河北省永年縣第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考模擬試題含解析

河北省永年縣第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的一個方向向量是（）．A． B． C． D．2．定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．設(shè)，則等于（）A． B． C． D．4．設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若240，則展開式中x的系數(shù)為（）A．300 B．150 C．－150 D．－3005．2019年6月7日，是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”。這天，小明的媽媽煮了7個粽子，其中3個臘肉餡，4個豆沙餡。小明隨機(jī)抽取出兩個粽子，若已知小明取到的兩個粽子為同一種餡，則這兩個粽子都為臘肉餡的概率為（）A． B． C． D．6．構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)，則與的面積之比為（）A． B． C． D．7．曲線的參數(shù)方程為，則曲線是（）A．線段 B．雙曲線的一支 C．圓弧 D．射線8．下列選項(xiàng)中，說法正確的是（）A．命題“”的否定是“”B．命題“為真”是命題“為真”的充分不必要條件C．命題“若，則”是假命題D．命題“在中，若,則”的逆否命題為真命題9．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為A．100 B．200 C．300 D．40010．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影為（）A．0 B．1C．2 D．11．已知復(fù)數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，那么方差的值為__________．14．設(shè)向量，，若與垂直，則的值為_____15．已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.16．若以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的值18．（12分）已知的三個頂點(diǎn)為，為的中點(diǎn).求：(1)所在直線的方程；(2)邊上中線所在直線的方程；(3)邊上的垂直平分線的方程．19．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）寫出的值，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的結(jié)論.20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的零點(diǎn)個數(shù)；（2）若，，證明：，.21．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求在上的零點(diǎn)個數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時，若有兩個零點(diǎn)，求證：22．（10分）2名男生、4名女生排成一排，問：（1）男生平必須排在男生乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法共有多少種？（2）4名女生不全相鄰的不同排法共有多少種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先求得直線的斜率，由此求得直線的方向向量.【題目詳解】直線的斜率為，故其方向向量為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線的方向向量的求法，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)可知，得到在上單調(diào)遞減；根據(jù)，可將所求不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得到解集.【解答】令，則在上單調(diào)遞減則不等式可化為等價(jià)于，即即所求不等式的解集為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，將所求不等式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)值的比較，從而利用其單調(diào)性得到自變量的關(guān)系．3、C【解題分析】

利用計(jì)算出定積分的值.【題目詳解】依題意得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查定積分的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

分別求得二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和以及二項(xiàng)式系數(shù)之和，代入，解出的值，進(jìn)而求得展開式中的系數(shù).【題目詳解】令，得，故，解得.二項(xiàng)式為，展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故的系數(shù)為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式系數(shù)之和、二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和，考查求指定項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題.5、B【解題分析】

設(shè)事件為“取出兩個粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個粽子都為臘肉餡”，計(jì)算（A）、的值，從而求得的值．【題目詳解】由題意，設(shè)事件為“取出兩個粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個粽子都為臘肉餡”，則（A），，．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型和條件概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計(jì)算能力.6、D【解題分析】

由題意得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，由余弦定理得出，結(jié)合三角形面積公式得出正確答案.【題目詳解】，，即點(diǎn)為的中點(diǎn)由余弦定理得：解得：故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理以及三角形的面積公式，屬于中檔題.7、A【解題分析】由代入消去參數(shù)t得又所以表示線段。故選A8、C【解題分析】對于A，命題“”的否定是“”，故錯誤；對于B，命題“為真”是命題“為真”的必要不充分條件，故錯誤；對于C，命題“若，則”在時，不一定成立，故是假命題，故正確；對于D，“在中，若，則或”為假命題，故其逆否命題也為假命題，故錯誤；故選C.9、B【解題分析】

試題分析：設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為，則，，所以考點(diǎn)：二項(xiàng)分布【方法點(diǎn)睛】一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項(xiàng)分布X～B（n，p）），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.10、D【解題分析】試題分析：在方向上的投影為，故選D.考點(diǎn)：向量的投影.11、C【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，得到答案．詳解：由題意，復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1)，位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．12、C【解題分析】

函數(shù)在時取得最大值,在或時得,結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得的取值范圍.【題目詳解】二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線.最大值為，且在時取得，而當(dāng)或時，.結(jié)合函數(shù)圖象可知的取值范圍是．故選:C．【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，那么，即可求得答案.詳解：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，那么，即.故答案為：.點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量X的均值與方差時，可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．14、【解題分析】與垂直15、【解題分析】

由題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的值域，可得答案．【題目詳解】函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，若函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，則f′（x），當(dāng)x∈[，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，e]時，f′（x）＞0，故當(dāng)x＝1時，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故當(dāng)x＝e時，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)的值域，難度中檔．16、【解題分析】

利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)公式將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).【題目詳解】由題意可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，因此，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)，解題時要熟悉極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4【解題分析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，代入化簡得，進(jìn)而可得的值；（2）設(shè)，可得，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而可得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得，又，所以（2）設(shè)，因?yàn)椋砸驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值，屬于中檔題.18、（1）x+1y-4=2；（1）1x-3y+6=2；（3）y=1x+1．【解題分析】

（1）直線方程的兩點(diǎn)式，求出所在直線的方程；（1）先求BC的中點(diǎn)D坐標(biāo)為（2,1），由直線方程的截距式求出AD所在直線方程；（3）求出直線BC的斜率，由兩直線垂直的條件求出直線DE的斜率，再由斜截式求出DE的方程【題目詳解】(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(1，1)和C(-1，3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為，即x+1y-4=2．(1)設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則x==2，y==1．BC邊的中線AD過點(diǎn)A(-3，2)，D(2，1)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為，即1x-3y+6=2．(3)BC的斜率，則BC的垂直平分線DE的斜率k1=1，由斜截式得直線DE的方程為y=1x+1．19、（1），，，猜想（2）見解析【解題分析】

（1）依遞推公式計(jì)算，并把各分子都化為3，可歸納出；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【題目詳解】解：（1），，∴，，，猜想（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時，由知猜想成立；②假設(shè)時，猜想成立，即則∴時，猜想成立，根據(jù)①②可知，猜想對一切正整數(shù)都成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于基礎(chǔ)題．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，在證明時的命題時一定要用到時的歸納假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法．20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導(dǎo)得，在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最小值正負(fù)來判斷它的零點(diǎn)個數(shù)；（2）把a(bǔ)的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知其在定義域上的最小值，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證?！绢}目詳解】（1）解：因?yàn)?，所?令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，所以的零點(diǎn)個數(shù)為1.（2）證明：因?yàn)?，從?又因?yàn)椋砸C，恒成立，即證，恒成立，即證，恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以.設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以，所以，所以，恒成立，即，.【題目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)以及證明不不等式，運(yùn)用了構(gòu)造新的函數(shù)的方法。21、(Ⅰ)有一個零點(diǎn)；(Ⅱ)見解析【解題分析】

(Ⅰ)對函數(shù)求導(dǎo)，將代入函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在單調(diào)性討論它的零點(diǎn)個數(shù)．(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)而在各區(qū)間討論函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，證明題目要求．【題目詳解】因?yàn)椋谏线f減，遞增(Ⅰ)當(dāng)時，在上有一個零點(diǎn)(Ⅱ)因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，所以即.設(shè)則要證，因?yàn)橛忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只要證設(shè)則所以在上單調(diào)遞減，，所以因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，所以方程即構(gòu)造函數(shù)則記則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以設(shè)所以遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，所以即（）所以，同理所以所以，所以由得，綜上：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、考查了構(gòu)造函數(shù)證明不等式，意在考查計(jì)算