（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的大小。【題目詳解】（1）在長方體中，，，，是的中點.，四棱錐的體積（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角為【題目點撥】本題考查了棱錐的體積公式，解題的關鍵是熟記棱錐體積公式，同時也考查了用空間直角坐標系求立體幾何中異面直線所成的角，此題需要一定的計算能力，屬于