北京市西城區(qū)第五十六中學2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測模擬試題含解析

北京市西城區(qū)第五十六中學2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)，則（）A．0 B．8 C．4 D．62．下列關于曲線的結論正確的是（）A．曲線是橢圓 B．關于直線成軸對稱C．關于原點成中心對稱 D．曲線所圍成的封閉圖形面積小于43．已知某超市為顧客提供四種結賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中的三種結賬方式，那么他們結賬方式的可能情況有（）種A．19 B．7 C．26 D．124．設為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則A．1 B． C．2 D．5．已知隨機變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為（）ξ1234PmnA． B． C． D．6．已知滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．3 D．-37．已知，則()A．11 B．12 C．13 D．148．小明同學在做市場調(diào)查時得到如下樣本數(shù)據(jù)13610842他由此得到回歸直線的方程為，則下列說法正確的是()①變量與線性負相關②當時可以估計③④變量與之間是函數(shù)關系A．① B．①② C．①②③ D．①②③④9．若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域為{y|0<y≤1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()A． B． C． D．10．對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心設函數(shù)，則A．2016 B．2017 C．2018 D．201911．已知高為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，若二面角的正切值為4，則（）A． B． C． D．12．設a，b均為正實數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，則____________．14．周長為的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為_______.15．人并排站成一行，其中甲、乙兩人必須相鄰，那么不同的排法有__________種.（用數(shù)學作答）16．若,則在的展開式中,項的系數(shù)為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）我校食堂管理人員為了解學生在校月消費情況，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查.如圖是根據(jù)調(diào)査的結果繪制的學生在校月消費金額的頻率分布直方圖.已知，，金額段的學生人數(shù)成等差數(shù)列，將月消費金額不低于550元的學生稱為“高消費群”.（1）求m，n值，并求這100名學生月消費金額的樣本平均數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為“高消費群”與性別有關？高消費群非高消費群合計男女1050合計附：，其中0.100.050.0100.005K02.7063.8416.6357.87918．（12分）設函數(shù)，．(1)解不等式；(2)設函數(shù)，且在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）我市物價監(jiān)督部門為調(diào)研某公司新開發(fā)上市的一種產(chǎn)品銷售價格的合理性，對該公司的產(chǎn)品的銷售與價格進行了統(tǒng)計分析，得到如下數(shù)據(jù)和散點圖：定價（元/）102030405060年銷售11506434242621658614.112.912.111.110.28.9圖（1）為散點圖，圖（2）為散點圖.（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷與，與哪一對具有較強的線性相關性（不必證明）；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結果和參考數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程（線性回歸方程中的斜率和截距均保留兩位有效數(shù)字）；（Ⅲ）定價為多少時，年銷售額的預報值最大？（注：年銷售額定價年銷售）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，參考公式：，.20．（12分）設函數(shù)．（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對于任意，都有，求m的取值范圍．21．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.22．（10分）被嘉定著名學者錢大昕贊譽為“國朝算學第一”的清朝數(shù)學家梅文鼎曾創(chuàng)造出一類“方燈體”，“燈者立方去其八角也”，如圖所示，在棱長為的正方體中，點為棱上的四等分點.（1）求該方燈體的體積；（2）求直線和的所成角；（3）求直線和平面的所成角．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)解析式可求得，結合函數(shù)奇偶性可得到，從而得到結果.【題目詳解】由題意得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應用，關鍵是能夠根據(jù)解析式確定為定值，從而求得結果.2、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的方程判斷曲線不是橢圓；把曲線中的，同時換成，，判斷曲線是否關于直線對稱；把曲線中的，同時換成，，判斷曲線是否關于原點對稱；根據(jù)，，判斷曲線所圍成的封閉面積是否小于1．【題目詳解】曲線，不是橢圓方程，曲線不是橢圓，錯誤；把曲線中的，同時換成，，方程變?yōu)?，曲線不關于直線對稱，錯誤；把曲線中的，同時換成，，方程不變，曲線關于原點對稱，正確；，，曲線所圍成的封閉面積小于，令，所以曲線上的四點圍成的矩形面積為，所以選項D錯誤.故選：．【題目點撥】本題主要考查了方程所表示的曲線以及曲線的對稱性問題，解題時應結合圓錐曲線的定義域性質(zhì)進行解答，是基礎題．3、C【解題分析】

由題意，根據(jù)甲丙丁的支付方式進行分類，根據(jù)分類計數(shù)原理即可求出．【題目詳解】顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，

①當甲丙丁顧客都不選微信時，則甲有2種選擇，當甲選擇現(xiàn)金時，其余2人種，

當甲選擇支付寶時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有，故有2+5=7種，

②當甲丙丁顧客都不選支付寶時，則甲有2種選擇，當甲選擇現(xiàn)金時，其余2人種，

當甲選擇微信時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有，故有2+5=7種，

③當甲丙丁顧客都不選銀聯(lián)卡時，若有人使用現(xiàn)金，則,若沒有人使用現(xiàn)金，則有種，故有6+6=12種，根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有7+7+6+6=26種，

故選C．【題目點撥】本題考查了分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.4、B【解題分析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，再由復數(shù)的模的計算公式求解即可．【題目詳解】由，得，，故選．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算以及復數(shù)的模的計算．5、A【解題分析】

根據(jù)隨機變量和的關系得到，概率和為1，聯(lián)立方程組解得答案.【題目詳解】且，則即解得故答案選A【題目點撥】本題考查了隨機變量的數(shù)學期望和概率，根據(jù)隨機變量和的關系得到是解題的關鍵.6、B【解題分析】

畫出可行域，通過截距式可求得最大值.【題目詳解】作出可行域，求得，，,通過截距式可知在點C取得最大值，于是.【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃問題，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和作圖能力.目標函數(shù)主要有三種類型：“截距型”，“斜率型”，“距離型”，通過幾何意義可得結果.7、B【解題分析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合題意,舍去)；∴n的值為12.故選：B.8、C【解題分析】

根據(jù)數(shù)據(jù)和回歸方程對每一個選項逐一判斷得到答案.【題目詳解】①變量與線性負相關,正確②將代入回歸方程，得到，正確③將代入回歸方程，解得，正確④變量與之間是相關關系，不是函數(shù)關系，錯誤答案為C【題目點撥】本題考查了回歸方程的相關知識，其中中心點一定在回歸方程上是同學容易遺忘的知識點.9、A【解題分析】由函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域為{y|0<y≤1}，得0<a<1.y＝loga|x|在上為單調(diào)遞減，排除B,C,D又因為y＝loga|x|為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于y軸對稱，故A正確.故選A.10、C【解題分析】分析：對已知函數(shù)求兩次導數(shù)可得圖象關于點對稱，即，利用倒序相加法即可得到結論.詳解：函數(shù)，函數(shù)的導數(shù)，，由得，解得，而，故函數(shù)關于點對稱，，故設，則，兩式相加得，則，故選C.點睛：本題主要考查初等函數(shù)的求導公式，正確理解“拐點”并利用“拐點”求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關鍵，求和的過程中使用了倒序相加法，屬于難題.11、D【解題分析】

過作平面于，為中點，連接.證明面角的平面角為,計算得到,通過勾股定理計算得到答案.【題目詳解】如圖：正三棱錐，過作平面于，為中點，連接.易知：為中點二面角的平面角為正切值為4在中，根據(jù)勾股定理：故答案選D【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.12、A【解題分析】

確定兩個命題和的真假可得．【題目詳解】∵a，b均為正實數(shù)，若，則，命題為真；若，滿足，但，故為假命題．因此“”是“”的充分不必要條件．故選：A.【題目點撥】本題考查充分必要條件的判斷．解題時必須根據(jù)定義確定命題和的真假．也可與集合包含關系聯(lián)系．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解題分析】

通過，的齊次式，求得的值；再利用兩角和差的正切公式求解.【題目詳解】又解得：本題正確結果：【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)關系以及兩角和差公式的應用，屬于基礎題.14、【解題分析】

設矩形的一邊長為,則另一邊長為,,再利用圓柱的體積公式求得體積的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.【題目詳解】設矩形的一邊長為,則另一邊長為,,則圓柱的體積==,當且僅當,即時等號成立.故答案為:.【題目點撥】本題考查了圓柱的體積公式和基本不等式,屬中檔題.15、240【解題分析】分析：甲、乙兩人必須相鄰，利用捆綁法與其余的人全排即可.詳解：甲乙相鄰全排列種排法，利用捆綁法與其余的人全排有種排法，共有，故答案為.點睛：常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).16、【解題分析】分析：由定積分求得，寫出二項展開式的通項為，進而可求解的系數(shù).詳解：由，所以二項式為，則二項式的展開式的通項為，當時，，即的系數(shù)為.點睛：本題主要考查了定積分的計算和二項式定理的應用，其中熟記微積分基本定理和二項展開式的通項的合理運用是解答的關鍵，著重考查了推理和運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）沒有90%的把握【解題分析】分析：（1）由題意知且，得，用每個矩形的中點值乘以面積求和可得平均值；（2）由題知數(shù)據(jù)完善2×2列聯(lián)表，計算，查表下結論即可.詳解：（1）由題意知且解得所求平均數(shù)為：(元)（2）根據(jù)頻率分布直方圖得到如下2×2列聯(lián)表：高消費群非高消費群合計男153550女104050合計2575100根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得所以沒有90%的把握認為“高消費群”與性別有關．點睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查獨立性檢驗，意在考查學生對統(tǒng)計概率的基礎知識的掌握情況.（2）頻率分布直方圖中，一般利用平均數(shù)的公式計算.其中代表第個矩形的橫邊的中點對應的數(shù)，代表第個矩形的面積.18、（1）；（2）【解題分析】試題分析：本小題主要考查不等式的相關知識，具體涉及到絕對值不等式及不等式證明以及解法等內(nèi)容.(1)利用數(shù)軸分段法求解；（2）借助數(shù)形結合思想，畫出兩個函數(shù)的圖像，通過圖像的上下位置的比較，探求在上恒成立時實數(shù)的取值范圍.試題解析：(1)由條件知，由，解得.(5分)(2)由得，由函數(shù)的圖像可知的取值范圍是.(10分)考點：（1）絕對值不等式；（2）不等式證明以及解法；（3）函數(shù)的圖像.19、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)定價為20元/時，年銷售額的預報值最大.【解題分析】分析：（Ⅰ）由于圖（2）的點更集中在一條直線附近，所以與具有的線性相關性較強.（Ⅱ）利用最小二乘法求關于的回歸方程為.（Ⅲ）先得到，，再利用導數(shù)求定價為多少時年銷售額的預報值最大.詳解：（Ⅰ）由散點圖知，與具有的線性相關性較強.（Ⅱ）由條件，得，，所以，又，得，故關于的回歸方程為.（Ⅲ）設年銷售額為元，令，，，令，得；令，得，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在取得最大值，因此，定價為20元/時，年銷售額的預報值最大.點睛：（1）本題主要考查兩個變量的相關性和最小二乘法求回歸直線方程，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值.(2)本題的難點在第3問，這里要用到導數(shù)的知識先求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求最大值.20、（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）.【解題分析】（Ⅰ）．若，則當時，，；當時，，．若，則當時，，；當時，，．所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是：即①，設函數(shù)，則．當時，；當時，．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，故當時，．當時，，，即①式成立．當時，由的單調(diào)性，，即；當時，，即．綜上，的取值范圍是．考點：導數(shù)的綜合應用．21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；(2)建立空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關系可得線面角的余弦值.【題目詳解】(1)如圖所示，連結，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結合?平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點E為坐標原點，