解析幾何中與角有關(guān)的問題1

解析幾何中與角有關(guān)的問題一．課前熱身：1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則5/4.2．已知直線y=2x上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，兩定點(diǎn)A(-1,1)、B(3,3)。若∠APB為鈍角，則a的取值范圍是0<a<2且a≠13．已知點(diǎn)B(-1,1)，點(diǎn)A在圓(x-)2+(y-)2=1上，則∠AOB的最大值是，最小值是（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）二．典型例析：4．如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|＝2(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)若直線l1：x＝m(|m|＞1)，P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m表示)．解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),半焦距c，則|MA1|=-a，|A1F1|=a-c，由題意，得∴a=2,b=,c=1故橢圓方程為（Ⅱ）設(shè)P(m,y0)，|m|>1,當(dāng)y0=0時(shí)，∠F1PF2=0，當(dāng)y0≠0時(shí)，0<∠F1PF2<∠PF1M<,∴只需求tan∠F1PF2的最大值即可。設(shè)直線PF1的斜率k1=，直線PF2的斜率k2=，∴tan∠F1PF2==≤=當(dāng)且僅當(dāng)=|y0|時(shí)，∠F1PF2最大，∴Q（m,±），|m|>1.5：如圖，橢圓＝1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.(Ⅰ)求橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AFT.解：（Ⅰ）過A、B的直線方程為因?yàn)橛深}意得有惟一解。即有惟一解，所以（ab≠0），故a2+4b2－4=0.又因?yàn)椋詀2=4b2.從而得=2，，故所求的橢圓方程為（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，從而由解得x1=x2=1,所以因?yàn)閠an∠AF1T，又，得，因此∠ATM=∠AF1T6．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （Ⅰ）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最大值和最小值; （Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.解：（Ⅰ）解法一：易知所以，設(shè)，則因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或又∴又∵，即∴故由①、②得或6．如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線的方程為：．（1）求橢圓的方程；（Ⅱ）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，，，使，證明：為定值，并求此定值．解：（I）設(shè)橢圓方程為．答（22）圖因焦點(diǎn)為，故半焦距．答（22）圖又右準(zhǔn)線的方程為，從而由已知，因此，．故所求橢圓方程為．（II）記橢圓的右頂點(diǎn)為，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，假設(shè)，且，．又設(shè)點(diǎn)在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有．解得．因此，而，故為定值．三．拓展延伸：7．設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線、分別與橢圓相交于異于、的點(diǎn)、，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).解：（Ⅰ）依題意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝故橢圓的方程為（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）設(shè)M（x0，y0）∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝（4－x02）eq\o\ac(○,1)又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）從而＝（x0－2，y0），＝（2，）∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）eq\o\ac(○,2)將eq\o\ac(○,1)代入eq\o\ac(○,2)，化簡得·＝（2－x0）∵2－x0>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差－＝（－2）2＋（）2－[（x1－x2）2＋（y1－y2）2]＝（x1－2）（x2－2）＋y1y1eq\o\ac(○,3)又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，∴，即y2＝eq\o\ac(○,4)又點(diǎn)M在橢圓上，則，即eq\o\ac(○,5)于是將eq\o\ac(○,4)、eq\o\ac(○,5)代入eq\o\ac(○,3)，化簡后可得－＝從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)8．已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足.(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Q的方程；(Ⅱ)設(shè)曲線Q與y軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)E、F是曲線Q上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且，直線AE與BF交于點(diǎn)，求證：為定值；(Ⅲ)在第（Ⅱ）問的條件下，求證：過點(diǎn)和點(diǎn)E的直線是曲線Q的一條切線.（Ⅳ）在第（Ⅱ）問的條件下，試問是否存在點(diǎn)E使得（或），若存在，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)樗曰蚧喌茫海á颍┯煽稍O(shè)點(diǎn)則由A、P、E三點(diǎn)共線可得，同理可得：，兩式相乘得：，又因?yàn)?，所?3（Ⅲ）點(diǎn)E處曲線Q的切線的斜率為