湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際共同體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

202320241麓山共同體高二12月學(xué)情檢測(cè)試卷高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷命題人：易暢審題人：張景鑫總分：150分時(shí)量：120分鐘一?單項(xiàng)選擇題（共8個(gè)小題，每題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先將直線方程化為斜截式，即可求出斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.【詳解】直線的方程為，即，所以直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故選：B.2.已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5的值為（）A.10 B.15 C.20 D.40【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出a6+a5=22即得解.【詳解】解：在等差數(shù)列{an}中，由題得a3+a8=a6+a5=22，又a6=7，所以a5=15.故選：B3.用這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.18 B.24 C.30 D.48【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，首位數(shù)字有4種選擇，則中間的數(shù)位有4種選擇，末尾數(shù)字有3種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).故選:.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是（）A.3 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，等價(jià)為在上恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，等價(jià)為在上恒成立，即在上恒成立，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，故，則的最大值是3.故選：A.5.已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，直線斜率為，根據(jù)，即點(diǎn)為中點(diǎn)，由，利用點(diǎn)差法求解.【詳解】設(shè)，直線斜率為，則有，①②得，因?yàn)?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，則，，即，所以直線的方程為，整理得故選：D6.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A.7.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系式得到通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，則.故選：B8.已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合橢圓的定義，在中利用勾股定理求得，中利用勾股定理求得，可求橢圓C的離心率.【詳解】連接，設(shè)，則，，，在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題（共4個(gè)小題，每題5分，共20分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選得0分）9.下列說法正確的是（）A.點(diǎn)到直線的距離為B.若兩直線平行，則它們的斜率一定相等C.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4D.經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】AC【解析】【分析】計(jì)算點(diǎn)到直線距離驗(yàn)證A選項(xiàng)；直線斜率可能不存在判斷B選項(xiàng)；計(jì)算直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積驗(yàn)證C選項(xiàng)；在軸和軸上截距都相等的直線分過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況，計(jì)算后驗(yàn)證D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)到直線的距離為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，當(dāng)兩條平行直線與軸垂直時(shí)，直線的斜率不存在，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則；令，則；則直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為和，與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，直線過原點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為，直線不過原點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程的斜率為，則直線方程為，即，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線C上一點(diǎn)P作的垂線，垂足為Q，則下列說法正確的是（）A.準(zhǔn)線l的方程為B.若過焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于兩點(diǎn)，且，則C.若，則的最小值為3D.延長(zhǎng)交拋物線C于點(diǎn)M，若，則【答案】ACD【解析】【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離之和的最小值等.【詳解】因?yàn)閽佄锞€C的方程為，所以，所以準(zhǔn)線l的方程為，A正確；由題意可知焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，B錯(cuò)誤；由拋物線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F與到準(zhǔn)線的距離相等可知，所以當(dāng)Q，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即為點(diǎn)E到準(zhǔn)線的距離，所以最小值為3，C正確；如圖所示，不妨設(shè)P在第一象限，過P作軸于點(diǎn)H，過M作軸于點(diǎn)N，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為G，則，，易知，則有，即，解得，則，D正確，故選：ACD.11.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意可知，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，A正確.，，C正確.，.D選項(xiàng)正確.故選：ACD12.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.不等式的解集為B.函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增C.函數(shù)在定義域上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D.若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】解分式不等式驗(yàn)證選項(xiàng)A；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間驗(yàn)證選項(xiàng)B；解方程得函數(shù)的零點(diǎn)驗(yàn)證選項(xiàng)C；通過函數(shù)值域求實(shí)數(shù)的取值范圍驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，由，得，因?yàn)?，所以，解得，所以不等式的解集為，所以A正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)椋?，得，令，得或，令，得或，所以在和上遞增，在和上遞減，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，得，所以在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B可知在和上遞增，在和上遞減，因，且當(dāng)從1的左側(cè)趨近于1時(shí)，，當(dāng)從1的右側(cè)趨近于1時(shí)，，所以的值域?yàn)?，所以若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，所以D錯(cuò)誤.故選：AC三?填空題（共4個(gè)小題，每題5分，共20分）13.已知空間向量，，且與是共線向量，則實(shí)數(shù)x的值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線得到，列出方程組，求出答案.【詳解】設(shè)，則，解得：.故答案為：614.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則_______．【答案】19【解析】【分析】由各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，解得，再由，能求出結(jié)果．【詳解】解：各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，，解得，．故答案為：19．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)值的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且，則的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，設(shè)，利用三角換元求出的最大值即可.【詳解】設(shè)橢圓，雙曲線，且設(shè)，由橢圓的定義得①，由雙曲線的定義得②，得，，得，，由余弦定理可得，所以③，設(shè)，所以，當(dāng)即時(shí)，取最大值為.故答案為：.16.若函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，分類討論3是否為極值點(diǎn)，結(jié)合的圖像性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，所以若3是極值點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，所以；當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于1，趨向于0，則趨向于正無窮，當(dāng)趨向正無窮時(shí)，趨向正無窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于趨向正無窮的速率，則趨向于正無窮，若3不是極值點(diǎn)，則3是即的一個(gè)根，且存在另一個(gè)根，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，令，解得；令，解得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿足題意，綜上：或，即故答案為：.四?解答題（本大題共6小題，共70.0分.第17題10分，其余各題各12分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知圓半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）求直線：與圓相交的弦長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心坐標(biāo)，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)相交弦、弦心距、半徑之間的幾何關(guān)系求弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）令圓心為且，∴由圓與相切，有，即可得.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知：，，∴到直線的距離為，∴直線與圓相交的弦長(zhǎng)為.18.已知函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可構(gòu)造方程求得的值，結(jié)合可求得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)值和極值可求得在區(qū)間上取值情況，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】∵，∴，解得：，∴，則，∴在點(diǎn)處的切線方程為：，即．【小問2詳解】由（1）知：，則，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，∴，，由，有，即函數(shù)與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，則有實(shí)數(shù)m的取值范圍為．19.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，平面．（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）連接，可得四邊形是平行四邊形，或，從而，可證得平面；（2）取中點(diǎn)，連接，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，由二面角的余弦值為可得的值，可得的長(zhǎng)．【小問1詳解】方法一：連接，由已知得，，且，所以四邊形是平行四邊形，即，又平面平面，所以平面．方法二：連接，由已知得，且，，即，又平面平面所以平面【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，由題易得是正三角形，所以，即，由于平面，分別以為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)平面的法向量，則，即，可取，又平面的法向量為，所以，解得：，由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線段上，所以，即．故上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為．20.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.【答案】（1）證明見解析，（2），證明見解析【解析】【分析】（1）由，有，可得數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由和的關(guān)系得數(shù)列的遞推公式，累加法求出的通項(xiàng)，得數(shù)列的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求，并確定范圍.【小問1詳解】由，可得，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則有，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由，有，即，則當(dāng)時(shí)，有：，時(shí)也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為得，則①，②，②①得：，解得，由，，所以，又所以遞增，所以，因此，.21.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓：，短軸長(zhǎng)為，橢圓左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)都在軸上方，且．證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）利用已知和的關(guān)系，列方程組可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)，可得直線所過定點(diǎn)．【詳解】（1）由得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)分布在軸兩側(cè)，不合題意.所以直線斜率存在，設(shè)直線的方程為.設(shè)、，由得，所以，.因?yàn)椋?，即，整理得化?jiǎn)得，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).22.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）若不等式在上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明不等式：.【答案】（1）極小值，無極大值（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，借助的正負(fù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求出的極值；（2）不等式上恒成立，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后分離參數(shù)得，設(shè)，求即可.（3）由（2）知在上恒成立，令，則有，然后借助不等式同向可加性及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求證.【小問1詳解】由可得，此時(shí)單調(diào)遞