湖南省名校聯(lián)盟2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達標檢測模擬試題含解析

湖南省名校聯(lián)盟2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達標檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．證明等式時，某學(xué)生的證明過程如下（1）當n=1時，，等式成立；（2）假設(shè)時，等式成立，即，則當時，，所以當時，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過程全都正確 B．當n=1時驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確2．已知隨機變量，若，則（）A． B． C． D．3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程，由到時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項4．如圖，分別為棱長為的正方體的棱的中點，點分別為面對角線和棱上的動點，則下列關(guān)于四面體的體積正確的是（）A．該四面體體積有最大值，也有最小值 B．該四面體體積為定值C．該四面體體積只有最小值 D．該四面體體積只有最大值5．某個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積(結(jié)果保留π)為A． B．C． D．6．已知曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C．3 D．7．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)()A． B． C． D．8．已知的展開式中各項系數(shù)和為2，則其展開式中含項的系數(shù)是（）A．-40 B．-20 C．20 D．409．如圖，在菱形ABCD中，，線段AD，BD，BC的中點分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K．現(xiàn)將繞對角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角A－BD－C的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)過程中有（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的最大值為，其圖象關(guān)于對稱B．函數(shù)的最大值為2，其圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)的最大值為，其圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的最大值為2，其圖象關(guān)于直線對稱11．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則（）A．8 B．4 C．6 D．312．，，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的二項展開式中含的項的系數(shù)是________.14．關(guān)于的方程的兩個根，若，則實數(shù)__________．15．已知向量與，則的最小值是__________.16．.若,且,則__________________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）定義在上的函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)，存在非零常數(shù)，都有成立.（1）當時，若，，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域；（2）設(shè)函數(shù)的值域為，證明：函數(shù)為周期函數(shù).18．（12分）為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：附：的觀測值（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下是否可認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？請說明理由.19．（12分）已知數(shù)列的前項和滿足，且。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和。20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半粙為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設(shè)點極坐標為，且，，.（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）①求點的直角坐標；②若直線與曲線交于，兩點，求.21．（12分）某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù).①②③（是虛數(shù)單位）（Ⅰ）從三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論.22．（10分）已知的展開式中第三項與第四項二項式系數(shù)之比為．（1）求；（2）請答出展開式中第幾項是有理項，并寫出推演步驟（有理項就是的指數(shù)為整數(shù)的項）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：由題意結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明方法考查所給的證明過程是否存在錯誤即可.詳解：考查所給的證明過程：當時驗證是正確的，歸納假設(shè)是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過程中不存在任何的問題.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、D【解題分析】

由二項分布的期望公式，可計算得，由，即得解.【題目詳解】由題意隨機變量，由二項分布的期望公式，可得故選：D【題目點撥】本題考查了二項分布的期望公式及概率公式，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.3、D【解題分析】

分別計算和時不等式左邊的項數(shù)，相減得到答案.【題目詳解】時，不等式左邊：共有時，：共有增加了故答案選D【題目點撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的項數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解題分析】

易證，從而可推出面積為定值，則只需研究點到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【題目詳解】分別為棱長為的正方體的棱的中點，所以，又，故點到的距離為定值，則面積為定值，當點與點重合時，為平面構(gòu)不成四面體，故只能無限接近點，當點與點重合時，有最大值，體積有最值，所以四面體體積有最大值，無最小值故選D【題目點撥】本題主要考查了四面體體積的判斷，運動中的定量與變量的分析，空間想象與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題5、C【解題分析】分析：上面為球的二分之一，下面為長方體．面積為長方體的表面積與半球的面積之和減去半球下底面面積.詳解：球的半徑為1，故半球的表面積的公式為，半球下底面表面積為長方體的表面積為24，所以幾何體的表面積為．點睛：組合體的表面積，要弄懂組合體的結(jié)構(gòu)，哪些被遮擋，哪些是切口．6、A【解題分析】

將點代入雙曲線的漸近線方程，由此求得的值，進而求得雙曲線的離心率.【題目詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，將點代入雙曲線的漸近線方程得，，故，故選A.【題目點撥】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線的離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

由復(fù)數(shù)的乘除運算即可求得結(jié)果【題目詳解】故選【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，解題的關(guān)鍵是要掌握復(fù)數(shù)四則運算法則，屬于基礎(chǔ)題。8、D【解題分析】

由題意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二項式定理展開，即可得含x3項的系數(shù)．【題目詳解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展開式中各項系數(shù)和為2?（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二項式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展開式中含x3項的系數(shù)是﹣40+80＝40故選D．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何體，表示和，轉(zhuǎn)化為在兩個有公共底邊的等腰三角形比較頂角的問題，還需考慮和兩種特殊情況.【題目詳解】如圖，繞旋轉(zhuǎn)形成以圓為底面的兩個圓錐，(為圓心，為半徑，為的中點)，，，當且時，與等腰中，為公共邊，，,.當時，,當時，,綜上，。C.D選項比較與的大小關(guān)系，如圖即比較與的大小關(guān)系，根據(jù)特殊值驗證：又當時，,當時，，都不正確.故選B.【題目點撥】本題考查了二面角的相關(guān)知識，考查空間想象能力，難度較大，本題的難點是在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，如何轉(zhuǎn)化和，從而達到比較的目的，或考查和兩種特殊情況，可快速排除選項.10、D【解題分析】分析：由誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，即可逐一判斷各選項.詳解：由誘導(dǎo)公式得，，排除A，C.將代入，得，為函數(shù)圖象的對稱軸，排除B.故選D.點睛：本題考查誘導(dǎo)公式與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查利用余弦函數(shù)的性質(zhì)綜合分析判斷的能力.11、D【解題分析】

設(shè)點、，由，可計算出點的橫坐標的值，再利用拋物線的定義可求出.【題目詳解】設(shè)點、，易知點，，，，解得，因此，，故選D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵在于利用向量共線求出相應(yīng)點的坐標，考查計算能力，屬于中等題．12、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計算出的值，再利用誘導(dǎo)公式可得出的值.【題目詳解】，，且，由誘導(dǎo)公式得，故選B.【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，同時也考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時，先要確定角的象限，確定所求三角函數(shù)值的符號，再結(jié)合相應(yīng)的公式進行計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解題分析】

，令即可.【題目詳解】二項式展開式的通項為，令，得，故的項的系數(shù)是60.故答案為：60【題目點撥】本題考查求二項展開式中的特定項的系數(shù)問題，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.14、【解題分析】分析：根據(jù)所給的方程，當判別式不小于0時和小于0時，用求根公式表示出兩個根的差，根據(jù)差的絕對值的值做出字母p的值．詳解：當，即或，由求根公式得，得當，即，由求根公式得|得綜上所述，或．

故答案為．點睛：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是對于判別式與0的關(guān)系的討論，方程有實根和沒有實根時，兩個根的表示形式不同，本題是一個易錯題．15、【解題分析】

,所以，所以，故當時，的最小值是.考點：向量的模點評：本題考查向量的模的最值，解題的關(guān)鍵是能準確的表示出模的函數(shù)，再求解最值.16、1【解題分析】

首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再將代入導(dǎo)數(shù),即可求出的值.【題目詳解】

故答案為1.【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算,要準確掌握求導(dǎo)公式,對于簡單題要細心.屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解題分析】分析：（1）利用，分別求得函數(shù)在區(qū)間上的表達式，并求得其值域.（2）首先判斷出值域相同.當時，利用求得的值，并利用周期性的定義證明得函數(shù)是周期為的周期函數(shù).同理可證明當，函數(shù)也為周期函數(shù).詳解：（1）當時，，當時，即，由得，則，當時，即，由得，則，當時，即，由得，綜上得函數(shù)在閉區(qū)間上的值域為.（2）（證法一）由函數(shù)的值域為得，的取值集合也為，當時，，則，即.由得，則函數(shù)是以為周期的函數(shù).當時，，則，即.即，則函數(shù)是以為周期的函數(shù).故滿足條件的函數(shù)為周期函數(shù).（證法二）由函數(shù)的值域為得，必存在，使得，當時，對，有，對，有，則不可能；當時，即，，由的值域為得，必存在，使得，仿上證法同樣得也不可能，則必有，以下同證法一.點睛：本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查利用抽象函數(shù)的關(guān)系式求解函數(shù)在不同區(qū)間上的表達式的方法，考查函數(shù)周期性的證明.題目第一問，已知條件給定函數(shù)在區(qū)間上的表達式，結(jié)合，容易想到要利用分段的方法，求解出函數(shù)在每個長度為的區(qū)間上的表達式，從而求得函數(shù)的值域.18、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】

(1)用需要志愿者提供幫助的人數(shù)除以老年人總數(shù)可得;(2)利用觀測值公式以及列聯(lián)表可計算觀測值,再結(jié)合臨界值表可得;(3)根據(jù)需要志愿者提供幫助的男女人數(shù)存在顯著差異,可得采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣的方法更好.【題目詳解】（1）調(diào)查的500位老人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為.（2）隨機變量的觀測值.由于，因此，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).（3）由（2）的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)中能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層，并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣的方法更好.【題目點撥】本題考查了分層抽樣,獨立性檢驗,屬中檔題.19、(1)(2)【解題分析】

（1）利用，求得數(shù)列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.【題目詳解】解：（1）當時，，∵，∴，當時，，∴，∵，∴，∴，∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，∴；（2）由（1）得，∴，∴?！绢}目點撥】本小題主要考查利用求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和法，屬于中檔題.20、（Ⅰ）直線,曲線（Ⅱ）①②【解題分析】

（Ⅰ）利用參數(shù)方程化普通方程，利用極坐標化普通方程求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）①求出，即得點M的直角坐標；②利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.【題目詳解】解（Ⅰ），曲線.（Ⅱ）①，，.②將代入，得，，，.【題目點撥】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.21、（I）（II）結(jié)論為（且不同時為零），證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）將三個式子化簡答案都為.（II）觀察結(jié)構(gòu)歸納結(jié)論為，再利用復(fù)數(shù)的計算證明結(jié)論.【題目詳解】（I）（II）根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及（I）的計算