四川省廣元市2021年中考數學試題（解析版）

四川省廣元市2021中考數學試題

一、選擇題.（每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題意的.每小題3分，共30分）

1.計算卜3|一（一2）的最后結果是（）

A.1B.-1C.5D.-5

【答案】C

【解析】

【分析】先計算絕對值，再將減法轉化為加法運算即可得到最后結果.

【詳解】解：原式=3+2=5,

故選：C.

【點睛】本題考查了絕對值化簡和有理數的加減法運算，解決本題的關鍵是牢記絕對值定義與有理數運算

法則，本題較基礎，考查了學生對概念的理解與應用.

2.下列圖形均表示醫(yī)療或救援的標識，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.

醫(yī)療廢物

中國紅十字會

國際急救

O醫(yī)療衛(wèi)生服務機構

【答案】C

【解析】

【分析】根據軸對稱及中心對稱圖形的定義逐一判斷即可得答案.

【詳解】A.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意,

B.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意，

C.是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故該選項符合題意，

D.既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對

稱軸折疊后能完全重合；中心對稱圖形的關鍵是尋找對稱中心，圖形繞對稱中心旋轉180°后，兩部分能夠

完全重合；熟練掌握定義是解題關鍵.

3.下列運算正確的是()

=a~-B.(a+3)(a—3)=/—9

C.—2(九(+1)=-6iz—1D.(a+Z?)(a—2Z?)=a2—2b2

【答案】B

【解析】

【分析】分別根據完全平方公式、平方差公式、單項式乘以多項式法則、多項式乘以多項式法則進行計算

即可判斷求解.

【詳解】解：A.a2-a+~,原選項計算錯誤，不合題意;

4

B.(a+3)(a-3)=〃—9,原選項計算正確，符合題意；

C.-2(3。+1)=-6?！?,原選項計算錯誤，不合題意；

D.(a+b)(a-2b)=a2-2ab+ab-2b2=cr-ab-2b2,原選項計算錯誤，不合題意.

故選：B

【點睛】本題考查了整式的乘法運算，乘法公式等知識，熟知乘法公式和整式的乘法法則是解題關鍵.

4.一組數據：1,2,2,3,若添加一個數據3,則不發(fā)生變化的統計量是()

A.平均數B.中位數C.眾數D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】依據平均數、中位數、眾數、方差的定義和公式求解即可.

【詳解】解：4、原來數據的平均數是?+2+2+3=2,添加數字3后平均數為l+2+2+3+3=所

455

以平均數發(fā)生了變化，故4不符合題意；

B、原來數據的中位數是2,添加數字3后中位數仍為2,故8與要求相符；

C、原來數據的眾數是2,添加數字3后眾數為2和3,故C與要求不符；

D、原來數據的方差=4(1—2)2+(2-2>+(2—2)2+0-2)2]=L,

42

添加數字3后的方差=￡1(1—111)2,+(2—￡11)2,+(2—511)2,+(3-￡11)2,+(3-?11)2,]=1]4,故方差發(fā)生了變化,

故選項。不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是眾數、中位數、方差、平均數，熟練掌握相關概念和公式是解題的關鍵.

5.下列命題中，真命題是()

A.2九=—

lx

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.順次連接矩形各邊中點的四邊形是正方形

D.已知拋物線了=》2一4%-5,當一1<尤<5時，y<0

【答案】D

【解析】

【分析】根據零次塞、菱形的判定、正方形的判定及二次函數的圖象與性質可直接進行排除選項.

【詳解】解：A、2%-'=-,錯誤，故不符合題意；

X

B、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，錯誤，故不符合題意；

C、順次連接矩形各邊中點的四邊形是菱形，錯誤，故不符合題意；

D、由拋物線'=/一4%-5可得與無軸的交點坐標為(一1,0),(5,0),開口向上，然后可得當一l<x<5時,

y<0,正確，故符合題意；

故選D.

【點睛】本題主要考查零次累、菱形的判定、正方形的判定及二次函數的圖象與性質，熟練掌握零次基、

菱形的判定、正方形的判定及二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

6.觀察下列作圖痕跡，所作線段CD為AABC的角平分線的是()

【解析】

【分析】根據角平分線畫法逐一進行判斷即可.

【詳解】A：所作線段為4B邊上的高，選項錯誤；

以做圖痕跡為A8邊上的中垂線，CD為AB邊上的中線，選項錯誤；

C：CQ為NAC8的角平分線，滿足題意。

D；所作線段為4B邊上的高，選項錯誤

故選：C.

【點睛】本題考查點到直線距離的畫法，角平分線的畫法，中垂線的畫法，能夠區(qū)別彼此之間的不同是解

題切入點.

7.如圖，從一塊直徑是2的圓形鐵片上剪出一個圓心角為90°的扇形，將剪下來的扇形圍成一個圓錐.那

么這個圓錐的底面圓的半徑是（）

C.D.1

2

【答案】B

【解析】

【分析】先計算BC的長度，然后圍成的圓錐底面周長等同于8C的長度，根據公式計算即可.

【詳解】解：如下圖：

連接8C,A0,

NBAC=90，

...8C是直徑，且BC=2,

又?:AB=AC,

AZABC^ZACB=45°,AO±BC,

nA

又???sin45o=t-,OA=-BC=1,

AB2

nOA2[T

AAB=--------=1x—==V2,

sin45°y/2

***BC的長度為：〃一乂兀義6=立~九，

1802

???圍成的底面圓周長為受萬，

2

設圓錐的底面圓的半徑為r,

則：2萬r=71，

2

V21

r=——7tx——

22萬4

故選：B

【點睛】本題考查扇形弧長的計算，圓錐底面半徑的計算，解直角三角形等相關知識點，根據條件計算出

扇形的半徑是解題的關鍵.

8,將二次函數y=-，+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數的圖象如圖所示.當直

線y=x+b與新函數的圖象恰有3個公共點時，b的值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函數解析式曠=-/+2*+3,可求與x軸的兩個交點A、B,直線y=x+b表示的圖像可

看做是直線y=x的圖像平移力個單位長度得到，再結合所給函數圖像可知，當平移直線y=x經過8點時,

恰與所給圖像有三個交點，故將8點坐標代入即可求解；當平移直線y=x經過c點時，恰與所給圖像有

三個交點，即直線y=x+人與函數、=一？+2》+3關于X軸對稱的函數y=——2x—3圖像只有一個交

點，即聯立解析式得到的方程的判別式等于0,即可求解.

【詳解】解：由y=-%2+2x+3知，當y=0時，即

-X2+2x+3=0

解得：%=-1,*2=3

作函數y=x的圖像并平移至過點8時，恰與所給圖像有三個交點，此時有：

0=3+〃

/.b=—3

平移圖像至過點。時，恰與所給圖像有三個交點，即當一1三工工3時，只有一個交點

當一1WXW3的函數圖像由y=—/+2x+3的圖像關于x軸對稱得到

,當一1WxV3時對應的解析式為y^x2-2x-3

即匕二21，整理得：X2-3X-3-&=0

3)2-4x1x(-3-b)=21+4h=0

綜上所述匕=-3或-一

4

【點睛】本題主要考察二次函數翻折變化、交點個數問題、函數圖像平移的性質、二次函數與一元二次方

程的關系等知識，屬于函數綜合題，中等難度.解題的關鍵是數形結合思想的運用，從而找到滿足題意的

條件.

9.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，AE是以為直徑的半圓的切線，則圖中陰影部分的面積為

()

BA

CED

3+%5—乃

A.----B.71—2C.1D.----

22

【答案】D

【解析】

【分析】取8C的中點0,設AE與。。的相切的切點為連接OF、0E、0A,由題意可得08=0C=0A=l,

ZOFA^ZOFE=90°,由切線長定理可得4B=AF=2,CE=CF,然后根據割補法進行求解陰影部分的面積即

可.

【詳解】解：取BC的中點0,設AE與00的相切的切點為F,連接。尸、0E、0A,如圖所示:

???四邊形A8C。是正方形，且邊長為2,

:.BC=AB=2,^ABC=XBCD=90°,

；AE是以8C為直徑的半圓的切線，

：.OB=OC=OF=\,ZOFA=ZOFE=90a,

：.AB=AF=2,CE=CF,

：04=04,

:.Rt叢ABO4Rt叢AFO(HL),

同理可證會△OFE,

ZAOB=ZAOF,ZCOE=ZFOE,

：.ZAOB+ZCOE=90°=ZAOB+ABAO,

4cOE=4BAO,

；?AABOS^OCE，

,PCCE

??—,

ABOB

CE=L

2

S陰影=S四邊形ABCE一S半圓=+2sqeE一S半圓=2+--y=——；

故選D.

【點睛】本題主要考查切線的性質定理、切線長定理、正方形的性質及相似三角形的性質與判定，熟練掌

握切線的性質定理、切線長定理、正方形的性質及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

10.如圖，在AA6c中，ZACB=9Q°,AC=3C=4,點力是8。邊的中點，點P是AC邊上一個動

點，連接PD,以PO為邊在尸。的下方作等邊三角形P。。，連接CQ.則CQ的最小值是()

.4

A./3

B.1C.V2D.-

22

【答案】B

【解析】

【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE,連接EQ,由題意易得PD=QD,進而可得

△PCD9XQED,則有NPCD=NQEZ)=90°,然后可得點。是在QE所在直線上運動，所以C。的最小值

為CQ_LQE時，最后問題可求解.

【詳解】解：以8為邊作等邊三角形CZ)E,連接E。，如圖所示:

???APOQ是等邊三角形,

NCED=ZPDQ=NCDE=60°,PD=QD,CD=ED,

?.?/c。。是公共角，

/PDC=/QDE,

：./\PCD^/\QED(SAS),

VZACB=90°.AC=3C=4,點。是6c邊的中點，

：.ZPCD=ZQED=90Q,CD=DE=CE=-BC=2,

2

，點。是在0E所在直線上運動，

.?.當CQ_LQE時，CQ取的最小值，

ZQEC=90°-ZCED=30°,

CQ=；CE=1；

故選B.

【點睛】本題主要考查等邊三角形性質、含30°直角三角形的性質及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角

形的性質、含30°直角三角形的性質及最短路徑問題是解題的關鍵.

二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應題目的橫線上.每小題4分，共24分）

11.的算術平方根是_____.

【答案】2

【解析】

【詳解】語=4,4的算術平方根是2,

，y/16的算術平方根是2.

【點睛】這里需注意：J證的算術平方根和16的算術平方根是完全不一樣的；因此求一個式子的平方根、

立方根和算術平方根時，通常需先將式子化簡，然后再去求，避免出錯.

12.中國雜交水稻之父、中國工程院院士、共和國勛章獲得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年

91歲，袁隆平去世是中國乃至全世界的重大損失.袁隆平一生致力于水稻雜交技術研究，為提高我國水

稻畝產量做出了巨大貢獻.截至2012年，“種三產四”豐產工程項目累計示范推廣面積達2000多萬畝，增

產20多億公斤.將20億這個數據用科學記數法表示為.

【答案】2xl09

【解析】

【分析】科學記數法要求，小數點在第一個不為零的整數后面，其他數為小數，小數點移動位數等于募的

指數，向左移動，指數為正，向右移動，指數為負.

【詳解】20X108=2X109

故答案為：2x10".

【點睛】本題考查科學記數法，根據相關原則進行計算是解題關鍵點.

13.如圖，實數715.機在數軸上所對應的點分別為A，B,C,點B關于原點。的對稱點為D若

機為整數，則小的值為________.

，?????一

DCAOB

【答案】-3

【解析】

【分析】先求出。點表示的數，再得到。的取值范圍，最后在范圍內找整數解即可.

【詳解】解：?.?點8關于原點。的對稱點為。，點8表示的數為歷，

.?.點。表示的數為一岳，

:力點表示-石，C點位于2、。兩點之間，

-J15<m<—yfs>

?.777為整數，

故答案為：-3.

【點睛】本題考查了數軸上點的特征，涉及到相反數的性質、對無理數進行估值、確定不等式組的整數解

等問題，解決本題的關鍵是牢記相關概念和性質，本題蘊含了數形結合的思想方法.

14.如圖，在4x4的正方形網格圖中，已知點A、B、C、D、0均在格點上，其中A、B、力又在。0上,

點E是線段C￡）與。。的交點.則NBAS的正切值為

D

【答案后

【解

【分析】由題意易得B￡>=4,BC=2,ZDBC=90Q,NBAE=NBDC,然后根據三角函數可進行求解.

【詳解】解：由題意得：BD=4,BC=2,N。8c=90°,

,ZZBAE=ZBDC,

：.tanNBAE=tanNBDC=-=

BD2

故答案為!.

2

【點睛】本題主要考查三角函數及圓周角定理，熟練掌握三角函數及圓周角定理是解題的關鍵.

15.如圖，點A（-2,2）在反比例函數>="的圖象上，點”在x軸的正半軸上，點N在y軸的負半軸上，

且OM=ON=5.點P（x,y）是線段MN上一動點，過點A和P分別作X軸的垂線，垂足為點。和E,連

接OA、OP.當時，X的取值范圍是一

【答案】l<x<4

【解析】

【分析】先求出反比例函數的解析式，再求出線段的解析式，最后聯立兩個解析式求出8和C兩個點

的坐標，再根據”的幾何意義，確定尸點位置，即可得到相應的x的取值范圍.

【詳解】解：???點A（-2,2）

Z=2x（-2）=-4,

4

所以反比例函數的解析式為：y=-一,

x

因為OM=ON=5,

...M（5,0）,N（0,-5）,

設線段MV解析式為：>=px+q（OWx<5）,

5p+q=0

q=-5

.P=1

??1，

q=-5

，線段“N解析式為：>=x-5（0KxW5）,

=%-5

聯立以上兩個解析式得：\4，

y=—

I%

x=11x=4

解得：\/或《「經檢驗，符合題意；

〔廣-4[y=-l

由圖可知，兩個函數的圖像交點分別為點B和點C,

.,.5（1,-4）,C（4,-l）,

SgAD<S.OPE>

.??P點應位于B和C兩點之間，

??l<x<4,

故答案為：l<x<4.

【點睛】本題涉及到了動點問題，考查了反比例函數的圖像與性質、k的幾何意義、待定系數法等內容，解

決本題的關鍵是牢記反比例函數的圖像與性質，理解k的幾何意義，以及能聯立兩個函數的解析式求交點坐

標等，本題蘊含了數形結合的思想方法等.

16.如圖，在正方形ABCD中，點。是對角線80的中點，點尸在線段0。上，連接”并延長交。。于

點E,過點P作小戶交6c于點尸，連接A/、EF，AF交BD于G,現有以下結論：@AP=PF；

②DE+BF=EF；③PB-PD=6BF；④5?門為定值；⑤S四邊形正柘=.以上結論正確的有

（填入正確的序號即可）.

B

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】由題意易得/A尸F=NABC=NA￡>￡■=NC=9（r,AD=AB,ZABD=45a,對于①：易知點A、B、F、

尸四點共圓，然后可得NAFP=N48D=45°,則問題可判定；對于②：把繞點4順時針旋轉90°得

至必48”，則有DE=BH,NDAE=NBAH,然后易得尸絲△AHF,則有HF=EF,則可判定；對于③：

連接AC,在BP上截取BM=DP,連接AM,易得08=。。，OP=OM,然后易證△4OPszMBF,進而問題

可求解；對于④：過點A作ANLEF于點M則由題意可得AN=4B,若△AEF的面積為定值，則EF為定

值，進而問題可求解；對于⑤由③可得絲=—,進而可得△APGsAA尸瓦然后可得相似比為絲=旦,

AF2AF2

最后根據相似三角形的面積比與相似比的關系可求解.

【詳解】解：；四邊形A8CO是正方形，PFA.AP,

：.ZAPF^ZABC=ZADE=ZC=90°,AD=AB,ZABD=45",

①???ZABC+ZAPF=180°,

由四邊形內角和可得ZBAP+NBFP=180°,

...點A、B、F、尸四點共圓，

NAFP=/AB￡>=45°,

.?.△AP尸是等腰直角三角形，

AP=PF,故①正確；

②把△AEZ）繞點A順時針旋轉90。得到△ABH,如圖所示：

AD

：.DE=BH,NDAE=NBAH,NHAE=90°,AH=AE,

：.ZHAF=ZEAF=45°,

U：AF=AF,

：.^AEF^/XAHF(SAS),

:,HF=EF,

,/HF=BH+BF，

/.DE+BF=EF，故②正確；

③連接AC,在BP上截取BM=DP,連接AM,如圖所示:

丁點。是對角線的中點，

：.OB=OD,BD±AC,

：,OP=OM,ZVIOB是等腰直角三角形，

；?AB=CAO,

由①可得點A、B、F、尸四點共圓，

ZAPO^ZAFB,

,：ZABF=ZAOP=9Q°,

：.XAOPsMABF,

.OPOAAPy/2

??f

BFABAF2

OP=—BF，

2

BP—DP=BP-BM=PM=2OP,

二PB-PD=垃BF，故③正確；

④過點A作AN_LEF于點M如圖所示:

AD

由②可得N4FB=NARV,

?：/ABF=/ANF=90°,AF=AFf

：./XABF^AANF(A45),

：.AN=ABf

若△4￡：尸的面積為定值，則￡產為定值,

??,點戶在線段0。上，

???斯的長不可能為定值，故④錯誤；

⑤由③可得”=也，

AF2

?：/AFB=/AFN=/APG,ZFAE=APAG,

：.AAPG^AAFE,

.GPAP血

??---=---------,

EFAF2

.S?GP_(&]_1

??—―,

S△AEF\272

SjGP=萬S^AEF，

S四邊形P￡FG=S-4PG，故⑤正確;

綜上所述：以上結論正確的有①②③⑤;

故答案為①②③⑤.

【點睛】本題主要考查正方形的性質、旋轉的性質、圓的基本性質及相似三角形的性質與判定，熟練掌握

正方形的性質、旋轉的性質、圓的基本性質及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

三、解答題(96分)要求寫出必要的解答步驟或證明過程

17.解方程：—+—=4.

23

【答案】x=7

【解析】

【分析】根據整式方程的計算過程，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1,就可以得到結果.

【詳解】解：去分母得：3(x-3)+2(x-l)=24,

去括號得：3元—9+2x—2=24,

移項并合并同類項得：5x=35,

系數化為1得：x=7,

故答案為：x=7.

【點睛】本題考查整式方程的計算，注意每個步驟的要求是解題的關鍵.

(11\1

18.先化簡，再求值：——+——--——.其中y=l.

—yx+y)_T+肛

【答案】—)472+4

x—y

【解析】

【分析】先算括號內的，再進行分式的除法運算進行化簡，然后再代值求解即可.

x+y+x-y/、2x2

【詳解】解：原式=7~~~^xx-(x+y)=----,

(x+y)(x-y)x-y

把》=夜，y=l代入得：原式=2x(3)=4914,

垃-1

【點睛】本題主要考查分式的化簡求值及二次根式的運算，熟練掌握分式的化簡求值及二次根式的運算是

解題的關鍵.

19.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為。。邊的中點，連接AE,若AE的延長線和5c的延長線相交

于點F.

DE

（1）求證：BC=CF；

（2）連接AC和班相交于點為G,若AGEC的面積為2,求平行四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）24.

【解析】

【分析】（1）根據E是邊OC的中點，可以得到。E=CE,再根據四邊形ABC。是平行四邊形，可以得到

ZADE=AECF,再根據/4￡￡>=/。石尸，即可得到也AECE,則答案可證；

AGAB1

（2）先證明ACEG"ABG,根據相似三角形的性質得出S.A8G=8，k=一=—，進而得出S?BGC=4,

GCCE2

由S-ABC=SAABG+SQBCG得=12,則答案可解?

【詳解】（1）證明：?..四邊形A8C。是平行四邊形，

AD//BC,AD^BC,

ZADE=NECF,

?.,點E為。C的中點，

DE-CE,

在AAOE和戶中

ZADE=NECF

<DE=CE

NAED=ZCEF

：.AADE^AECF(ASA),

...AD=CF,

：.BC=CF；

(2)?.?四邊形A8CZ)是平行四邊形，點E為0c的中點,

AAB//DC,AB=2EC,

:.ZGEC=ZABG,ZGCE=ZGAB,

:?ACEG~AABG,

VAGEC的面積為2,

'AB、22i

工=—?即JBG

S=4SAC￡G=4X2=8,

S^CEGlCH)4

ACEGfABG

.AGAB1

??__—___—_

GCCE2

**,S.BGC~SA48G=/*8=4，

/.S-S+S=8+4=12,

^/AlRoCARrADCORCC

^oABCD=2sM=2x12=24.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，解答本題的

關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

20.為增強學生體質，豐富學生課余活動，學校決定添置一批籃球和足球.甲、乙兩家商場以相同的價格出

售同種品牌的籃球和足球，已知籃球價格為200元/個，足球價格為150元/個.

（1）若學校計劃用不超過3550元的總費用購買這款籃球和足球共20個，且購買籃球的數量多于購買足球

2

數量的一.學校有哪幾種購買方案？

3

（2）若甲、乙兩商場各自推出不同的優(yōu)惠方案：甲商場累計購物超過500元后，超出500元的部分按90%

收費；乙商場累計購物超過2000元后，超出2000元的部分按80%收費.若學校按（1）中的方案購買，學

校到哪家商場購買花費少？

【答案】（1）有三種方案，為：①購買9個籃球，11個足球；②10個籃球，10個足球；③11個籃球，9個

足球；（2）學校購買9個籃球，11個足球到甲商場購買花費少；購買10個籃球，10個足球和11個籃球，9

個足球到乙商場購買花費少.

【解析】

【分析】（1）設學校購買籃球x個，購買足球（20.）個，根據“學校計劃用不超過3550元的總費用購買”

2

和“購買籃球的數量多于購買足球數量的一”列出不等式組，求解即可；

3

（2）設學校購買籃球x個，購買足球（20-x）個，分別計算出在甲，乙兩商場的費用列出不等式求解即可.

【詳解】解：（1）設學校購買籃球x個，購買足球（20-x）個，根據題意得，

200%+150（20-%）<3550

■2

x>—（20-x）

、3

解得，8<%<11

是整數，

：.x=9,10或11

.,.20-412,10或9

故有三種方案，為：①購買9個籃球，11個足球；②10個籃球，10個足球；③11個籃球，9個足球；

（2）設學校購買籃球x個，購買足球（20-x）個，

在甲商場花費：［200x+150(20-x)-500］x90%+500=(45x+2750)元；

在乙商場花費：［200x+150(20-x)-20001x80%+2000=(40%+2800)元；

.?.要使學校到甲商場花費最少，則有：

45x+2750<40x+2800

解得，xV10

V8<x<ll,且x是整數，

.?.k9,

即：學校購買9個籃球，11個足球到甲商場購買花費少；購買10個籃球，10個足球和11個籃球，9個足球

到乙商場購買花費少.

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根

據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出不等式，再求解.

21.“此生無悔入華夏，來世再做中國人！”自疫情暴發(fā)以來，我國科研團隊經過不懈努力，成功地研發(fā)出

了多種“新冠”疫苗，并在全國范圍內免費接種.截止2021年5月18日16：20,全球接種“新冠”疫苗

的比例為18.29%；中國累計接種4.2億劑，占全國人口的29.32%.以下是某地甲、乙兩家醫(yī)院5月份某天

各年齡段接種疫苗人數的頻數分布表和接種總人數的扇形統計圖：

甲醫(yī)院乙醫(yī)院

年齡段頻數頻率頻數頻率

18—29周歲9000.154000.1

30—39周歲a0.2510000.25

40—49周歲2100bC0.225

50—59周歲12000.212000.3

60周歲以上3000.055000.125

(1)根據上面圖表信息，回答下列問題:

①填空：a=，b=

②在甲、乙兩醫(yī)院當天接種疫苗的所有人員中，40—49周歲年齡段人數在扇形統計圖中所占圓心角為

(2)若A、8、C三人都于當天隨機到這兩家醫(yī)院接種疫苗，求這三人在同一家醫(yī)院接種的概率.

甲、乙兩醫(yī)院各年齡段接種總人數的扇形統計圖

【解析】

【分析】（1）①分別用甲、乙兩醫(yī)院18-29周歲的年齡段的頻數除以頻率即可求出接種總人數，然后根據頻

數與頻率的關系求出相應的值；②甲、乙兩醫(yī)院當天接種疫苗的所有人員中，40—49周歲年齡段人數與接

種總人數的百分比乘以360°即可得到在扇形統計圖中所占圓心角；

（2）畫出樹狀圖，得出所有等可能的結果數與三人在同一家醫(yī)院接種的結果數，運用概率公式求解即可.

【詳解】解：（1）①900+0.15=6000（人），400-0.1=4000（人）

?=6000-900-2100-1200-300=1500

b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35

c=4000-400-l000-1200-500=900

故答案為：1500,0.35,6=900；

2100+900

②360°x=108°

6000+4000

故答案為：108。；

（2）畫樹狀圖為:

開始

???所有等可能的結果共有8種情況，而同在一所醫(yī)院接種的有2種結果數，

21

...三人在同一家醫(yī)院接種的概率

o4

【點睛】此題考查了條形統計圖，扇形統計圖以及概率的計算，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要

的信息是解決問題的關鍵.當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.

22.如圖，某無人機愛好者在一小區(qū)外放飛無人機，當無人機飛行到一定高度。點處時，無人機測得操控

者A的俯角為75°,測得小區(qū)樓房頂端點C處的俯角為45°.已知操控者A和小區(qū)樓房6。之間的距

離為45米，小區(qū)樓房8C的高度為15百米.

￡

□

□

□

□

□

□

□

AB

（1）求此時無人機的高度；

（2）在（1）條件下，若無人機保持現有高度沿平行于A3的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行.問:

經過多少秒時，無人機剛好離開了操控者的視線？（假定點A,B,C,。都在同一平面內.參考數據：

tan75°=2+6，tan15°=2—計算結果保留根號）

【答案】（1）（156+30）米；（2）（6g+6）秒

【解析】

【分析】（1）通過作輔助線構造直角三角形，解直角三角形即可求出QE的值，進而得到?！钡闹担?/p>

（2）先利用特殊角的三角函數值求出N8AC的度數，接著求出NGE4的度數，作輔助線構造直角三角形求

出Z）G和GF,進而得到￡＞尸的值，最后除以無人機速度即可.

【詳解】解：如圖1,過。點作垂足為點”，過C點作CE，。，，垂足為點E,

r

-

g

□

□

□

□

□

□

可知四邊形EHBC為矩形，

；.EH=CB,CE=HB,

?..無人機測得小區(qū)樓房BC頂端點C處的俯角為45°,測得操控者A的俯角為75°,DM//AB,

NEC￡）=45°,ND48=75°,

；.NCDE=NECD=45°,

：.CE=DE,

設CE=DE=HB=x,

：.AH^5-x,DH=DE+EH=x+15^，

在RMOA”中，OH=tan75°xA”=（2+6）（45-x）,

即x+15/=（2+班）（45-x）,

解得：x=30,

:?DH=15百+30

此時無人機的高度為（1573+30）米；

（2）如圖2所示，當無人機飛行到圖中尸點處時，操控者開始看不見無人機，此時A尸剛好經過點C,

過A點作AGLOF,垂足為點G,此時，由（1）知，AG=15V3+30（米），

圖2

AG30+15w

DG==15；

tan752+6

tan"必修?

AB453

???NG43=30°

'CDF/ZAB,

???/￡＞吐NCAB=30°,

GF=-^-

=30百+45,

tan30

DF=GF-DG=30百+30,

因為無人機速度為5米/秒，

所以所需時間30者+30=66+6（秒）；

所以經過（66+6）秒時，無人機剛好離開了操控者的視線.

【點睛】本題綜合考查了解直角三角形的應用，涉及到了等腰直角三角形的性質、矩形的判定與性質、特

殊角的三角函數值、解直角三角形等知識，解決本題的關鍵是讀懂題意，能從題意與圖形中找出隱含條件,

能構造直角三角形求解等，本題蘊含了數形結合的思想方法等.

23.如圖，直線丁=辰+2與雙曲線,=”相交于點A、B,已知點A的橫坐標為1,

X

（1）求直線y=kx+2的解析式及點B的坐標;

（2）以線段A3為斜邊在直線A3的上方作等腰直角三角形A8C.求經過點C的雙曲線的解析式.

【答案】（1）產-0.5x+2；點B坐標為（3,0.5）；（2）過點C的雙曲線解析式為y=

x

【解析】

【分析】（1）把點A橫坐標代入反比例函數解析式，可求出點A坐標，代入），=依+2可求出直線解析式,

聯立反比例函數與一次函數解析式即可得點B坐標；

（2）設點C坐標為（"?，n）,過點C的雙曲線解析式為丁=人，根據點A、B坐標可求出A8的長，根據等

X

6

腰直角三角形的性質可得AC=BC=?A8,根據兩點間距離個數求出相、”的值即可得點C坐標，代入反

2

比例函數解析式求出％值即可得答案.

【詳解】（1）1?點A在雙曲線＞=亞上，點A的橫坐標為1,

X

/.當x=\時,y=1.5,

???點A坐標為（1,1.5）,

?.?直線y=丘+2與雙曲線丁=絲相交于點A、B,

X

???2+2=1.5,

解得：A=-0.5,

???直線y=履+2的解析式為y=-0.5x+2,

y=-0.5x4-2

聯立反比例函數與一次函數解析式得\1.5

y=-

玉=3

解得：〈（舍去）,

x=0.532=L5

:.點B坐標為（3,0.5）.

（2）設點C坐標為（m,〃），過點C的雙曲線解析式為y=K,

VA(1,1.5),B(3,0.5),

AB=J(3-Ip+(1.5-0.5)2=6,

「△ABC等腰直角三角形，

；.AC=BC=-AB=^-，

=(/〃-3)一+

整理得：〃=2加一3,

???（7M-1）2+（2加一3—|）2=（萼）2，

53

解得：加=二或一，

22

〃=2加-3=2或0（舍去），

.?.點C坐標為（2.5,2）,

k

把點C坐標代入雙曲線解析式得：2=—,

2.5

解得：2=5,

過點C的雙曲線解析式為y=

【點睛】本題考查反比例函數與一次函數綜合，熟練掌握反比例函數圖象上的點的坐標特征是解題關鍵.

24.如圖，在Ri△ABC中，NACB=90°,AD是NBAC的平分線，以AO為直徑的。。交AB邊于點E，

連接CE，過點D作DF//CE,交A3于點F.

(1)求證：OF是0。的切線；

3

(2)若BD=5,sinZB-j,求線段OE的長.

【答案】(1)證明見詳解；(2)垣.

2

【解析】

【分析】(1)先根據圓周角定理、角平分線定義、平行線性質證明/EA慶NFDE,再根據AO為。。直徑,

得到NAQE+NOAE=90°,進而得到A￡?_LFZ),問題得證；

(2)先求出。E=3,證明△AEQg/XACO,得至iJOE=QC=3,BC=BD+CD=8,解RtAAfiC中求出AC=6,

r)p□R

進而得至|JAE=6,求出4。=3遂,證明44。E6/^1尸。，得到一=一，即可求出產。=吧.

FDAD2

【詳解】解：⑴證明:連接OE,

DC=DC

：.ZCAD=ZCED,

*/是NS4C的平分線,

：.ZCAD=ZEAD,

：.ZCED=ZEAD,

,?DF!ICE,

：.ZCED=ZFDE,

：.ZEAD=ZFDE,

為O。直徑，

Z.ZAED=ZACD=90°,

ZADE+ZDAE=90°,

:.NADE+/FDE=9Q°,

即ADLFD,

又：AO為。。直徑,

???。/是。0的切線；

（2）VZAED=90°,

；?NBED=90°,

_3

:.DE—BZ）*sin/B=5x—=3,

5

VZAED=ZACDfZDAE=ZDAC,AD=ADf

：.AAED^AACD,

:?DE=DC=3,

:?BC=BD+CD=8,

3

在Rt△ABC中，VsinZB=-,

???設4C=3JGAB=5xf

???（5X）2-（3X）2=82,

\'x>0,

.*.x=2,

.*.AB=5x=10,AC=3x=6f

???AAED^AACD,

.\AE=AC=6f

???在RtZVlOE中，AD7AE、DE2=34,

VZEAD=ZDAF,ZAED=ZADF=90°,

???/\ADE^/\AFD9

.DEAE

?_?_—__—__，

FDAD

36

即---二—廣，

FD3也

.RN3A/5

??FD=------?

2

【點睛】本題為圓的綜合題，考查了切線的判定，圓的性質，三角函數，相似三角形的判定與性質等知識,

根據題意添加輔助線，熟知圓的性質，利用三角函數解直角三角形是解題關鍵.

25.如圖1,在△ABC中，NAC3=90°，AC=BC，點。是AB邊上一點（含端點A、8）,過點8作跖

垂直于射線CO,垂足為E,點F在射線CD上，且EF=BE,連接A/、BF.

圖1圖2

（1）求證：AABFS^CBE；

（2）如圖2,連接AE，點P、M、N分別為線段AC、AE、EF的中點，連接PM、MN、PN.求/PMN

MN

的度數及——的值；

PM

（3）在（2）的條件下，若BC=垃,直接寫出APMN面積的最大值.

MNr1

【答案】（1）證明見解析；（2）NPMN=135°;——=，2；（3）-

PM4

【解析】

【分析】（1）根據兩邊對應成比例，夾角相等判定即可.

MN

（2）NPMN的值可以根據中位線性質，進行角轉換，通過三角形內角和定理求解即可，——的比值轉換

PM

Ap

為k的比值即可求得.

CE

（3）過點P作P。垂直于MW的延長線于點Q,S&pMN=gMN?PQ,將相關線段關系轉化為CE,可得

關系SAPMN=』CE2,觀察圖象，當CE=8C=&時，可得最大值.

8

【詳解】（1）證明：???NACB=90°,AC=BC

???AB=母BC，ZABC=ABAC=45°

:破垂直于射線co,

ZBEF=9Q°,

又?：EF=BE

???FB=6EB，/FBE=NEFB=45°

,/ZABC+ZABE=ZABE+NFBE

即：ZABF=NCBE

又???金生=a

CBBE

:?AABFSVBE

（2）解：?.?點P、M、N分別為線段AC、AE>E廠的中點

PM//CN,MNHAF,「加=；CE,MN