2024屆安徽省安慶市大觀區(qū)第一中學數學高二下期末考試試題含解析

2024屆安徽省安慶市大觀區(qū)第一中學數學高二下期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，則使得的的取值范圍是（）A． B． C． D．2．2019年4月，北京世界園藝博覽會開幕，為了保障園藝博覽會安全順利地進行，某部門將5個安保小組全部安排到指定的三個不同區(qū)域內值勤，則每個區(qū)域至少有一個安保小組的排法有（）A．150種 B．240種 C．300種 D．360種3．執(zhí)行如圖所示程序框圖，輸出的的值為（）A． B． C．3 D．44．（山西省榆社中學高三診斷性模擬考試）設為數列的前項和，已知，，則A． B．C． D．5．已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=1，平面區(qū)域Ω:x+y-6≤0x-y+4≥0y≥0A．-∞,-73∪75,+∞6．已知函數，且，則曲線在處的切線方程為（）A． B．C． D．7．恩格爾系數,國際上常用恩格爾系數來衡量一個地區(qū)家庭的富裕程度，某地區(qū)家庭2018年底恩格爾系數為，剛達到小康，預計從2019年起該地區(qū)家庭每年消費支出總額增加，食品消費支出總額增加，依據以上數據，預計該地區(qū)家庭恩格爾系數滿足達到富裕水平至少經過（）（參考數據：，,，）A．年 B．年 C．年 D．年8．若集合，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．9．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為（）A． B． C． D．10．函數f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．11．若隨機變量的分布列為（）且，則隨機變量的方差等于（）A． B． C． D．12．已知，且，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數z＝，其中i是虛數單位，則z的實部為________．14．給出下列演繹推理：“自然數是整數，，所以是整數”，如果這是推理是正確的，則其中橫線部分應填寫___________．15．與2的大小關系為________.16．定義在R上的偶函數f(x)滿足fx+8e=f(x)，當x∈0,4e時，f(x)=ex-2，則函數g(x)=f(x)-lnx三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分））已知.（I）試猜想與的大小關系；（II）證明（I）中你的結論.18．（12分）四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.(1)若每個盒子放一個球,則共有多少種不同的放法?(2)恰有一個空盒的放法共有多少種?19．（12分）設函數=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．20．（12分）平面直角坐標系xOy中，拋物線的焦點為F，過F的動直線l交于M、N兩點.（1）若l垂直于x軸，且線段MN的長為1，求的方程；（2）若，求線段MN的中點P的軌跡方程；（3）求的取值范圍.21．（12分）現對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態(tài)度進行調查，隨機抽調了人，他們月收入的頻數分布及對“樓市限購令”贊成人數如下表.月收入（單位百元）頻數贊成人數（1）由以上統計數據填下面列聯表，并問是否有的把握認為“月收入以元為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；月收入不低于百元的人數月收入低于百元的人數合計贊成__________________________________________不贊成__________________________________________合計__________________________________________（2）若對在、的被調查者中各隨機選取兩人進行追蹤調查，記選中的人中不贊成“樓市限購令”的人數為，求隨機變量的分布列及數學期望.參考公式：，其中.參考值表：22．（10分）我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關注，受到了觀眾的普遍好評.假設男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為.某機構就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾（其中2男2女）.（1）求這4名觀眾中女性認為好看的人數比男性認為好看的人數多的概率；（2）設表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數，求的分布列與數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：根據題意，由函數f（x）的解析式分析可得函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，當x≥1時，對函數f（x）求導分析可得函數f（x）在[1，+∞）上為減函數，則原不等式變形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），結合單調性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范圍，即可得答案．詳解：根據題意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1與函數y=2（ex﹣1+e1﹣x）都關于直線x=1對稱，則函數f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的圖象關于直線x=1對稱，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），當x≥1時，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），又由x≥1，則有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，則有f′（x）＜0，即函數f（x）在[1，+∞）上為減函數，f（x+1）＜f（2x﹣2）?f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）?f（|x|）＜f（|2x﹣3|）?|x|＞|2x﹣3|，變形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集為（1，3）；故選：B．點睛：處理抽象不等式問題，一般先利用函數的奇偶性得出區(qū)間上的單調性，再利用其單調性脫去函數的符號“f”，轉化為考查函數的單調性的問題或解不等式(組)的問題，若為偶函數，則，若函數是奇函數，則．2、A【解題分析】

根據題意，需要將5個安保小組分成三組，分析可得有2種分組方法：按照1、1、3分組或按照1、2、2分組，求出每一種情況的分組方法數目，由加法計數原理計算可得答案．【題目詳解】根據題意，三個區(qū)域至少有一個安保小組，所以可以把5個安保小組分成三組，有兩種分法：按照1、1、3分組或按照1、2、2分組；若按照1、1、3分組,共有種分組方法；若按照1、2、2分組,共有種分組方法，根據分類計數原理知共有60+90=150種分組方法.故選：A.【題目點撥】本題考查排列、組合及簡單計數問題，本題屬于分組再分配問題，根據題意分析可分組方法進行分組再分配，按照分類計數原理相加即可，屬于簡單題.3、B【解題分析】分析：根據判斷框的條件確定退出循環(huán)體的k值，再根據框圖的流程確定算法的功能，利用約分消項法求解．詳解：由題可知：此時輸出S=故選B.點睛：本題考查了循環(huán)結構的程序框圖，根據框圖的流程判斷算法的功能以及對對數公式的準確運用是關鍵．屬于基礎題.4、D【解題分析】根據題意，由，得，則，，…，將各式相加得，又，所以，因此，則將上式減下式得，所以.故選D.點睛：此題主要考查了數列通項公式、前項和公式的求解計算，以及錯位相消求各法的應用等有關方面的知識與技能，屬于中檔題型，也是?？贾R點.錯位相消求和法是一種重要的方法，一般適于所求數列的通項公式是一個等比數列乘于一個等差的形式，將求和式子兩邊同時乘于等比數列的公比，再兩式作差，消去中間項，從而求得前項和公式.5、A【解題分析】

分析：畫出可行域，由可行域結合圓C與x軸相切，得到b=1且-3≤a≤5，從而可得結果.詳解：畫出可行域如圖，由圓的標準方程可得圓心C(a,b)，半徑為1因為圓C與x軸相切，所以b=1，直線y=1分別與直線x+y-6=0與x-y+4=0交于點B5,1所以-3≤a≤5，圓心C(a,b)與點（2,8-3≤a<2時，k∈72<a≤5時k∈-所以圓心C(a,b)與點（2,8）連線斜率的取值范圍是-點睛：本題主要考查可行域、含參數目標函數最優(yōu)解，屬于中檔題.含參變量的線性規(guī)劃問題是近年來高考命題的熱點，由于參數的引入，提高了思維的技巧、增加了解題的難度，此類問題的存在增加了探索問題的動態(tài)性和開放性，此類問題一般從目標函數的結論入手，對目標函數變化過程進行詳細分析，對變化過程中的相關量的準確定位，是求最優(yōu)解的關鍵.6、B【解題分析】

先對已知函數f(x)求導，由可得a的值，由此確定函數和其導函數的解析式，進而可得x=0處的切線方程。【題目詳解】，，解得，即，，則，，曲線在點處的切線方程為，即.【題目點撥】本題考查求函數某點處的切線方程，解題關鍵是先由條件求出函數f(x)中的未知量a。7、B【解題分析】

根據“每年消費支出總額增加，食品消費支出總額增加”以及列不等式，解不等式求得至少經過的年份.【題目詳解】設經過的年份為年，依題意有，即，兩邊取以為底的對數得，即，故至少經過年，可使家庭恩格爾系數滿足達到富裕水平.故選B.【題目點撥】本小題主要考查指數不等式的解法，考查對數運算，考查實際生活中的函數運用，考查閱讀與理解能力，屬于中檔題.8、C【解題分析】

由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項是否正確即可．【題目詳解】求解二次不等式可得：，則．據此可知：，選項A錯誤；，選項B錯誤；且集合A是集合B的子集，選項C正確，選項D錯誤．本題選擇C選項，故選C．【題目點撥】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關系的判斷等知識，熟記集合的基本運算方法是解答的關鍵，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力．9、C【解題分析】

根據題先求出閱讀過西游記的人數，進而得解.【題目詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數為90-80+60=10，則其與該校學生人數之比為10÷100=0.1．故選C．【題目點撥】本題考查抽樣數據的統計，滲透了數據處理和數學運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉化與化歸思想解題．10、D【解題分析】

根據函數為非偶函數可排除兩個選項，再根據特殊值可區(qū)分剩余兩個選項.【題目詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【題目點撥】本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數圖象，屬于中檔題.11、D【解題分析】分析：先根據已知求出a,b的值，再利用方差公式求隨機變量的方差.詳解：由題得所以故答案為D.點睛：（1）本題主要考查分布列的性質和方差的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，那么＝＋＋…＋,稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量的期望．12、C【解題分析】

分析：由推導出，從而，由此能求出向量在向量方向上的投影.詳解：，且，，，向量在向量方向上的投影為，故選C.點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數量積公式，屬于中檔題.平面向量數量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先化簡復數z＝,再確定復數z的實部.詳解：由題得z＝=，所以復數z的實部為，故答案為.點睛：(1)本題主要考查復數的運算和復數的實部的概念，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本運算能力.(2)復數的實部是a,虛部為b，不是bi.14、是自然數.【解題分析】分析：直接利用演繹推理的三段論寫出小前提即可.詳解：由演繹推理的三段論可知：“自然數是整數，是自然數，是整數”，故答案為是自然數.點睛：本題考查演繹推理的三段論的應用，考查對基本知識的掌握情況.15、＞【解題分析】

平方作差即可得出．【題目詳解】解：∵＝13+2（13+4）0，∴2，故答案為：＞．【題目點撥】本題考查了平方作差比較兩個數的大小關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．16、4【解題分析】

根據函數的奇偶性和周期性畫出函數圖像，由y=fx,y=lnx【題目詳解】由fx+8e=f(x)可知函數fx是周期為8e的周期函數，而函數fx為偶函數，函數圖像結合x∈0,4e時,f(x)=ex-2的圖像，可畫出x∈-4e,0上的圖像，進而畫出函數fx的圖像.令gx=0，則fx=lnx，畫出y=fx,y=lnx兩個函數圖像如下圖所示，由圖可知，兩個函數有A,B,C,D四個公共點，故gx有4個零點.另，當x∈0,4e時，故答案為4【題目點撥】本小題主要考查函數的奇偶性和周期性，考查函數零點問題的求解策略，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)證明見解析.【解題分析】分析：（I）由題意，可取，則，，即可猜想；（II）令，則，得到函數的單調性，利用單調性即可證明猜想.詳解：（I）取，則，，則有；再取，則，，則有.故猜想.（II）令，則，當時，，即函數在上單調遞減，又因為，所以，即，故.點睛：本題主要考查了歸納猜想和利用函數的單調性證明不等關系式，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理論證能力.18、(1)24;(2)144.【解題分析】分析：（1）直接把4個球全排列即得共有多少種不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.詳解：(1)每個盒子放一個球,共有=24種不同的放法.(2)先選后排,分三步完成:第一步:四個盒子中選一只為空盒,有4種選法;第二步:選兩球為一個元素,有種選法;第三步:三個元素放入三個盒中,有種放法.故共有4×6×6=144種放法.點睛：（1）本題主要考查計數原理和排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用解法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數問題列舉法.19、(1)1(2)（，）【解題分析】分析：（1）先求導數，再根據得a；（2）先求導數的零點：，2；再分類討論，根據是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此時f(1)=3e≠2．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當x∈(，2)時，f′(x)<2；當x∈(2，+∞)時，f′(x)>2．所以f(x)<2在x=2處取得極小值．若a≤，則當x∈(2，2)時，x–2<2，ax–1≤x–1<2，所以f′(x)>2．所以2不是f(x)的極小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點睛：利用導數的幾何意義解題，主要是利用導數、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數聯系起來求解.20、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，問題得一解決，（2）利用點差法和中點坐標公式和點斜式方程即可求出，（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），設l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0根據根系數的關系和兩角和的正切公式，化簡整理即可求出．【題目詳解】解：（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，∴Γ的方程為y2＝x，（2）拋物線Γ：y2＝4x，設M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）∴，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1+x2），∴k，于是l為y﹣y0（x﹣x0），又l過點F（1，0），∴﹣y0（1﹣x0），即y02＝2（x0﹣1），故線段MN的中點P的軌跡方程為y2＝2（x﹣1）（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），設l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0，則y2﹣2my﹣p2＝0，∴y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，則tan∠MON＝tan（∠MOF+∠NOF），，，，，，故tan∠MON的取值范圍是（﹣∞，]【題目點撥】本題考查拋物線與直線的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力，屬于中檔題．21、（1）列聯表見解析，沒有的把握認為月收入以元為分界點對“樓市限購令”的態(tài)度有差異；（2），分布列見解析.【解題分析】

（1）根據題干表格中的數據補充列聯表，并計算出的觀測值，將觀測值與作大小比較，于此可對題中結論進行判斷；（2）由題意得出隨機變量的可能取值有、、、，然后利用超幾何分布概率公式計算出隨機變量在相應取值時的概率，可得出隨機變量的分布列，并計算出該隨機變量的數學期望.【題目詳解】（1）列聯表：月收入不低于百元的人數月收入低于百元的人數合計贊成_____________________________________不