2024屆福建廈門灌口中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆福建廈門灌口中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知袋中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中紅球2個，白球3個，現(xiàn)從中任取1球，記下顏色后放回，連續(xù)摸取3次，設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù)，則PA．425 B．36125 C．92．若，則=（）A．-1 B．1 C．2 D．03．從甲、乙、丙、丁四人中選取兩人參加某項活動，則甲、乙兩人有且僅有一人入選的概率為（）A． B． C． D．4．已知點在拋物線上，且為第一象限的點，過作軸的垂線，垂足為，為該拋物線的焦點，，則直線的斜率為（）A． B． C．-1 D．-25．若函數(shù)為奇函數(shù)，則A． B． C． D．6．已知集合，，下列結(jié)論成立的是A． B． C． D．7．對于函數(shù)，有下列結(jié)論：①在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③的圖象關(guān)于直線對稱；④的圖象關(guān)于點對稱．其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④8．函數(shù)向右平移個單位后得到函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．給出下列四個命題：①回歸直線過樣本點中心（，）②將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，平均值不變③將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變④在回歸方程＝4x+4中，變量x每增加一個單位時，y平均增加4個單位其中錯誤命題的序號是（）A．① B．② C．③ D．④10．已知展開式中項的系數(shù)為，其中，則此二項式展開式中各項系數(shù)之和是（）A． B．或 C． D．或11．《高中數(shù)學(xué)課程標準》(2017版)規(guī)定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達圖(如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu))，則下面敘述正確的是（）(注:雷達圖(RadarChart)，又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖(SpiderChart)，可用于對研究對象的多維分析)A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲12．若隨機變量的分布列為（）且，則隨機變量的方差等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線與直線，所圍成的封閉圖形的面積為6，則____．14．二項式的展開式的常數(shù)項為________(用數(shù)字作答).15．己知關(guān)于的不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______.16．命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，多面體中，兩兩垂直，且，，，.(Ⅰ)若點在線段上，且，求證:平面；(Ⅱ)求直線與平面所成的角的正弦值；(Ⅲ)求銳二面角的余弦值.18．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的范圍.19．（12分）為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查．已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：超過1小時不超過1小時男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)？（3）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機調(diào)查6名學(xué)生，試估計6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．（12分）已知數(shù)列滿足其中.（Ⅰ）寫出數(shù)列的前6項；（Ⅱ）猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.21．（12分）設(shè)實部為正數(shù)的復(fù)數(shù)，滿足,且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一、三象限的角平分線上.(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)的值.22．（10分）已知橢圓過點，且離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）為橢圓的左、右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：恒為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先根據(jù)題意得出隨機變量ξ~B3,25【題目詳解】由題意知，ξ~B3,15故選：B?！绢}目點撥】本題考查二項分布概率的計算，關(guān)鍵是要弄清楚隨機變量所服從的分布，同時也要理解獨立重復(fù)試驗概率的計算公式，著重考查了推理與運算能力，屬于中等題。2、A【解題分析】

將代入，可以求得各項系數(shù)之和；將代入，可求得，兩次結(jié)果相減即可求出答案.【題目詳解】將代入，得，即，將代入，得，即，所以故選A.【題目點撥】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，若二項式展開式為，則常數(shù)項，各項系數(shù)之和為，奇數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為.3、B【解題分析】

算出總的個數(shù)和滿足所求事件的個數(shù)即可【題目詳解】從甲、乙、丙、丁四人中選取兩人參加某項活動，總共有種情況其中滿足甲乙兩人僅有一人入選的有種情況所以甲、乙兩人有且僅有一人入選的概率為故選：B【題目點撥】本題考查了古典概型的求法，組合問題的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4、B【解題分析】

設(shè)，由，利用拋物線定義求得，進而得進而即可求解【題目詳解】設(shè)，因為，所以，解得，代入拋物線方程得，所以，，，從而直線的斜率為.故選：B【題目點撥】本題考查拋物線的性質(zhì)及定義，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】分析：運用奇函數(shù)的定義，可得，再計算即可詳解：函數(shù)為奇函數(shù)，故選點睛：本題主要考查的是奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵6、D【解題分析】由已知得，，則，故選D.7、C【解題分析】

將原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來，分析其符號即可得出原函數(shù)的單調(diào)性，又，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【題目詳解】由得令得當時，，原函數(shù)為增函數(shù)當時，，原函數(shù)為減函數(shù)，故②正確因為所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故③正確故選：C【題目點撥】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.8、D【解題分析】

首先求函數(shù)，再求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，區(qū)間是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集，建立不等關(guān)系求的取值范圍.【題目詳解】,令解得，若在上單調(diào)遞增，,解得：時，.故選D.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和平移變換，屬于中檔題型.9、B【解題分析】

由回歸直線都過樣本中心，可判斷①；由均值和方差的性質(zhì)可判斷②③；由回歸直線方程的特點可判斷④，得到答案．【題目詳解】對于①中，回歸直線過樣本點中心，故①正確；對于②中，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，平均值為加上或減去這個常數(shù)，故②錯誤；對于③中，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，故③正確；對于④中，在回歸直線方程，變量每增加一個單位時，平均增加4個單位，故④正確，故選B．【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的特點和均值、方差的性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了．判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

利用二項式定理展開通項，由項的系數(shù)為求出實數(shù)，然后代入可得出該二項式展開式各項系數(shù)之和.【題目詳解】的展開式通項為，令，得，該二項式展開式中項的系數(shù)為，得.當時，二項式為，其展開式各項系數(shù)和為；當時，二項式為，其展開式各項系數(shù)和為.故選B.【題目點撥】本題考查二項式定理展開式的應(yīng)用，同時也考查了二項式各項系數(shù)和的概念，解題的關(guān)鍵就是利用二項式定理求出參數(shù)的值，并利用賦值法求出二項式各項系數(shù)之和，考查運算求解能力，屬于中等題.11、D【解題分析】

根據(jù)雷達圖，依次判斷每個選項的正誤得到答案.【題目詳解】根據(jù)雷達圖得甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)低于乙，所以A錯誤根據(jù)雷達圖得甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，所以B錯誤根據(jù)雷達圖得乙的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象最差，所以C錯誤根據(jù)雷達圖得乙整體為27分，甲整體為22分，乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲，所以D正確故答案選D【題目點撥】本題考查了雷達圖，意在考查學(xué)生解決問題的能力.12、D【解題分析】分析：先根據(jù)已知求出a,b的值，再利用方差公式求隨機變量的方差.詳解：由題得所以故答案為D.點睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)和方差的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，那么＝＋＋…＋,稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量的期望．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3.【解題分析】

利用定積分表示圖形的面積，從而可建立方程，由此可求a的值．【題目詳解】曲線與直線，所圍成的封閉圖形的面積為6則解得a=【點晴】注意用積分求面積的區(qū)別，圖形在x軸下方時，所求積分為負值，圖形在x軸上方時所求積分為正值14、【解題分析】由已知得到展開式的通項為：，令r=12,得到常數(shù)項為；故答案為：18564.點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).15、【解題分析】

對和討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】解：當時，對恒成立；當時，，解得，綜合得：，故答案為：.【題目點撥】本題考查二次不等式恒成立的問題，要特別注意討論二次項系數(shù)為零的情況，是基礎(chǔ)題.16、【解題分析】試題分析：由題意可得命題:,為真命題.所以,解得.考點：命題的真假.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）分別取的中點，連接，由已知條件推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而得到，即可證明平面；（Ⅱ）以點為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用法向量即可求出直線與平面所成的角的正弦值；（Ⅲ）分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的余弦值.試題解析：（Ⅰ）分別取的中點，連接，則有，.∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面；（Ⅱ）如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.則，，，，設(shè)平面的一個法向量，則有，化簡，得，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則有，∴直線與平面所成的角的正弦值為；（Ⅲ）由已知平面的法向量，，設(shè)平面的一個法向量，則有∴，∴，令，則，設(shè)銳二面角的平面角為，則，∴銳二面角的余弦值為.18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）當時，將要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題意得當時，恒成立，化簡可得，即，由此求得a的取值范圍.詳解：（1）當時，可化為：，①當時，不等式為：，解得：，故，②當時，不等式為：，解得：，故，③當時，不等式為：，解得：，故.綜上，原不等式的解集為：.（2）∵的解集包含，∴在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，∴，解得，即的取值范圍為.點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題.19、（1），（2）沒有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)（3）估計這6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)是4人【解題分析】

（1）根據(jù)分層抽樣比例列方程求出n的值，再計算m的值；（2）根據(jù)題意完善2×2列聯(lián)表，計算K2，對照臨界值表得出結(jié)論；（3）計算參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率，用頻率估計概率，計算所求的頻數(shù)即可．【題目詳解】（1）根據(jù)分層抽樣法，抽樣比例為，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根據(jù)題意完善2×2列聯(lián)表，如下；超過1小時不超過1小時合計男生20828女生12820合計321648計算K20.6857＜3.841，所以沒有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)；（3）參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率為，用頻率估計概率，從該校學(xué)生中隨機調(diào)査6名學(xué)生，估計這6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)為64（人）．【題目點撥】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題及用頻率估計概率的應(yīng)用問題，考查了運算能力，屬于中檔題．20、（Ⅰ），，，，，（Ⅱ）猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列，證明見解析【解題分析】

（I）根據(jù)遞推公式，依次求得的值.（II）由（I）猜想數(shù)列是遞減數(shù)列.用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論成立.【題目詳解】解：（Ⅰ）由；由；由；由；由；（Ⅱ）由（Ⅰ）知猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當時，已證命題成立；②假設(shè)當時命題成立，即.易知，當時，即.也就是說，當時命題也成立.根據(jù)①②