專題07等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和6種常見考法歸類

專題07等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和6種常見考法歸類思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和基本量的運(yùn)算考點(diǎn)二、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用(一)等比中項(xiàng)的應(yīng)用(二)利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算(三)等比數(shù)列的單調(diào)性和最值考點(diǎn)三、等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用(一)等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用(二)等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)(三)等比數(shù)列前n項(xiàng)和其他性質(zhì)考點(diǎn)四、等比數(shù)列的證明考點(diǎn)五、等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系考點(diǎn)六、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列有關(guān)概念1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：.注：(1)定義的符號(hào)表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定義強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”，因?yàn)榈谝豁?xiàng)沒有前一項(xiàng)；(3)比必須是同一個(gè)常數(shù)；(4)等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都不能為0；(5)公比可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)，但不能為0.2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通項(xiàng)公式還可以寫成，它與指數(shù)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列．注：（1）等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公比是q，則由定義可知eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．方法一an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．方法二a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…由此可得an＝a1qn－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則.3．等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)，即G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab．注：①只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)時(shí)，這兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).②在等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等比中項(xiàng)；③與等比數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于該項(xiàng)的平方，即在等比數(shù)列中，．④等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的異同，對(duì)比如下表：對(duì)比項(xiàng)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng)定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個(gè)數(shù)a與b的等差中項(xiàng)唯一a與b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)備注任意兩個(gè)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)只有當(dāng)ab＞0時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系1．當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，等比數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an是指數(shù)型函數(shù)f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)當(dāng)x＝n時(shí)的函數(shù)值，即an＝f(n)．2．任意指數(shù)型函數(shù)f(x)＝kax(k，a是常數(shù)，k≠0，a>0且a≠1)，則f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{kan}，其首項(xiàng)為ka，公比為a.注意點(diǎn)：(1)a1>0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(2)a1>0,0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(3)a1<0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(4)a1<0,0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(5)q＝1時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列；(6)q<0時(shí)，數(shù)列{an}為擺動(dòng)數(shù)列；奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同．知識(shí)點(diǎn)3等比數(shù)列的判定與證明證明等比數(shù)列的方法1．定義法：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q為不為0的常數(shù))；2．等比中項(xiàng)法：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；3．通項(xiàng)公式法：an＝a1qn－1.注：用定義法證明時(shí)，eq\f(an,an－1)和eq\f(an＋1,an)中的n的范圍不同知識(shí)點(diǎn)4等比數(shù)列的性質(zhì)在等比數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等比數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；注：若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．（2）在等比數(shù)列中，對(duì)任意，，； （3）在等比數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中項(xiàng).也就是：，如圖所示：.注：(1)性質(zhì)的推廣：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)該性質(zhì)要求下標(biāo)的和相等，且左右兩側(cè)項(xiàng)數(shù)相同；(3)在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….(4)等比數(shù)列下標(biāo)為奇數(shù)的項(xiàng)正負(fù)相同，下標(biāo)為偶數(shù)的項(xiàng)正負(fù)相同；（4）若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．（5）在等比數(shù)列{an}中按序號(hào)從小到大取出若干項(xiàng)：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數(shù)列，那么是等比數(shù)列.（6）公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即，，，…成等比數(shù)列，且公比為.（7）等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列，當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)5等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)分與聯(lián)系(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列．(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)必成等差數(shù)列．(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列．?dāng)?shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．(4)如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng)，構(gòu)成什么樣的新數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)6等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n與公比q首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an與公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))注：（1）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比是q，如何求該等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和？思路一：因?yàn)镾n＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一項(xiàng)都乘等比數(shù)列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，發(fā)現(xiàn)上面兩式中有很多相同的項(xiàng)，兩式相減可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，當(dāng)q≠1時(shí)，有Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，而當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1.上述等比數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法，我們稱為“錯(cuò)位相減法”．思路二：當(dāng)q≠1時(shí)，由等比數(shù)列的定義得：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有eq\f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)＝eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，該推導(dǎo)方法圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)出了公式，通過上述兩種推導(dǎo)方法，我們獲得了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的兩種形式，而這兩種形式可以利用an＝a1qn－1相互轉(zhuǎn)化．思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1?Sn＝a1＋q(Sn－an)?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)或Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，顯然方程的思想在本次推導(dǎo)過程中顯示了巨大的威力，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使我們不拘泥于課本，又能使問題得到解決．（2）在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè).(和各已知三個(gè)可求第四個(gè)（3）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（4）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況.在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)的使用條件為q≠1，而當(dāng)q＝1時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1.（5）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征當(dāng)公比q≠1時(shí)，設(shè)A＝eq\f(a1,q－1)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，設(shè)A＝－eq\f(a1,1－q)，則Sn＝Aqn－A.）當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù).知識(shí)點(diǎn)7等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．注意點(diǎn)：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件的，即Sn≠0.注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比數(shù)列，證明如下：思路一：當(dāng)q＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q).S2n－Sn＝eq\f(a11－q2n,1－q)－eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn1－qn,1－q)，S3n－S2n＝eq\f(a11－q3n,1－q)－eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，而(S2n－Sn)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq\f(a11－qn,1－q)×eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．思路二：由性質(zhì)Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．2．{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)．注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.4．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：（1）在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；（2）在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).S奇＝a1＋qS偶．注：若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n項(xiàng)，則其偶數(shù)項(xiàng)和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數(shù)項(xiàng)和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間存在聯(lián)系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq\f(S偶,S奇)＝q.＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，從項(xiàng)數(shù)上來看，奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多了一項(xiàng)，于是我們有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．知識(shí)點(diǎn)8等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用1．解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求．1、等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量，已知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”)，通過列方程(組)便可迎刃而解；（2）運(yùn)用方程思想解答等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題是高考常見題型，要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡(jiǎn)化運(yùn)算．(3)對(duì)于基本量的計(jì)算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時(shí)會(huì)用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個(gè)整體．(4)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)，當(dāng)q>1時(shí)，用公式Sn＝eq\f(a1,q－1)(qn－1)代入計(jì)算，當(dāng)q<1時(shí)，用公式Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)代入計(jì)算，可避免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤．（5）特殊設(shè)法:三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為；四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為.這對(duì)已知幾數(shù)之積,求數(shù)列各項(xiàng),運(yùn)算很方便.2、等比中項(xiàng)要注意的問題兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)a，b才有等比中項(xiàng)，而且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(±eq\r(ab))，而不是一個(gè)(eq\r(ab))，這是容易忽視的地方.3、等比數(shù)列的證明方法定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列4、等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．5、判斷等比數(shù)列的單調(diào)性的方法(1)當(dāng)q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列．(2)當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列．(3)當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)，{an}是擺動(dòng)數(shù)列．6、處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問題的常用方法(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數(shù)且q＝－1除外)仍成等比數(shù)列這一重要性質(zhì)，能有效減少運(yùn)算．(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．7、處理等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和有關(guān)問題的常用方法等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，要抓住eq\f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n這一隱含特點(diǎn)；若等比數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1這一隱含特點(diǎn)．要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和基本量的運(yùn)算1.在等比數(shù)列中，若，，則___________.【答案】32【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，則得到，則.【詳解】設(shè)公比為，即，即，得，所以.故答案為：32.2.在等比數(shù)列中，，，則______.【答案】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，繼而算出，即可得到答案【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，所以又，所以，所以，，所以故答案為：3.在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，進(jìn)而可得出，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，故.故選：C.4.已知為等比數(shù)列，公比，則（

）A．81 B．27 C．32 D．16【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解.【詳解】根據(jù)可得，所以或，若，則不符合要求，若，則符合要求，故，故選：A5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算出公比，進(jìn)而求出首項(xiàng)和.【詳解】，，即，，則，所以，由，則，由，則，所以．故選：D6.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．16 B．8 C．6 D．2【答案】D【分析】先利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式及性質(zhì)求出公比，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，即，可得，即，又，所以．故選：D.7.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，積等于64，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是（

）A．2或 B．2或 C．或 D．或【答案】A【分析】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，根據(jù)條件列方程組，求出，再得到這個(gè)等比數(shù)列的公比即可.【詳解】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，則.因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)的和等于14，積等于64，所以.聯(lián)立方程組，可得或，所以當(dāng)時(shí)，這個(gè)等比數(shù)列的公比為；當(dāng)時(shí)，這個(gè)等比數(shù)列的公比為，所以等比數(shù)列的公比是2或.故選：A.考點(diǎn)二、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用等比中項(xiàng)的應(yīng)用8.若，，均為實(shí)數(shù)，試從①；②；③中選出“，，成等比數(shù)列”的必要條件的序號(hào)______.【答案】①③【分析】依次判斷“，，成等比數(shù)列”是否能推出序號(hào)中的條件即可.【詳解】設(shè)為“”，為“”，為“”，為“，，成等比數(shù)列”，由于，，成等比數(shù)列，故，，，若（，，），則是的必要條件，對(duì)于①，由等比中項(xiàng)的定義，“，，成等比數(shù)列”“”，∴“”是“，，成等比數(shù)列”的必要條件，故①正確；對(duì)于②，令，，，則，，成等比數(shù)列，此時(shí)“，，成等比數(shù)列”“”，∴“”不是“，，成等比數(shù)列”的必要條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由等比數(shù)列的定義，“，，成等比數(shù)列”，∴“，，成等比數(shù)列”“”，∴“”是“，，成等比數(shù)列”的必要條件，故③正確.綜上所述，“，，成等比數(shù)列”的必要條件的序號(hào)為：①③.故答案為：①③.9.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，則公比__________.【答案】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的知識(shí)求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于是正項(xiàng)等比數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，所以且，解得（負(fù)根舍去），所以.故答案為：10.已知是2和4的等差中項(xiàng)，正數(shù)是和的等比中項(xiàng)，則等于__________.【答案】12【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)以及等比中項(xiàng)的概念求得，即可得答案.【詳解】因?yàn)槭?和4的等差中項(xiàng)，故，正數(shù)是和的等比中項(xiàng)，故，所以，故答案為：1211.已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知得出，，即可根據(jù)等比中項(xiàng)結(jié)合已知列出式子，求解得出答案.【詳解】數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，，即，解得，故選：C.12.已知等差數(shù)列前3項(xiàng)和，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差．【答案】或【分析】由，可求出，再由等比數(shù)列可建立關(guān)系式，求出【詳解】由，可知，即，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或，故答案為：或2利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算13.已知等比數(shù)列中，，，則的值是．【答案】/【分析】在等比數(shù)列中，若，則.利用該性質(zhì)可解決這個(gè)問題.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以：，∴.故答案為：14.已知數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則（

）A．5 B． C． D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用各項(xiàng)均為正數(shù)即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以可化為，即，又因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，故選：.15.已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為___________.【答案】【分析】利用等比數(shù)列得性質(zhì)得出，再將所求式子通分代入即可求得.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，故答案為：1016.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則（

）A．8 B．9 C．16 D．18【答案】B【分析】由韋達(dá)定理可得，則由等比數(shù)列性質(zhì)可得，后由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得答案.【詳解】由題意及韋達(dá)定理可得，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，故.故選：B17.等比數(shù)列滿足：，則的最小值為．【答案】【分析】先求得，然后利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，等比數(shù)列滿足：，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).所以的最小值為.故答案為：18.在9與1之間插入5個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的5個(gè)數(shù)的乘積為______________.【答案】.【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)這7個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列為{an}，則，所以，故插入的5個(gè)數(shù)的積為.故答案為：.等比數(shù)列的單調(diào)性和最值19.已知是公比為q的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合等比數(shù)列的定義分析判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，數(shù)列不一定為遞增數(shù)列，如數(shù)列，公比，而此數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，，則或，所以當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，成立，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B.20.數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由，解得或，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解得到答案.【詳解】由已知，解得或，，此時(shí)數(shù)列不一定是遞減數(shù)列，所以是“數(shù)列遞減”的非充分條件；若數(shù)列為遞減數(shù)列，可得或，所以，所以是“數(shù)列遞減”的必要條件.所以“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.21.在等比數(shù)列中，，，且，則.【答案】64【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)合題設(shè)求得，繼而求出，再利用，即可求得答案.【詳解】等比數(shù)列中，，故，結(jié)合，以及可得，設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，故，故答案為：6422.設(shè)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為（

）A．32 B．16 C．128 D．64【答案】D【分析】結(jié)合已知條件，求出的通項(xiàng)公式，然后求解當(dāng)時(shí)的范圍，進(jìn)而可得到答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，，所以，從而，故，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，故.故選：D.23.試寫出一個(gè)無窮等比數(shù)列，同時(shí)滿足①；②數(shù)列單調(diào)遞減；③數(shù)列不具有單調(diào)性，則當(dāng)時(shí)，__________.【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)，根據(jù)得到和q的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)列單調(diào)遞減和數(shù)列不具有單調(diào)性判斷q的范圍，取一個(gè)符合條件的q值，求出對(duì)應(yīng)的即可得到答案．【詳解】設(shè)，由得，，∵數(shù)列不具有單調(diào)性，∴，又∵數(shù)列單調(diào)遞減，故，綜上，，不妨取，則．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．故答案為：．24.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，，則的取值范圍為【答案】【分析】依題意可得，根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)得到，則，再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，，，，即，故，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，，所以，所以，則；故答案為：．考點(diǎn)三、等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用25.已知等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且，．求．【答案】210【分析】根據(jù)成等比數(shù)列，列出方程，求出.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中，前項(xiàng)和為，易知公比不是1所以成等比數(shù)列，即，解得：.26.已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則______.【答案】600【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和性質(zhì)得到，求出，然后用等比數(shù)列片段和性質(zhì)得到即可求解【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，，成等比數(shù)列，因?yàn)椋?，所以，解得或，因?yàn)?，所以，則，由，，成等比數(shù)列，可得即，解得，故答案為：60027.已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則___________.【答案】##【分析】利用等比數(shù)列片段和性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，則所求式子為.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)結(jié)合題中數(shù)據(jù)知：，，成等比數(shù)列，，即，解得：，.故答案為：.28.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為______.【答案】91【分析】方法一：利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解；方法二：利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式，代入計(jì)算即可求解.【詳解】方法一：等比數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴.方法二：設(shè)公比為，由題意顯然且,所以，∴，故答案為：.29.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是.已知,，則.【答案】13【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列的前項(xiàng)和且，所以，，也成等比數(shù)列，則.因?yàn)?，所以，解得.所以.故答案為：.30.設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則.【答案】【分析】設(shè)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出即得解.【詳解】解：設(shè)，所以因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，因?yàn)閿?shù)列的公比為2，所以，所以.所以.故答案為：31.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則．【答案】4【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)結(jié)合題意直接求解【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和，，，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等比數(shù)列，所以．故答案為：4等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)32.已知等比數(shù)列的公比，且，則___________.【答案】120【分析】在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則，結(jié)合所求，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為，則，所以.故答案為：12033.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可求得的值.【詳解】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)?，可得，因此?故選：C.34.已知正項(xiàng)等比數(shù)列共有項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的倍，則公比______.【答案】【分析】利用以及已知條件可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則，由，得，因?yàn)?，所以，所以?故答案為：.35.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則的值為______．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)中，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則，所以，，又，則，因此，.故答案為：.36.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可求得的值.【詳解】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)?，可得，因此?故選：C.等比數(shù)列前n項(xiàng)和其他性質(zhì)37.已知為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式可得與，進(jìn)而可得、取值同號(hào)，即可判斷A、B；舉例首項(xiàng)和公比的值即可判斷C；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得，進(jìn)而得到，求出，即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，則、取值同號(hào)，若，則不是遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B：由，得，即，則、取值同號(hào)，若，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C：若等比數(shù)列，公比，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，但，故C錯(cuò)誤；D：由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，所以，即，所以，故D正確.故選：D38.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．

C．的最大值為

D．的最大值為【答案】B【分析】根據(jù)，，分，，討論確定q的范圍，然后再逐項(xiàng)判斷.【詳解】若，因?yàn)?，所以，則與矛盾，若，因?yàn)?，所以，則，與矛盾，所以，故B正確；因?yàn)?，則，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，所以的最大值為，故D錯(cuò)誤；故選：B.39.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數(shù)列中的最大項(xiàng)【答案】A【分析】根據(jù)并結(jié)合，得到，，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以或，而為等比?shù)列，，于是，，則A錯(cuò)誤；，則B正確；，則C正確；因?yàn)?，所以是?shù)列中的最大項(xiàng)，則D正確.故選：A.40.若等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且，則下列正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義以及可得且，即AB均錯(cuò)誤，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)可知無最大值，由前項(xiàng)積定義解不等式可知的最大值為.【詳解】由可知公比，所以A錯(cuò)誤；又，且可得，即B錯(cuò)誤；由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可知，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，即無最大值，所以C錯(cuò)誤；設(shè)為數(shù)列前項(xiàng)積的最大值，則需滿足，可得，又可得，即的最大值為，所以D正確.故選：D考點(diǎn)四、等比數(shù)列的證明41.已知數(shù)列滿足，設(shè).(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由;(2)求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)是等比數(shù)列，理由見解析(2)【分析】（1）整理得，即可證明；（2）首先求出，則得到.【詳解】（1）由題知:即:，又，是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）知:，.42.在數(shù)列和中，，且是和的等差中項(xiàng).(1)設(shè)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若的前n項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由等差中項(xiàng)整理得，兩邊同時(shí)除以，得即可證明；（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）依題是和的等差中項(xiàng)，則，即，兩邊同時(shí)除以，得，即，則，由，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，則，則，則，因?yàn)椋瑒t，故.43.數(shù)列中，，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知等式變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可求得.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）可知，，所以，又由題知.44.已的數(shù)列的首項(xiàng)，，．(1)求證：數(shù)列等比數(shù)列；(2)記，若，求的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義即可證明；（2）根據(jù)題意，由（1）中的結(jié)論即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式代入計(jì)算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)閿?shù)列滿足，即整理得，又所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即所以由可得，，即因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且滿足故滿足條件的最大值為45.已知數(shù)列滿足，(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求和：【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合遞推公式，即可證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求，再利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，最后利用分組轉(zhuǎn)化和等比數(shù)列求和公式求和.【詳解】（1），且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，所以，，得，，.考點(diǎn)五、等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系46.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式__________.【答案】【分析】求出首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)求得，驗(yàn)證首項(xiàng)后，即可確定答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而不適合上式，故的通項(xiàng)公式為.故答案為：.47.若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則__________．【答案】【分析】由求出，結(jié)合等比數(shù)列求得值．【詳解】由題意時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又是等比數(shù)列，所以，解得．故答案為：．48.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.【答案】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式，得，即可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，按照等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，即可得的值.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以，即，所以.故答案為：.49.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【分析】先根據(jù)可求得，然后求出首項(xiàng)即可寫出通項(xiàng)公式.【詳解】解：由題意得：則當(dāng)時(shí)，于是又當(dāng)時(shí)，故數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列所以故答案為：考點(diǎn)六、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用50.《莊子·天下》中講到：“三尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這其實(shí)是一個(gè)以為公比的等比數(shù)列問題．有一個(gè)類似的問題如下：有一根一米長(zhǎng)的木頭，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，則到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來的（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意歸納得出第截去，再計(jì)算第n天后共截去原來的，故可得第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來的比值.【詳解】解：由題可知第一天長(zhǎng)，第二天截去，第三天截去，第四天截去，依次可得：第n天截去：，故第n天后共截去，所以到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來的.故選：B.51.朱載堉（1536~1611），是中國(guó)明代一位杰出的音樂家?數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍.設(shè)前三個(gè)音的頻率總和為，前六個(gè)音的頻率總和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將每個(gè)音的頻率看作等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的知識(shí)即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知一個(gè)八度13個(gè)音，且相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，設(shè)第一個(gè)音的頻率為，相鄰的兩個(gè)音之間的頻率之比為，則可以將每個(gè)音的頻率看作等比數(shù)列，共13項(xiàng)，且，因?yàn)樽詈笠粋€(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍，所以，即，所以，所以，，所以，故選：A52.我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”描述的問題是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則（

）天后兩鼠相遇.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意得等比數(shù)列的前項(xiàng)和列不等式，然后再由，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判斷得出答案.【詳解】設(shè)天后能打穿，則，化簡(jiǎn)為，令，則，又由函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以至少需要天.故選：C.53.某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計(jì)劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．3937萬元 B．3837萬元C．3737萬元 D．3637萬元【答案】A【分析】根據(jù)配湊法、分組求和法求得正確答案.【詳解】設(shè)，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以則（萬元）.故選：A54.2018年，某地區(qū)甲、乙兩個(gè)林場(chǎng)森林木材的存量分別為16a和25a，甲林場(chǎng)木材存量每年比上一年遞增，而乙林場(chǎng)木材存量每年比上一年遞減.(1)經(jīng)過幾年兩林場(chǎng)木材的總存量相等?(2)兩林場(chǎng)木材的總量到2022年能否翻一番？并說明理由.【答案】(1)2(2)不能，理由見解析.【分析】（1）由題意可得甲、乙兩林場(chǎng)每年的森林木材存量均成等比數(shù)列，且公比分別為和，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解即可；（2）令，可求出2022年的兩林場(chǎng)木材的總量，然后比較即可.【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過年兩林場(chǎng)木材的總存量相等，則，，得解得，所以經(jīng)過兩年兩林場(chǎng)木材的總存量相等；（2）令，則2022年的兩林場(chǎng)木材的總量為，因?yàn)樗詢闪謭?chǎng)木材的總量到2022年不能翻一番.過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，進(jìn)而可得出，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，故.故選：C.2．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，是方程兩根，所以，即，在等比?shù)列中，，又，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.3．（2023上·甘肅隴南·高二?？计谀﹥蓚€(gè)正數(shù)、的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等式組，解出、的值，可得出的值，由此可得出該橢圓的離心率的值.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)正數(shù)、的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，且，則，解得，所以，故.故選：C.4．（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則“”是“存在滿足”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由題意可知，根據(jù)不等式的性質(zhì)依次證明充分、必要條件成立，即可求解.【詳解】由題意知，，則.當(dāng)時(shí)，存在使得，則，即，所以充分條件成立；當(dāng)時(shí)，即，若，則，q無實(shí)數(shù)解，不符合題意，若，則，解得，所以必要條件成立，所以“”是“存在滿足”的充要條件.故選：C5．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本公式，求公比，再根據(jù)首項(xiàng)求通項(xiàng)公式.【詳解】由，可知，則，化為，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所?故選：B6．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件求出、的值，可得出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，所以，，因?yàn)?，可得，所以，，所以，，所以，，即?shù)列為等差數(shù)列，所以，，所以，，因此，.故選：B.7．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比．若是數(shù)列的前n項(xiàng)積，則取得最大值時(shí)n的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先求出的通項(xiàng)公式，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求得取得最值時(shí)的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，公比，所以，所以，當(dāng)時(shí)，最大，即，解得：，所以當(dāng)時(shí)，最大.故選：B.8．（2023上·新疆伊犁·高二?？计谀┲袊?guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣的一個(gè)問題“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”，其大意為：有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，問此人前4天共走了（

）A．189里 B．288里 C．336里 D．360里【答案】D【分析】記每天走的路程里數(shù)為，是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解.【詳解】記第天走的路程里數(shù)為，前項(xiàng)和為，由題意知是等比數(shù)列，且公比為，，解得，，故選：D.9．（2023上·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足:，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得基本量，進(jìn)而求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，由，得，則，即，則，即，解得或（舍去），又由得，即，所以，又，所以=，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C.10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求出，，由題意可得恒成立，運(yùn)用基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，解得，所以，所以，因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，即恒成立，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：.二、多選題11．（2023下·山東東營(yíng)·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，滿足下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)的和【答案】BC【分析】計(jì)算數(shù)列前三項(xiàng)可判斷A；利用，構(gòu)造等比數(shù)列，可判斷B，C；結(jié)合C的結(jié)果以及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可判斷D.【詳解】由題意數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則，則，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；由得，，否則與矛盾，則，則數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；由B分析知數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則，所以，C正確；數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，D錯(cuò)誤.故選：BC12．（2023上·廣東深圳·高三深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？茧A段練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．是數(shù)列中的最小值【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，且有，可得，可得，此時(shí)，與題干不符，不合乎題意；故，故A正確；對(duì)任意的，，且有，可得，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得，，故，，∴，故B正確；因?yàn)?，?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以是數(shù)列中的最大值，故CD錯(cuò)誤.故選：AB.13．（2023上·湖南衡陽(yáng)·高二校考期末）已知等比數(shù)列公比為q，前n項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A． B．C．，，成等比數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)得到A正確，根據(jù)等比數(shù)列公式計(jì)算得到BD正確，計(jì)算，C錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，即，則，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，所以，即，，不成等比數(shù)列，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，正確；故選：ABD14．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列命題正確的是（

）A．若為等差數(shù)列，則仍為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則仍為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列D．若為等比數(shù)列，則為等差數(shù)列【答案】AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，同理可得，所以，所以仍為等差數(shù)列，故A項(xiàng)正確；取數(shù)列為，當(dāng)為0時(shí)，不能成等比數(shù)列，故B項(xiàng)不正確；設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，于是，所以為等差數(shù)列，故C項(xiàng)正確；若，則無意義，此時(shí)為等差數(shù)列是不正確的，故D項(xiàng)不正確.故選：AC15．（2023上·安