貴州省湄潭縣湄江中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

貴州省湄潭縣湄江中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則正實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．2．現(xiàn)行普通高中學生在高一升高二時面臨著選文理科的問題，學校抽取了部分男、女學生意愿的一份樣本，制作出如下兩個等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列統(tǒng)計結(jié)論是不正確的是()A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有理科意愿的學生數(shù)量多于有文科意愿的學生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛理科D．樣本中的女生偏愛文科3．設(shè)，是實數(shù)，則的充要條件是（）A． B． C． D．4．在“石頭、剪刀、布”游戲中，規(guī)定“石頭贏剪刀、剪刀贏布、布贏石頭”，現(xiàn)有小明、小澤兩位同學玩這個游戲，共玩局，每一局中每人等可能地獨立選擇一種手勢.設(shè)小明贏小澤的局數(shù)為，且，則（）A．1 B． C． D．25．已知數(shù)列，如果，，，……，，……，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則=A． B． C． D．6．若過點可作兩條不同直線與曲線段C：相切，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點,若,則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．8．從中任取個不同的數(shù)，事件“取到的個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則()A． B． C． D．9．從1、2、3、4、5、6中任取兩個數(shù)，事件：取到兩數(shù)之和為偶數(shù)，事件：取到兩數(shù)均為偶數(shù)，則（）A． B． C． D．10．只用四個數(shù)字組成一個五位數(shù)，規(guī)定這四個數(shù)字必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)有（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，當時，，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)的三邊長分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個結(jié)論可知：四面體的四個面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則__________．14．已知為橢圓上的任意一點，則的最大值為________.15．若，則____．16．某小鎮(zhèn)對學生進行防火安全教育知曉情況調(diào)查，已知該小鎮(zhèn)的小學生、初中生、高中生分別有1400人、1600人、800人，按小學生抽取70名作調(diào)查，進行分成抽樣，則在初中生中的抽樣人數(shù)應(yīng)該是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，且前三項系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求的值；（2）若，展開式有多少有理項？寫出所有有理項.18．（12分）對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：②當定義域為時，的值域為，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值函數(shù)”.（1）求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；（2）若函數(shù)（）是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；（3）對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖所示，四棱錐中，底面，，為中點.（1）試在上確定一點，使得平面；（2）點在滿足（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）（1）已知，都是正數(shù)，并且，求證：；（2）若，都是正實數(shù)，且，求證：與中至少有一個成立.21．（12分）已知向量，，函數(shù)，在中，，，點在邊上，且．（1）求的長；（2）求的面積．22．（10分）為了探究車流量與的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如表：時間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日車流量（萬輛）1234567的濃度（微克/立方米）28303541495662（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（提示數(shù)據(jù)：）（2）（I）利用（1）所求的回歸方程，預(yù)測該市車流量為12萬輛時的濃度；（II）規(guī)定：當一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)；當一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為良，為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當天車流量不超過多少萬輛？（結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)）參考公式：回歸直線的方程是，其中，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，即得正實數(shù)a的取值范圍．【題目詳解】∵f（x）lnx（a＞0），∴f′（x）（x＞0），令f′（x）＝0，得x，∴函數(shù)f（x）在（0，]上f′（x）≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0，∴f（x）在（0，]上是減函數(shù)，在[，+∞）上是增函數(shù)；∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，∴1，又a＞0，∴a≥1，∴實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）；故選：B．【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負來判定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來解答問題，是中檔題．2、D【解題分析】由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，有理科意愿的學生數(shù)量多于有文科意愿的學生數(shù)量，男生偏愛理科，女生中有理科意愿的學生數(shù)量多于有文科意愿的學生數(shù)量，所以選D.3、C【解題分析】

利用不等式的基本性質(zhì)證明與可進行互推.【題目詳解】對選項C進行證明，即是的充要條件，必要性：若，則兩邊同時3次方式子仍成立，，成立；充分性：若成，兩邊開時開3次方根式子仍成立，，成立.【題目點撥】在證明充要條件時，要注意“必要性”與“充分性”的證明方向.4、C【解題分析】

由題意可得，每一局中，小明贏小澤的概率為，且，先由求出，然后即可算出【題目詳解】由題意可得，每一局中，小明贏小澤的概率為，且因為，所以所以故選：C【題目點撥】本題考查的是二項分布的知識，若，則，.5、A【解題分析】分析：累加法求解。詳解：，，解得點睛：形如的模型，求通項公式，用累加法。6、D【解題分析】

設(shè)切點為，寫出切線方程為，把代入，關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，由方程根的分布知識可求解.【題目詳解】設(shè)切點為，,則切線方程為，在切線上，可得，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，又，，∴如果有兩解，則.故選：D.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程根的分布問題。由方程根的個數(shù)確定參數(shù)取值范圍，可采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題。7、B【解題分析】

根據(jù)對稱性知是以點為直角頂點，且，可得，利用雙曲線的定義得出，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【題目詳解】由雙曲線的對稱性可知，是以點為直角頂點，且，則，由雙曲線的定義可得，在中，，，故選B.【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質(zhì)，在遇到焦點時，善于利用雙曲線的定義來求解，考查邏輯推理能力和計算能力，屬于中等題．8、B【解題分析】

先求得和的值，然后利用條件概率計算公式，計算出所求的概率.【題目詳解】依題意,,故.故選B.【題目點撥】本小題主要考查條件概型的計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

根據(jù)條件概率公式可得解.【題目詳解】事件分為兩種情況：兩個均為奇數(shù)和兩個數(shù)均為偶數(shù)，所以，，由條件概率可得：，故選D.【題目點撥】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

以重復(fù)使用的數(shù)字為數(shù)字為例，采用插空法可確定符合題意的五位數(shù)的個數(shù)；重復(fù)使用每個數(shù)字的五位數(shù)個數(shù)一樣多，通過倍數(shù)關(guān)系求得結(jié)果.【題目詳解】當重復(fù)使用的數(shù)字為數(shù)字時，符合題意的五位數(shù)共有：個當重復(fù)使用的數(shù)字為時，與重復(fù)使用的數(shù)字為情況相同滿足題意的五位數(shù)共有：個本題正確選項：【題目點撥】本題考查排列組合知識的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠明確不相鄰的問題采用插空法的方式來進行求解；易錯點是在插空時，忽略數(shù)字相同時無順序問題，從而錯誤的選擇排列來進行求解.11、D【解題分析】

先由題得出函數(shù)的周期，再將變量調(diào)節(jié)到范圍內(nèi)進行求解．【題目詳解】因為，所令，則，所以可得，即，所以函數(shù)的周期為，則，又因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，所以故選D【題目點撥】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，包括周期性，奇偶性，解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的周期，屬于一般題．12、C【解題分析】

根據(jù)圖像最低點求得，根據(jù)函數(shù)圖像上兩個特殊點求得的值，由此求得函數(shù)解析式，進而求得的值.【題目詳解】根據(jù)圖像可知，函數(shù)圖像最低點為，故，所以，將點代入解析式得，解得，故，所以，故選C.【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，并求三角函數(shù)值，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

根據(jù)平面和空間的類比推理，由點類比點或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形的面積類比立體圖形的體積，結(jié)合三角形面積的求法求出三棱錐的體積，進而求出內(nèi)切球的半徑為.【題目詳解】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個面的距離都為，所以四棱錐的體積等于以為頂點，四個面為底面的四個小三棱錐的體積之和，則四面體的體積為.【題目點撥】本題考查了類比推理.類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學對象的相似性，將已知一類的數(shù)學對象的性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學對象上去.14、9【解題分析】

設(shè)，代入并利用輔助角公式運算即可得到最值.【題目詳解】由已知，設(shè)，則，故.當時，取得最大值9.故答案為：9【題目點撥】本題考查利用橢圓的參數(shù)方程求函數(shù)的最值問題，考查學生的基本運算能力，是一道容易題.15、【解題分析】

通過，即可求出的值，通過，即可求出的值，最終可求出的值．【題目詳解】令，可得令，可得【題目點撥】本題通過賦值法來研究二項展開式系數(shù)的和，是一道基礎(chǔ)題．16、80【解題分析】

根據(jù)小學生抽取的人數(shù)計算抽取比例，再根據(jù)這個比例求初中生中需抽取的人數(shù).【題目詳解】解：由題可知抽取的比例為，

故初中生應(yīng)該抽取人數(shù)為.

故答案為：80.【題目點撥】本題考查基本的分層抽樣，解決分層抽樣的關(guān)鍵是抓住各層抽取的比例相等，屬基本題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2或14；（2），，.【解題分析】

先由二項式系數(shù)的性質(zhì)求，再根據(jù)二項式展開式的通項公式和等差中項公式求；（2）根據(jù)二項式展開式的通項公式，令的指數(shù)為整數(shù)次求解.【題目詳解】因為奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，所以，解得，所以二項式為第一項：，系數(shù)為1，第二項：，系數(shù)為，第三項：，系數(shù)為，由前三項系數(shù)成等差數(shù)列得：，解得或.（2）若，由（1）得二項式為，通項為：，其中所以，令即，此時；令即，不符題意；令即，不符題意；令即，此時；令即，不符題意；令即，不符題意；令即，此時綜上，有3項有理項，分別是：，，.【題目點撥】本題考查二項式定理的系數(shù)性質(zhì)和展開式的通項公式，等差中項公式.注意是第項.18、（1）證明見詳解；（2）或；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)“保值函數(shù)”的定義分析即可（2）按“保值函數(shù)”定義知，，轉(zhuǎn)化為是方程的兩個不相等的實根，利用判別式求解即可（3）去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為不等式組，分離參數(shù)，利用函數(shù)最值解決恒成立問題.【題目詳解】（1）函數(shù)在時的值域為，不滿足“保值函數(shù)”的定義，因此函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”.（2）因為函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，因此，，因此是方程的兩個不相等的實根，等價于方程有兩個不相等的實根.由解得或.（3），，即為對恒成立.令，易證在單調(diào)遞增，同理在單調(diào)遞減.因此，，.所以解得.又或，所以的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查了新概念，函數(shù)的單調(diào)性，一元二次方程有解，絕對值不等式，恒成立，屬于難題.19、(1).(2).【解題分析】【試題分析】（1）先確定點的位置為等分點，再運用線面平行的判定定理進行證明平面；（2）借助（1）的結(jié)論，及線面角的定義構(gòu)造三角形找出直線與平面所成角，再通過解直角三角形求出其正弦值：解：(1)證明:平面PAD.過M作交PA于E,連接DE.因為,所以，又，故,且，即為平行四邊形,則,又平面PAD,平面PAD,平面；(2)解:因為，所以直線MN與平面PAB所成角等于直線DE與平面PAB所成角

底面ABCD,所以，又因為，所以底面PAB,即為直線DE與平面PAB所成角.因為，所以，所以直線MN與平面PAB所成角的正弦值為。20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）利用綜合法，將兩式做差，化簡整理，即可證明（2）利用反證法，先假設(shè)原命題不成立，再推理證明，得出矛盾，即得原命題成立?！绢}目詳解】（1）因為，都是正數(shù)，所以，又，所以，所以，所以，即.（2）假設(shè)和都不成立，即和同時成立.且，，.兩式相加得，即.此與已知條件相矛盾，和中至少有一個成立.【題目點撥】本題主要考查綜合法和反證法證明，其中用反證法證明時，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾，即假設(shè)不成立，原命題成立