2024屆福建省南平市建甌芝華中學數(shù)學高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆福建省南平市建甌芝華中學數(shù)學高二下期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)，則（）A．0 B．8 C．4 D．63．已知函數(shù)與函數(shù)，下列選項中不可能是函數(shù)與圖象的是A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則在處的切線方程為（）A． B． C． D．5．若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．66．拋物線y2=4x的焦點為F，點A（3，2），P為拋物線上一點，且P不在直線AF上，則△PAF周長的最小值為（）A．4 B．5 C． D．7．已知函數(shù)，，若，，則的大小為（）A． B． C． D．8．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機抽取件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標，其頻率分布表如下：質(zhì)量指標分組頻率則可估計這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標的眾數(shù)、中位數(shù)為（）A．， B．， C．， D．，9．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．10．獨立性檢驗中，假設:運動員受傷與不做熱身運動沒有關系.在上述假設成立的情況下，計算得的觀測值.下列結論正確的是A．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關B．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動無關C．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動無關11．設在定義在上的偶函數(shù)，且，若在區(qū)間單調(diào)遞減，則（）A．在區(qū)間單調(diào)遞減 B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．在區(qū)間單調(diào)遞減 D．在區(qū)間單調(diào)遞增12．已知中，若，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在楊輝三角形中，斜線1的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前項和為，則__________．14．曲線在點處的切線方程為_______.15．設為的展開式中含項的系數(shù)，為的展開式中二項式系數(shù)的和，則能使成立的的最大值是________．16．觀察等式：，，.照此規(guī)律，對于一般的角，有等式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)寫出直線l經(jīng)過的定點的直角坐標，并求曲線的普通方程；(2)若，求直線的極坐標方程，以及直線l與曲線的交點的極坐標．18．（12分）在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點P是曲線上的動點，點Q在OP的延長線上，且，點Q的軌跡為．（1）求直線l及曲線的極坐標方程；（2）若射線與直線l交于點M，與曲線交于點（與原點不重合），求的最大值.19．（12分）為了了解甲、乙兩校學生自主招生通過情況，從甲校抽取51人，從乙校抽取41人進行分析.通過人數(shù)末通過人數(shù)總計甲校乙校31總計51（1）根據(jù)題目條件完成上面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為自主招生通過情況與學生所在學校有關；（2）現(xiàn)已知甲校A，B，C三人在某大學自主招生中通過的概率分別為，用隨機變量X表示A，B，C三人在該大學自主招生中通過的人數(shù)，求X的分布列及期望E（X）．參考公式：.參考數(shù)據(jù)：1．141．111．141．1241．111．1141．1112．1622．6153．8414．1245．5346．86911．82820．（12分）設函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）推廣組合數(shù)公式，定義，其中，，且規(guī)定．（1）求的值；（2）設，當為何值時，函數(shù)取得最小值？22．（10分）2019年某地初中畢業(yè)升學體育考試規(guī)定：考生必須參加長跑、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項測試各項20分，滿分60分．某學校在初三上學期開始時，為掌握全年級學生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學生進行測試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計分規(guī)則如表1：表1每分鐘跳繩個數(shù)得分17181920（1）規(guī)定：學生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學生中，男生跳繩個數(shù)大于等于185個的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學生測試成績，能否有99%的把握認為學生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關？表2跳繩個數(shù)合計男生28女生54合計100附：參考公式：臨界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步．假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，全年級恰有2000名學生，所有學生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布（用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點值代替）．①估計正式測試時，1分鐘跳182個以上的人數(shù)（結果四舍五入到整數(shù)）；②若在全年級所有學生中任意選取3人，正式測試時1分鐘跳195個以上的人數(shù)為，求的分布列及期望．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

對函數(shù)求導得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點，然后對參數(shù)分類討論，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值；在時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，構造函數(shù)，其中，則.①當時，對任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，，則對任意的，.此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；②當時，解方程，得.當時，，當時，，此時，.（i）當時，即當時，則對任意的，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；（ii）當時，即當時，，當時，，由零點存在定理可知，存在和，使得，即，且當和時，，此時，；當時，，此時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構造函數(shù)，其中，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，則，.因此，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.2、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)解析式可求得，結合函數(shù)奇偶性可得到，從而得到結果.【題目詳解】由題意得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應用，關鍵是能夠根據(jù)解析式確定為定值，從而求得結果.3、D【解題分析】

對進行分類討論，分別作出兩個函數(shù)圖象，對照選項中的圖象，利用排除法,可得結果.【題目詳解】時，函數(shù)與圖象為：故排除；，令，則或，當時，0為函數(shù)的極大值點,遞減，函數(shù)與圖象為：故排除；當時，0為函數(shù)的極小值點，遞增，函數(shù)與圖象為：故排除；故選.【題目點撥】本題考查的知識點是三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.4、C【解題分析】分析：求導得到在處的切線斜率，利用點斜式可得在處的切線方程.詳解：已知函數(shù)，則則即在處的切線斜率為2，又則在處的切線方程為即.故選C.點睛：本題考查函數(shù)在一點處的切線方程的求法，屬基礎題.5、B【解題分析】

先根據(jù)已知得出的符號及的值，再根據(jù)基本不等式求解.【題目詳解】∵；∴∴∴當且僅當，即時，等號成立.故選B.【題目點撥】本題考查基本不等式，注意基本不等式成立的條件“一正二定三相等”.6、C【解題分析】

求周長的最小值，即求的最小值，設點在準線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此問題轉化為求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當、、三點共線時，最小，即可求出的最小值，得到答案。【題目詳解】由拋物線為可得焦點坐標，準線方程為：，由題可知求周長的最小值，即求的最小值，設點在準線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此求的最小值即求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當、、三點共線時，最小，所以又因為，所以周長的最小值為，故答案選C【題目點撥】本題考查拋物線的定義，簡單性質(zhì)的應用，判斷出、、三點共線時最小，是解題的關鍵，屬于中檔題。7、C【解題分析】

對函數(shù)求導，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后確定這三個數(shù)之間的大小關系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出的大小關系.【題目詳解】，所以是上的增函數(shù).，所以，故本題選C.【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷函數(shù)值大小關系.解決本題的重點是對指數(shù)式、對數(shù)式的比較，關鍵是對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的理解.8、C【解題分析】

根據(jù)頻率分布表可知頻率最大的分組為，利用中點值來代表本組數(shù)據(jù)可知眾數(shù)為；根據(jù)中位數(shù)將總頻率分為的兩部分，可構造方程求得中位數(shù).【題目詳解】根據(jù)頻率分布表可知，頻率最大的分組為眾數(shù)為：設中位數(shù)為則，解得：，即中位數(shù)為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用樣本的數(shù)據(jù)特征估計眾數(shù)和中位數(shù)的問題，關鍵是明確眾數(shù)和中位數(shù)的概念，掌握用樣本估計總體的方法.9、D【解題分析】

試題分析：由，，可知10、A【解題分析】

先找到的臨界值，根據(jù)臨界值表找到犯錯誤的概率，即對“運動員受傷與不做熱身運動沒有關系”可下結論?！绢}目詳解】，因此，在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關，故選：A?！绢}目點撥】本題考查獨立性檢驗，根據(jù)臨界值表找出犯錯誤的概率是解這類問題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題。11、D【解題分析】

根據(jù)題設條件得到函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，同時關于對稱的偶函數(shù)，根據(jù)對稱性和周期性，即可求解．【題目詳解】由函數(shù)滿足，所以是周期為2的周期函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，可得單調(diào)遞減，所以B不正確；由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞減，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，所以A不正確；又由函數(shù)在定義在上的偶函數(shù)，則，即，所以函數(shù)的圖象關于對稱，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，在在區(qū)間單調(diào)遞增，所以C不正確，D正確，故選D．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的應用，以及函數(shù)的周期性的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．12、A【解題分析】

根據(jù)利用二項展開式的通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)、以及，即可求得的值，得到答案．【題目詳解】由題意，二項式，又由，所以，其中，由，可得：，即，即，解得，故選A．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，其中解答中熟記二項展開式的通項及性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、361【解題分析】

將按照奇偶分別計算：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，計算得到答案.【題目詳解】解法一：根據(jù)楊輝三角形的生成過程，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，，，，，，，解法二：當時，，當時，，【題目點撥】本題考查了數(shù)列的前N項和，意在考查學生的應用能力和解決問題的能力.14、【解題分析】試題分析：時直線方程為，變形得考點：導數(shù)的幾何意義及直線方程15、4【解題分析】

由題意可得，An＝＝，，若使得An≥Bn，即n（n+1）≥2n，可求.【題目詳解】∵（1+x）n+1的展開式的通項為Tr+1，由題意可得，An＝＝，又∵為的展開式中二項式系數(shù)的和，∴，∵An≥Bn，∴，即n（n+1）≥2n當n＝1時，1×2≥2，滿足題意；當n＝2時，2×3≥22，滿足題意；當n＝3時，3×4≥23，滿足題意；當n＝4時，4×5≥24，滿足題意；當n＝5時，5×6＜25，不滿足題意，且由于指數(shù)函數(shù)比二次函數(shù)增加的快，故當n≥5時，n（n+1）＜2n，∴＝4.故答案為4【題目點撥】本題主要考查了二項展開式的通項公式的應用，二項展開式的性質(zhì)應用及不等式、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的增加速度的快慢的應用，屬于中檔題．16、【解題分析】試題分析：，，，所以.考點：歸納推理.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】試題分析：⑴由題意可知當時直線經(jīng)過定點，設，即可求出曲線的普通方程；⑵將代入直線的參數(shù)方程，可求出直線的普通方程，將代入即可求得直線的極坐標方程，然后聯(lián)立曲線：，即可求出直線與曲線的交點的極坐標解析：（1）直線經(jīng)過定點，由得，得曲線的普通方程為，化簡得；（2）若，得的普通方程為，則直線的極坐標方程為，聯(lián)立曲線：.∵得，取，得，所以直線與曲線的交點為.18、（1）直線l的極坐標方程為.的極坐標方程為（2）【解題分析】

（1）消參可得直線的普通方程，再利用公式把極坐標方程與直角坐標方程進行轉化，從而得到直線的極坐標方程；利用相關點法求得曲線的極坐標方程；（2）利用極坐標中極徑的意義求得長度，再把所求變形成正弦型函數(shù)，進一步求出結果．【題目詳解】（1）消去直線l參數(shù)方程中的t，得，由，得直線l的極坐標方程為，故．由點Q在OP的延長線上，且，得，設，則，由點P是曲線上的動點，可得，即，所以的極坐標方程為．（2）因為直線l及曲線的極坐標方程分別為，，所以，，所以，所以當時，取得最大值，為．【題目點撥】本題考查的知識要點：參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程的轉化，考查了點的軌跡方程的求法，涉及三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于中檔題．19、（1）填表見解析，有99%的把握認為學生的自主招生通過情況與所在學校有關（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，并計算出的觀測值，結合臨界值表找出犯錯誤的概率，于此可對題中的結論正誤進行判斷；（2）列出隨機變量的可能取值，利用獨立事件的概率乘法公式計算出隨機變量在每個可能值處的概率，可列出隨機變量的概率分布列，并由此計算出隨機變量的數(shù)學期望.【題目詳解】（1）列聯(lián)表如下：通過人數(shù)未通過人數(shù)總計甲校214151乙校312141總計4151111由算得：，所以有99%的把握認為學生的自主招生通過情況與所在學校有關；（2）設自主招生通過分別記為事件，則.∴隨機變量的可能取值為1，1，2，3.，，，.所以隨機變量X的分布列為：.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗的基本思想，考查隨機變量分布列及其數(shù)學期望的求解，解題時要判斷出隨機變量所服從的分布列，結合分布列類型利用相關公式計算出相應的概率，考查計算能力，屬于中等題．20、(1);(2).【解題分析】分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，解便得增區(qū)間．（2）要使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個交點，也就是讓函數(shù)在[1，3]內(nèi)有兩個零點，令，下面要做的就是考查在區(qū)間內(nèi)最值情況，若有最大值，則限制最大值大于0，然后兩個端點值都小于0，若有最小值，情況恰好相反．詳解：（1），∵，時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）令，則，∴時，，時，，∴是的極大值，也是在上的最大值.∵函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個交點，∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則有，，.所以有.解得，所以的取值范圍是.點睛：利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這個不難掌握，注意做第二題，，.，這幾個限制條件的得出，并掌握做這類題的方法．.21、（1）；（2）當時，取得最小值.【解題分析】

（1）根據(jù)題中組合數(shù)的定義計算出的值；（2）根據(jù)題中組合數(shù)的定義求出函數(shù)，然后利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，并計算出等號成立對應的的值.【題目詳解】（1）由題中組合數(shù)的定義得；（2）由題中組合數(shù)的定義得．因為，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，