2024屆北京西城8中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2024屆北京西城8中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．現(xiàn)有甲、乙等5名同學(xué)排成一排照相，則甲、乙兩名同學(xué)相鄰，且甲不站兩端的站法有（）A．24種 B．36種 C．40種 D．48種2．某學(xué)校舉辦科技節(jié)活動(dòng)，有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加“智能機(jī)器人”項(xiàng)目比賽，該項(xiàng)目只設(shè)置一個(gè)一等獎(jiǎng)．在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學(xué)對(duì)這四個(gè)參賽團(tuán)隊(duì)獲獎(jiǎng)結(jié)果預(yù)測(cè)如下：小張說(shuō)：“甲或乙團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；小王說(shuō)：“丁團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；小李說(shuō)：“乙、丙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)均未獲得一等獎(jiǎng)”；小趙說(shuō)：“甲團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”．若這四位同學(xué)中有且只有兩位預(yù)測(cè)結(jié)果是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為2，則其展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（）A．-40 B．-20 C．20 D．404．設(shè)集合，分別從集合A和B中隨機(jī)抽取數(shù)x和y，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)，記“點(diǎn)滿足條件”為事件C，則（）A． B． C． D．5．已知集合，，則（）A． B． C． D．6．不等式無(wú)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是()A． B．C． D．7．在的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為（）A． B． C． D．8．在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓與直線交于兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的極坐標(biāo)方程為（）A． B．C． D．9．一牧場(chǎng)有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.80410．下面有五個(gè)命題：①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=kπA．①③ B．①④ C．②③ D．③④11．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．12．已知O是的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．若，其中，則（）A．-2 B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y?x的最小值是__________．14．設(shè)函數(shù)是定義在上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，則____．15．右圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為_(kāi)____________.16．已知向量滿足，，的夾角為，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某工廠擬生產(chǎn)并銷(xiāo)售某電子產(chǎn)品m萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等），為擴(kuò)大影響進(jìn)行銷(xiāo)售，促銷(xiāo)費(fèi)用x（萬(wàn)元）滿足（其中，為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬(wàn)元（不含促銷(xiāo)費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為元/件．（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；（2）促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，此工廠所獲利潤(rùn)最大？18．（12分）設(shè)，且.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值.19．（12分）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角；（2）若，求的取值范圍．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．再以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并使得它與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位．在該極坐標(biāo)系中圓的方程為．（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)、，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值．21．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，求．22．（10分）某市政府為了節(jié)約生活用電，計(jì)劃在本市試行居民生活用電定額管理，即確定一戶居民月用電量標(biāo)準(zhǔn)a，用電量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi)為此，政府調(diào)查了100戶居民的月平均用電量單位：度，以，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，求直方圖中x的值并估計(jì)該市每戶居民月平均用電量的值；用頻率估計(jì)概率，利用的結(jié)果，假設(shè)該市每戶居民月平均用電量X服從正態(tài)分布估計(jì)該市居民月平均用電量介于度之間的概率；利用的結(jié)論，從該市所有居民中隨機(jī)抽取3戶，記月平均用電量介于度之間的戶數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

對(duì)5個(gè)位置進(jìn)行編號(hào)1，2，3，4，5，則甲只能排在第2，3，4位置，再考慮乙，再考慮其它同學(xué).【題目詳解】對(duì)5個(gè)位置進(jìn)行編號(hào)1，2，3，4，5，∵甲不站兩端，∴甲只能排在第2，3，4位置，（1）當(dāng)甲排在第2位置時(shí)，乙只能排第1或第3共2種排法，其他3位同學(xué)有A3∴共有2×A（2）當(dāng)甲排在第3位置時(shí)，乙只能排第2或第4共2種排法，其他3位同學(xué)有A3∴共有2×A（3）當(dāng)甲排在第4位置時(shí)，乙只能排第3或第5共2種排法，其他3位同學(xué)有A3∴共有2×A∴排法種數(shù)N=12+12+12=36種.【題目點(diǎn)撥】分類(lèi)與分步計(jì)數(shù)原理，在確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，一般是從特殊元素出發(fā)，同時(shí)應(yīng)注意元素的順序問(wèn)題.2、D【解題分析】1.若甲獲得一等獎(jiǎng),則小張、小李、小趙的預(yù)測(cè)都正確,與題意不符;2.若乙獲得一等獎(jiǎng),則只有小張的預(yù)測(cè)正確,與題意不符;3.若丙獲得一等獎(jiǎng),則四人的預(yù)測(cè)都錯(cuò)誤,與題意不符;4.若丁獲得一等獎(jiǎng),則小王、小李的預(yù)測(cè)正確,小張、小趙的預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,符合題意，故選D.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查演繹推理的定義與應(yīng)用以及反證法的應(yīng)用，屬于中檔題.本題中，若甲獲得一等獎(jiǎng),則小張、小李、小趙的預(yù)測(cè)都正確,與題意不符；若乙獲得一等獎(jiǎng),則只有小張的預(yù)測(cè)正確,與題意不符；若丙獲得一等獎(jiǎng),則四人的預(yù)測(cè)都錯(cuò)誤,與題意不符；若丁獲得一等獎(jiǎng),則小王、小李的預(yù)測(cè)正確,小張、小趙的預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,符合題意.3、D【解題分析】

由題意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，即可得含x3項(xiàng)的系數(shù)．【題目詳解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為2?（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二項(xiàng)式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)是﹣40+80＝40故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

求出從集合A和B中隨機(jī)各取一個(gè)數(shù)x，y的基本事件總數(shù)，和滿足點(diǎn)P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．【題目詳解】∵集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分別從集合A和B中隨機(jī)各取一個(gè)數(shù)x，y，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P（x，y），共有6×6＝36種不同情況，其中P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8個(gè)，∴C的概率P（C），故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型概率計(jì)算公式，考查了列舉法計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)，其中熟練掌握利用古典概型概率計(jì)算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵．5、B【解題分析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【題目詳解】因?yàn)樗?故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，因此得出的范圍，再根據(jù)無(wú)實(shí)數(shù)解得出的范圍?！绢}目詳解】解：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，，即.因?yàn)闊o(wú)實(shí)數(shù)解所以，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)解出變量的范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。7、D【解題分析】

根據(jù)最大的系數(shù)絕對(duì)值大于等于其前一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；同時(shí)大于等于其后一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；列出不等式求出系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；【題目詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式為：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，可得可得，解得在的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為：故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中絕對(duì)值系數(shù)最大項(xiàng)的求解，涉及展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．8、A【解題分析】試題分析：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則由題意，得圓的直角坐標(biāo)方程，直線的直角坐標(biāo)方程．由，解得或，所以，從而以為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為，即．將其化為極坐標(biāo)方程為：，即故選A．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．9、C【解題分析】試題分析：由題意可知發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故選C．考點(diǎn)：二項(xiàng)分布的期望與方差．10、B【解題分析】

①先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用求周期的公式即可判斷出是否正確；②對(duì)k分奇數(shù)、偶數(shù)討論即可；③令h（x）=x﹣sinx，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；④利用三角函數(shù)的平移變換化簡(jiǎn)求解即可．【題目詳解】①函數(shù)y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，∴最小正周期T=2π2=π，∴函數(shù)y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π，故①②當(dāng)k=2n（n為偶數(shù)）時(shí)，a=2nπ2=nπ，表示的是終邊在x軸上的角，故②③令h（x）=x﹣sinx，則h′（x）=1﹣cosx≥0，∴函數(shù)h（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，故函數(shù)y=sinx與y=x最多只能一個(gè)交點(diǎn)，因此③不正確；④把函數(shù)y=3sin（2x+π3）的圖象向右平移π6得到y(tǒng)=3sin（2x﹣π3綜上可知：只有①④正確．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、三角函數(shù)取值及終邊相同的角，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．11、B【解題分析】由題設(shè)可得，即，解之得，即；結(jié)合圖形可得，即，應(yīng)選答案B。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是建構(gòu)不等式（組），求解時(shí)先依據(jù)題設(shè)條件，將點(diǎn)代入橢圓方程得到，即，解之得，從而求得，然后再借助與橢圓的幾何性質(zhì)，建立了不等式，進(jìn)而使得問(wèn)題獲解。12、A【解題分析】

由向量的線性運(yùn)算，可得，即得解.【題目詳解】由于，故所以故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

分析：作可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)與可行域關(guān)系，確定最小值取法.詳解：作可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí)，取最小值3.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.14、【解題分析】

依題意能得到f（）＝f（），代入解析式即可求解.【題目詳解】依題意得f（﹣x）＝f（x）且f（x+2）＝f（x），∴f（）＝f（）＝f（2）＝f（）2，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、9.【解題分析】分析：計(jì)算正方形二維碼的面積，利用面積比等于對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)比求得黑色部分的面積.詳解：邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼面積為，設(shè)圖中黑色部分的面積為S，則，解得.據(jù)此估計(jì)黑色部分的面積為9.故答案為：9.點(diǎn)睛：本題考查了用模擬實(shí)驗(yàn)的方法估計(jì)概率的應(yīng)用計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先計(jì)算，再由展開(kāi)計(jì)算即可得解.【題目詳解】由，，的夾角為，得.所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用向量的數(shù)量積計(jì)算向量的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大值為17萬(wàn)元，當(dāng)時(shí)，最大利潤(rùn)萬(wàn)元【解題分析】

（1）利潤(rùn)為單價(jià)乘以產(chǎn)品件數(shù)減去促銷(xiāo)費(fèi)用再減去投入成本；（2）可有對(duì)勾函數(shù)的的單調(diào)性求得最大值．【題目詳解】（1），將代入（2）令，在單減，單增∴當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大值為17萬(wàn)元當(dāng)時(shí)，最大利潤(rùn)萬(wàn)元【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是確定關(guān)系式求得函數(shù)解析式，然后通過(guò)函數(shù)解析式求得最值等．18、（1）；（2）2【解題分析】

（1）直接由求得的值；

（2）由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0求得的定義域，判定在上的增減性，求出在上的最值，即得值域．【題目詳解】解：(1)∵，∴，∴；(2)由得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴?dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，∴函數(shù)在上的最大值是．【題目點(diǎn)撥】本題考查了求函數(shù)的定義域和值域的問(wèn)題，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0可求得定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得值域．19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）運(yùn)用三角形的余弦定理，可得sinC，可得角C；

（2）運(yùn)用正弦定理和兩角差的正余弦公式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．試題解析：（1）由余弦定理，可得，所以，所以，又，所以．（2）由正弦定理，，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以得，所以，，即．20、（1）（2）【解題分析】試題分析:（1）由可將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先將直線的參數(shù)方程代入圓C方程，再根據(jù)參數(shù)幾何意義得，最后根據(jù)韋達(dá)定理求的值．試題解析：（1）；（2）直線的參數(shù)方程代入圓C方程得．點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分